билеты эиэ 1-40

t	′
			(2.1.69)
u2 (t) = u1 (t)h(0) + òu(τ)h (t −τ)dτ .
0
Сделав замену переменных ξ = t – τ, получим
t
′	′
u2 (t) = u1(0)h(t) + òu (t −ξ)h (ξ)dξ или
0
t
′			(2.1.70)
u2 (t) = u1 (0)h(t) + òu (t −τ)h(τ)dτ .
0
Интегрируя по частям второе слагаемое, получим
t
′		.	(2.1.71)
u2 (t) = u1(t)h(0) + òu(t −τ)h (τ)dτ
0
Выражения (2.1.68), (2.1.69),	(2.1.70)	и (2.1.71)	получили названия интегралов

Дюамеля.

На основе импульсной характеристики

Задан линейный четырехполюсник, входной сигнал u1(t) и импульсная характеристика

g(t).

u1(t)

u1(t)

g(t)

u2(t)=

u1(n∆t)

?

t

n∆t

∆τ

Рис.2.1.9

Предположим, что входной сигнал задан в виде функции,

изображенной

на

рис.2.9. Из рисунка ясно, что функцию u1(t) можно представить в виде последовательности

прямоугольных импульсов un(t) (n=0,1,2,…) малой длительности ∆τ. Аналитически любой

такой импульс можно записать

(t) ≈u (τ

)[1(t −τ

+ ) −1(t −τ

)]

u

,

(2.1.72)

n

1

n

n

1

)

n

τn = n∆τ,

un (t) ≈ u1 (τ n ) τ

1(t −τ

+ ) −1(t −τ

n

где

или

n 1

или

τ

un (t) ≈ u1(τn ) τδ (t −τ) .

Тогда входной сигнал можно приблизительно записать в виде

∞

u1(t) ≈ åu1(τn )δ (t −τn )

τ .

(2.1.73)

n=0

Из определения импульсной характеристики и принципа суперпозиции следует, что

∞

u2 (t) ≈ åu1(τn )g(t −τn )

τ .

(2.1.74)

n=0

Если ∆τ→∞, то получим точное значение функции u2(t) или

∞

u2 (t) = limτ →∞ åu1(τn )g(t −τn )

τ

n=0

Взяв предел, получим

t

u2 (t) = òu1(τ)g(t −τ)dτ .

0

Последнее выраже6ние называется интегралом свертки, т.е. выходной сигнал линейной цепи

равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи.

Билет 27. Фильтры. Типы фильтры. Схемы построения.

Фильтром называются четырехполюсники, которые обладают коэффициентом передачи, равным единице в некоторой интервале частот, называемой полосой прозрачности (пропускания), и равным нулю в остальном диапазоне частот, называемом полосой подавления (заграждения).

По функциональному назначению фильтры делятся на:

∙фильтры низких частот (полоса прозрачности лежит в пределах от 0 до ωВ). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Т(ω)

1

ω

0 ωв

∙фильтры высоких частот (полоса прозрачности лежит в пределах от ωН до ∞). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Т(ω)

1

ω

0 ωн

∙полосовой фильтр (полоса прозрачности лежит в пределах от ωН до ωВ). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Т(ω)

1

ω

0 ωн ωв

∙заграждающий фильтр (полоса заграждения лежит в пределах от ωН до ωВ). Идеальная амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Т(ω)

1

ω

0 ωн ωв

Фильтры строятся по следующим схемам:

∙Т – образная схема

Z1/2 Z1/2

Z2

∙П – образная схема

\				Z1
			2Z2					2Z2

∙Г – образная схема

Z1

Z2

Первые две схемы относятся к симметричным схемам построения фильтров.

В дальнейшем будем рассматривать фильтры, построенные по симметричной схеме построения.

Из теории четырехполюсников известно:

Z

chΓ =1 + 2Z1 , (2.2.29)

2

где Г – постоянная распространения, Г = α + jβ, α – постоянная затухания фильтра, β – фазовая постоянная фильтра.

Билет 28.

Условия прозрачности фильтров. Граничные частоты.

В полосе прозрачности постоянная затухания α принимает значение 0.

Тогда Г = jβ, откуда следует

ch( jβ ) = Cosβ = 1+

Z1

,

(2.2.30)

2Z2

а так как -1 ≤ Соsβ ≤ 1, то

−1 ≤1+

Z1

≤1.

(2.2.31)

2Z2

Вычитая из всех частей неравенства единицу, получим

−1 ≤

Z1

≤ 0.

(2.2.32)

4Z2

Из последнего неравенства видно, что Z1 и Z2 должны быть разных знаков и

Z1

≤

4Z 2

.

(2.2.33)

Граничные частоты

Z1

Используя неравенство −1 ≤

≤ 0 , найдем граничные частоты

4Z2

из условия

Z1 (ωГ )

= −1

и

Z1 (ωГР )

= 0 .

4Z2

(ωГР )

4Z2 (ωГР )

Билет 29.

Частотные характеристики фильтров.

∙в полосе прозрачности.

chΓ = ch(α + jβ ) = chα ∙ chjβ + shα ∙ shjβ или chΓ = chα ∙ cos β + shα ∙ j ∙sin β.

В полосе прозрачности постоянная затухания α = 0 и ее график совпадает с частотной осью.

Тогда сhα = 1, а shα = 0 и			Cosβ =1+	Z1	, откуда фазочастотная характеристика
				2Z2
β = arccos(1+	Z1	).		(2.2.34)
	2Z2

∙в полосе заграждения

chΓ = chα × cos β + j × shα × sin β = 1+

Z1

.

2Z2

Так как величина 1+

Z1

вещественная , то j × shα ×sin β = 0 , т.е. Sinβ = 0.

2Z2

Тогда β = 0, если 1+

Z1

ñ0,и β = π, если 1+

Z1

á0.

2Z2

2Z2

Амплитудно-частотная характеристика будет определяться, как

Z1

α = arcch

1+

.

2Z2

Билет 30.

Фильтры нижних частот. Фильтры верхних частот.

Фильтры нижних частот

Принципиальная схема фильтра нижних частот имеет вид:

Z1=jωL,	Z 2	=		1
			j	ω
				C

L/2 L/2

С

Найдем граничные частоты.

Для этого запишем

ω

ω2

LC

Z

1

ω

2

LC .

chΓ =1 −

L

=

1 −

и

= −

−1

2

4Z 2

2(ωC)

4

Найдем граничные частоты из условий:

−

ωГР2 1 LC

= −1

,

откуда ωГР1

=

2

и

4

LC

−

ωГР2 2 LC

= 0 ,

откуда ωГР2 = 0 .

4

В полосе прозрачности характеристика затухания фильтра α = 0, а в полосе заграждения

α = arcch

1−

ω2 LC

= arcch

1

− 2

ω2

.

(2.2.36)

2

ω2

ГР1

В полосе заграждения фазовая характеристика фильтра β = π, а в полосе

прозрачности

β = arccos(1− 2

ω2

).

(2.2.37)

ω2

ГР1

Графики α и β в зависимости отϑ =

ω

приведены на рис.2.23.

ω

ГР1

α

ν

β

ν

а)

νГР1

б)

νГР1

Рис.2.23.Амплитудно-частотная (а) и фазочастотные (б)

характеристики фильтра нижних частот.

Рассмотрим характеристики фильтра нижних частот при различных сопротивлениях

нагрузки Zн. В этом случае П-образная схема фильтра будет иметь вид: Комплексная частотная характеристика приведенного фильтра будет определяться

L/2

Ů1

С

Zэкв

Ů2

∙

С

R

ZЭ

T ( jω ) = U∙2 =

jωL + ZЭ

U1

Z Э =

RН

,

где

.

Тогда

1

+ jωCRН

T ( jω) =

1

ω2 LC

jωL

, а ее модуль или амплитудно-частотная характеристика

1−

+

2

RН

фильтра будет определяться как

T (ω) =

1

ω 2 LC )2

+ ω 2 L2

(1−

.

(2.2.38)

2

R2

Н

Резонансная частота контура П - образной схемы фильтра будет определяться как

ωР

=

1

=

2

ω

LC

LC

и совпадает с граничной частотой фильтра

ГР1

.

4

Тогда АЧХ фильтра можно записать в виде

T (ω) =

1

ω

2

ω2 ρ 2

(1− 2

)2 + 4

,

(2.2.39)

ω2

R2

ω2

ГР1

ГР1

Н

гдеρ – характеристическое сопротивление колебательного контура, составленного из индуктивности L и емкости С, определяемое как

ρ = Z1 Z2 = CL .

Графики амплитудно-частотных характеристик при различных сопротивлениях нагрузки приведены на рис.2.24.

R

=

R

н

Rн=2ρ

Rн=ρ

opt

Т(ω) Rн= Ropt

Rн= ∞

Rн=0,5ρ

1

ω 0,707ωГР1 ω

ГР1

Рис.2.24. АЧХ фильтра низких частот при различных сопротивлениях нагрузки.

Найдем расчетные формулы для определения L и С. При проектировании фильтров обычно задаются граничные частоты и сопротивление нагрузки.

			RН = ρ =	L
		В режиме согласования				.				(2.2.40)
				C
							ωГР =		2
	Граничная частота фильтра нижних частот											.	(2.2.41)
									LC

Перемножая и деля почленно выражения () и (), находим:

C =	2			L =	2RH
			и			(2.2.42).
	ωГР RH				ωГР

2.2.3.2. Фильтры верхних частот

Принципиальная схема фильтра верхних частот имеет вид:

Z2=jωL,				Z1		=		1
							j	ω
								C
	2С							2С

L

Найдем граничные частоты.

Z1

1

Для этого запишем

chΓ = 1 −

1

и

= −

.

4Z

4ω 2 LC

ω 2

LC

2

2

Найдем граничные частоты из условий:

−

1

= −1

,

откуда ωГР1 =

1

и

2

2

LC

4ωГР1LC

−

1

= 0 ,

откуда ωГР2

= ∞ .

4ω

2 LC

В полосе прозрачности характеристика затухания фильтра α = 0, а в полосе

заграждения

α = arcch

1−

1

= arcch

1

−

2

ω2

.

ГР1

(2.2.43)

2ω

2

LC

2

ω

В полосе заграждения фазовая характеристика фильтра β = -π, а в полосе

прозрачности

β = arccos(1− 2

ω 2

ГР1

).

(2.2.44)

ω 2

Графики α и β в зависимости отϑ =

ω

приведены на рис.2.25.

ω

ГР1

α

β

ν

ГР1

ν

а)

ν

б)

-π

νГР1

Рис.2.23.Амплитудно-частотная (а) и фазочастотные (б)

характеристики фильтра верхних частот.

С

Zэкв

Ů1

Rн

Ů2

2L

2L

Рассмотрим характеристики фильтра нижних частот при различных сопротивлениях нагрузки Zн. В этом случае П-образная схема фильтра будет иметь вид:

Комплексная частотная характе-ристика приведенного фильтра будет определяться как

∙

T ( jω) =

U2

=

ZЭ

Z

=

j2ωLRН

,

где

.

∙

1

Э

RН + j2ωL

U1

+ ZЭ

jωC

T ( jω) =

− 2ω 2 LCR

Тогда

H

, а

ее модуль или амплитудно-частотная

(1− 2ω 2 LC)R

+ j2ωL

Н

характеристика фильтра будет определяться как

T (ω) =

2ω 2 LCR

H

.

(2.2.45)

(1− 2ω 2 LC)

2 R2 + 4(ωL)2

H

П

Резонансная

частота

контура

-образной

схемы фильтра будет определяться как

1

ωР =

ω

и совпадает с граничной частотой фильтра

.

ГР1

2

LC

Тогда АЧХ фильтра можно записать в виде

ω 2 RH

T (ω ) =

2ω ГР2

1

,

(2.2.46)

(1−

ω 2

)2 R2

+

ω 2 ρ 2

2ω ГР2 1

ω ГР2 1

H

гдеρ – характеристическое сопротивление контура, составленного из индуктивности L и

ρ =

L

С

=

Z1 Z2

емкости

,

определяемое как

.

C

Графики амплитудно-частотных характеристик при различных сопротивлениях

нагрузки приведены на рис.2.24.

Т(ω

)

Rн=Ropt

Rн=∞

Rн=2ρ

Rн=ρ

Rн=0,5ρ

1

		ω
0	ωГР	1,41ωгр1
	1

Рис.2.24. АЧХ фильтра высоких частот при различных сопротивлениях нагрузки.

Найдем расчетные формулы для определения L и С. При проектировании фильтров обычно задаются граничные частоты и сопротивление нагрузки.

RН

= ρ =

L

В режиме согласования

.

(2.2.47)

C

ωГР =

1

Граничная частота фильтра нижних частот

.

(2.2.48)

2

LC

Перемножая и деля почленно выражения () и (), находим:

C =

1

L =

RH

и

2ωГР RH

2ωГР