Тема 10. Изучение зависимости на основе сочетания

МЕТОДА ГРУППИРОВОК И МЕТОДА СРЕДНИХ

Один из наиболее распространенных методов изучения связей - метод группировок в сочетании с методом средних. Этот метод позволяет установить наличие связи, определить направление связи, приближенно измерить тесноту связи.

Методика применения группировок в сочетании со средними при изучении связей заключается в следующем:

1) проводят группировку изучаемой совокупности по величине факторного признака;

2) рассчитывают среднее значение результативного признака для каждой группы;

3) сопоставляют направление изменения среднего значения результативного признака с направлением изменения факторного признака.

Если значения факторного и результативного признаков изменяются в одном направлении, то связь прямая. Если они изменяются в противоположных направлениях, то связь обратная. Если с увеличением факторного признака среднее значение результативного то уменьшается, то увеличивается, то связь между признаками отсутствует.

Например, если группировать рабочих по тарифному разряду и рассчитывать среднюю выработку для каждой группы, то можно установить наличие прямой связи между этими признаками: с ростом квалификации рабочих увеличивается и средняя выработка.

Рассматриваемый метод позволяет измерить тесноту связи. Для этого используют показатели вариации результативного признака: общую дисперсию (²) и межгрупповую дисперсию (²). Методика расчета этих показателей рассматривается в теме 5 «Показатели вариации».

Общая дисперсия показывает вариацию результативного признака, вызванную всеми действующими на нее факторами:

² = ,

где Y - отдельное значение результативного признака; - среднее значение

результативного признака; N - число единиц в совокупности.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, вызванную признаком-фактором, положенным в основание группировки:

² = ,

где - среднее значение результативного признака вj-й группе; - число

единиц в j-й группе.

Разделив межгрупповую дисперсию на общую, получим эмпирический коэффициент детерминации:

_э²=.

Его значения находятся в пределах: 0≤_э²≤1.

Эмпирический коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации результативного признака вызвана признаком, положенным в основание группировки. Так, если _э² = 0,685 или 68,5%, то это значит, что вариация результативного признака на 68,5% обусловлена влиянием признака, положенного в основание группировки, и на 31,5% - влиянием всех прочих факторов. Чем больше эта доля, тем сильнее влияние факторного признака на результативный. Поэтому коэффициент детерминации используется как показатель тесноты связи между факторным и результативным признаком. При _э² = 0 связь между признаками отсутствует. При _э² = 1 связь функциональная, вся вариация вызвана группировочным признаком.

В качестве показателя тесноты связи используют также эмпирическое корреляционное отношение, представляющее собой квадратный корень из коэффициента детерминации:

_э = .

Его значения также находятся в пределах: 0≤_э≤1.

Чем ближе корреляционное отношение к 0, тем связь слабее; чем ближе оно к 1, тем связь теснее.

Принято считать, что если _э>0,5, то связь заметная, если _э>0,7, - то высокая, если _э>0,9, - то весьма высокая.

Когда установлено, что связь высокая, можно продолжать исследование зависимости признаков нахождением линии регрессии.

Рассмотрим решение задачи на исследование зависимости производительности труда от энерговооруженности труда.

Задача.

Имеем информацию по 25 промышленным предприятиям региона:

№ п/п	Энерговооруженность труда, кВт.ч (Х)	Производительность труда, шт. (Y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	7,1 7,2 7,9 8,3 8,5 9,0 9,3 9,6 9,7 10,2 10,5 11,0 11,6 12,3 12,4 12,6 12,8 13,2 13,4 13,7 13,8 14,0 14,1 14,3 14,4	14 15 18 16 14 15 16 17 18 20 17 19 19 20 18 21 21 20 19 20 21 18 22 21 22

ОПРЕДЕЛИТЕ:

1. наличие и направление связи между производительностью труда и его энерговооруженностью;

2) тесноту связи между исходными признаками.

сделайте выводы.

РЕШЕНИЕ:

1. Установим наличие и направление зависимости производительности труда от энерговооруженности труда с помощью аналитической группировки изучаемой совокупности: 25 предприятий разобьем на 5 групп с равным интервалом по величине факторного признака (Х).

1.1. Находим размер интервала (i) следующим образом:

i = R/n,

где R - размах вариации, который определяется как разность между максимальным и минимальным значениями признака; n - установленное число групп (определяется либо по формуле Стерджесса, либо устанавливается исследователем).

В нашем случае

i = =1,461,5(кВт.ч).

1.2. Далее установим полную шкалу интервалов по методологии, изложенной в теме 1 «Сводка и группировка статистических материалов».

1.3. Подсчитаем число предприятий, входящих в каждую группу.

1.4. Рассчитаем средние уровни производительности труда в каждой группе и в целом по совокупности:

,

где - среднее значение результативного признака для каждойj-й группы; -сумма значений результативного признака;M_j – число предприятий в каждой группе.

Аналогичным образом по всей совокупности получим:

==18,44(шт.) .

1.5.Построим расчетно-аналитическую групповую таблицу.

Зависимость производительности труда от энерговооруженности

Группы предприятий по энерговооруженности, кВт.ч (Х)	Число предприятий в группе (Мj)	Средняя производительность труда, шт. ()	(-)^2Мj
7,1-8,6 8,6-10,1 10,1-11,6 11,6-13,1 13,1-14,6	5 4 3 5 8	15,4 16,5 18,8 20,0 20,4	46,208 15,054 0,389 12,168 30,733
Итого	25	18,4	104,552

2. Оценим тесноту связи между изучаемыми признаками с помощью эмпирического корреляционного отношения (методика расчета которого рассмотрена выше):

_э = .

2.1. Предварительно рассчитываем общую дисперсию (²), характеризующую вариацию результативного признака вследствие влияния всех действующих на него факторов,

² = =-=-18,44²=345,720-340,034=5,684.

2.2. Рассчитаем межгрупповую дисперсию (²) в соответствии с вышеизложенной методикой:

² = ==4,18.

2.3. Произведенные расчеты позволяют определить эмпирическое корреляционное отношение:

_э = ==0,857.

В ы в о д: полученные результаты свидетельствуют о том, что вариация результативного показателя (производительности труда) на 73,5% обусловлена влиянием энерговооруженности труда на предприятиях и соответственно на 26,5%- влиянием неучтенных факторов.

Связь между изучаемыми признаками высокая.

ЗАДАЧА 298

Известны следующие данные об основных показателях деятельности промышленных предприятий региона по производству сборного железобетона в отчетном периоде:

№ п/п	Выпуск железобетона, тыс.м^3	Валовая продукция, тыс. руб.	Среднегодовая стоимость промышленно-производственных фондов, тыс. руб.	Среднемесячная заработная плата одного работника, руб.	Среднегодовая выработка одного работника, руб.	Себестоимость 1м^3 железобетона, руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37	22,8 73,9 126,3 146,4 37,4 28,4 52,4 50,0 106,1 153,5 125,2 24,4 56,6 90,3 44,7 33,8 42,5 13,5 48,8 12,3 22,1 36,2 14,8 37,6 70,7 67,0 45,5 75,9 85,5 83,7 38,1 11,4 80,2 52,8 97,1 146,6 85,6	1 736 6 639 12 541 22 396 3 102 2 264 8 640 5 681 7 387 10 566 9 417 2 244 4 181 7 628 10 272 8 311 2 594 1 469 3 019 4 365 3 894 3 882 4 268 3 806 12 219 8 057 8 147 10 003 7 240 6 537 2 264 2 131 8 934 7 027 7 850 8 776 5 401	1 318 5 132 14 434 14 500 14 699 1 708 11 820 5 842 6 571 9 662 6 194 1 741 3 595 4 569 12 600 8 805 3 509 2 797 1 775 4 922 1 925 1 372 3 144 2 617 17 329 12 792 10 574 14 137 4 002 4 309 1 684 1 613 6 545 9 673 7 203 11 415 3 696	1 870 1 950 2 069 2 182 1 748 2 003 2 154 2 057 1 941 1 936 1 889 1 925 2 262 2 048 2 083 2 105 2 197 1 717 2 053 1 968 2 103 2 134 2 088 2 802 2 112 1 940 2 038 2 052 2 176 2 145 2 064 1 868 2 356 2 132 2 222 2 480 2 153	8 768 10 488 14 398 14 412 4 658 10 291 9 863 12 541 10 493 10 121 11 612 11 000 10 693 13 525 9 727 12 204 7 982 6 647 8 363 6 767 8 751 12 246 6 884 8 893 8 081 9 445 8 347 8 608 17 238 16 141 12 440 9 146 10 725 8 395 12 382 9 973 10 955	643,3 668,9 707,5 928,7 1 299,5 661,5 1 391,0 767,4 597,9 620,4 618,2 665,6 622,5 643,3 732,1 757,4 432,1 436,6 488,4 633,5 585,7 565,5 495,7 419,7 384,7 257,9 453,5 453,4 456,6 520,7 446,3 595,0 289,7 942,1 338,6 475,1 415,9

Окончание таблицы

№ п/п	Выпуск железобетона, тыс.м^3	Валовая продукция, тыс. руб.	Среднегодовая стоимость промышленно-производственных фондов, тыс. руб.	Среднемесячная заработная плата одного работника, руб.	Среднегодовая выработка одного работника, руб.	Себестоимость 1м^3 железобетона, руб.
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	39,2 431,9 405,0 138,0 191,4 159,0 73,8 68,0 66,2 45,1 13,0 19,3 162,3 220,2 49,7 73,2 37,4 106,3 91,9 154,4 75,2 129,4 12,3	6 527 5 001 5 365 8 973 13 572 8 809 4 196 5 101 5 044 3 483 3 866 4 128 11 622 8 219 2 838 4 010 1 673 11 623 6 914 8 791 10 130 10 086 3 776	6 473 6 737 3 562 10 776 12 192 5 616 3 525 2 839 2 194 1 370 6 514 1 675 13 782 8 335 7 016 3 031 1 402 22 918 6 515 7 979 11 725 20 210 3 776	2 358 1 671 1 998 1 707 2 170 1 851 1 930 2 142 2 002 2 047 1 725 2 002 2 193 2 501 2 227 2 129 2 130 2 091 2 242 2 227 2 203 2 245 1 896	7 634 8 805 10 886 9 147 10 083 11 545 11 173 11 463 14 792 11 420 5 777 11 037 10 349 12 388 6 922 8 532 9 727 8 255 10 719 11 128 9 548 8 555 7 019	539,2 338,8 422,9 521,2 599,9 411,1 524,7 446,7 485,4 471,2 499,0 495,7 460,3 333,9 403,9 308,9 392,1 550,8 350,6 308,3 683,8 386,0 589,0

ОПРЕДЕЛИТЕ наличие и направление зависимости выпуска железобетона от среднегодовой стоимости промышленно-производственных фондов.Постройте групповую таблицу для отражения зависимости между вышеназванными признаками. Оцените тесноту связи между признаками и сформулируйте выводы.

ЗАДАЧА 299

По данным предыдущей задачи проанализируйте зависимость между объемом валовой продукции исследуемых предприятий и среднегодовой стоимостью промышленно-производственных фондов. Измерьте тесноту связи и сделайте выводы.

ЗАДАЧА 300

По данным задачи № 298 установите наличие, направление и тесноту связи между среднегодовой выработкой продукции и размерами предприятия (по среднегодовой стоимости основных производственных фондов). Сформулируйте выводы.

ЗАДАЧА 301

По данным задачи № 298 проанализируйте взаимосвязь между себестоимостью 1м³ железобетона и среднегодовой выработкой продукции одним работником.

ЗАДАЧА 302

По данным задачи № 298 сопоставьте направление изменения средней заработной платы одного работника и направление изменения выработки одного работника. Оцените тесноту связи между ними. Сделайте выводы.

ЗАДАЧА 303

По данным задачи № 298 охарактеризуйте направление зависимости себестоимости 1м³ железобетона от средней заработной платы одного работника. Измерьте тесноту связи между ними и сформулируйте выводы.

ЗАДАЧА 304

По данным задачи № 298 постройте таблицу, позволяющую выявить наличие взаимосвязи между объемом валовой продукции и выработкой одного работника. Определите направление связи и измерьте ее тесноту. Сделайте выводы.

ЗАДАЧА 305

По десяти группам рекламодателей имеются следующие данные:

№ п/п	Число фирм в группе	Общие затраты на рекламу, млн. руб.	Общий объем продаж товаров, млн. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	8 5 4 2 4 2 4 2 2 3	6,717 5,441 4,568 4,329 4,010 3,496 3,409 3,212 2,970 2,931	319,44 273,60 189,51 188,85 190,98 165,27 158,19 116,91 58,21 65,58

ОПРЕДЕЛИТЕ наличие и направление связи между объемом продаж товаров и затратами на рекламу. Измерьте тесноту связи. Сделайте выводы.

ЗАДАЧА 306

По предприятиям нефтехимической промышленности региона имеется информация:

№п/п	Уровень рентабельности производства, %	Фондовооруженность, тыс. руб.
1	2	3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	8,7 5,7 5,8 15,7 8,5 1,0 4,0 13,0 3,0 18,0 12,5 7,5 13,0 1,0 5,0 4,0 9,5 8,5 12,0 10,0	9,0 3,4 8,5 43,1 8,6 1,5 8,0 39,0 8,0 50,1 30,8 8,5 29,0 4,0 9,0 7,0 9,0 10,0 29,0 9,5

ОПРЕДЕЛИТЕ тесноту связи между рентабельностью производства и фондовооруженностью труда рабочих. Постройте групповую таблицу для выявления зависимости между этими признаками.

ЗАДАЧА 307

Известны следующие данные о показателях деятельности металлургических предприятий региона за отчетный период:

№ п/п	Выработка продукции 1-го работника, тыс. руб.	Рентабельность производства, %	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. руб.	Фондоотдача, тыс. руб.	Затраты труда на производство единицы продукции, чел-час.
1 2 3 4 5 6	9,26 9,38 12,11 10,81 9,35 9,87	20,42 20,96 22,26 23,67 6,20 5,31	167,67 186,10 220,45 169,30 39,53 40,41	1,45 1,30 1,37 1,65 1,91 1,68	0,23 0,24 0,19 0,17 0,23 0,43

№ п/п	Выработка продукции 1-го работника, тыс. руб.	Рентабельность производства, %	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, тыс. руб.	Фондоотдача, тыс. руб.	Затраты труда на производство единицы продукции, чел-час.
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	8,17 9,12 5,88 6,30 6,22 5,49 6,50 6,61 4,32 7,37 7,02 8,25 8,15 8,72	5,65 5,26 4,66 5,32 3,01 1,81 1,36 8,97 6,30 4,63 10,35 7,33 7,66 9,00	102,96 37,02 45,74 40,07 45,44 41,08 136,14 42,39 37,39 101,78 47,55 32,61 103,25 38,95	1,94 1,89 2,06 1,96 1,02 1,85 0,88 0,62 1,07 1,60 1,53 1,40 2,22 1,32	0,31 0,26 0,49 0,36 0,37 0,43 0,35 0,38 0,42 0,30 0,32 0,25 0,31 0,26

ОПРЕДЕЛИТЕ наличие и направление взаимосвязи между производительностью труда и фондоотдачей. Оцените тесноту связи между этими признаками и сформулируйте выводы.

ЗАДАЧА 308

По данным предыдущей задачи:

1. Измерьтетесноту связи между производительностью труда на металлургических предприятиях региона и трудоемкостью (затратами труда на единицу продукции).

2. По результатам аналитической группировки сформулируйтевыводы.

ЗАДАЧА 309

Используя исходные данные задачи № 307, проверьте наличие и направление зависимости рентабельности производства от среднегодовой стоимости основных производственных фондов. Измерьте тесноту связи между этими признаками и сделайте выводы.

ЗАДАЧА 310

По исходным данным задачи № 307 ОПРЕДЕЛИТЕ наличие и направление связи между рентабельностью производства на металлургических предприятиях региона и трудоемкостью изготовления продукции.

Измерьтетесноту связи между ними исделайте выводы.

ЗАДАЧА 311

Имеется следующая информация о качестве выпускаемой продукции и продолжительности договорных связей поставщиков с потребителями:

Продолжительность договорных связей с поставщиками, лет	Число поставщиков	Средняя доля стандартной продукции в общем ее выпуске, %
До 3 3-7 7-11 11и более	4 9 7 5	73 78 85 98
Итого	25	88,5

ОПРЕДЕЛИТЕ наличие и направление зависимости качества производимой продукции от длительности хозяйственных связей поставщиков с покупателями.

Измерьтетесноту связи исформулируйтевыводы.

ЗАДАЧА 312

По результатам обследования 100 магазинов региона получена следующая информация:

Обследования	Группы магазинов по объему товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов	Средняя торговая площадь одного магазина, м^2
1-е 2-е 3-е 4-е 5-е	1000-1400 1400-2000 2000-3000 3000-4200 4200-5500	21 28 22 16 13	36,05 53,38 45,88 59,60 72,20

ОПРЕДЕЛИТЕ тесноту связи между размером магазина и объемом товарооборота. Сформулируйте выводы.

ЗАДАЧА 313

По результатам обследований 110 семей города проведена их группировка по числу детей и по уровню потребления фруктов:

Обследования	Группы семей по проценту детей в семье	Число семей в группе	Среднемесячное душевое потребление фруктов, кг
1-е 2-е 3-е 4-е 5-е	0 0-23 23-46 46-69 69-92	20 34 41 12 3	3,5 6,8 7,1 8,8 11,2

ОПРЕДЕЛИТЕ наличие и направление взаимосвязи между среднедушевым потреблением фруктов и числом детей в семье.

Измерьте тесноту связи исделайтевыводы.

ЗАДАЧА 314

По результатам группировки 32 коммерческих предприятий по уровню производительности труда получена следующая информация о фондоотдаче и рентабельности основных фондов:

Группы предприятий по уровню производительности труда, тыс. руб.	Число предприятий	Фондоотдача на 1 руб. активной части основных фондов, руб.	Рентабельность основных фондов, руб.
До 60 60-70 70-80 80-90 90-100 100 и выше	4 4 7 7 3 7	40,4 43,1 75.8 65,9 93,1 109,3	2,3 2,8 4,7 4,0 5,1 6,4
Итого	32	75,0	4,4

ОПРЕДЕЛИТЕ направление взаимосвязи между фондоотдачей активной части основных фондов и уровнем производительности труда работников обследованных предприятий.

Измерьтетесноту связи между этими признаками.Сделайтевыводы.

ЗАДАЧА 315

На основании исходных данных предыдущей задачи проанализируйте зависимость рентабельности основных фондов 32 коммерческих предприятий от производительности труда. сформулируйте выводы.

ЗАДАЧА 316

Имеются следующие данные о товарообороте и издержках обращения 25 магазинов города за отчетный период:

№ магазина	Товарооборот, тыс. руб.	Издержки обращения, тыс. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	52,4 54,6 50,1 47,2 68,3 64,4 61,5 58,1 53,2 49,5	32,6 28,0 27,6 25,0 40,6 37,1 32,1 30,2 30,1 25,8
№ магазина	Товарооборот, тыс. руб.	Издержки обращения, тыс. руб.
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25	67,9 63,2 46,4 51,2 56,8 69,0 66,2 48,3 57,5 55,4 51,8 52,2 60,8 62,5 65,1	40,4 34,7 25,2 25,5 26,1 42,3 38,1 26,4 28,3 29,6 31,1 29,2 34,3 36,1 37,2

ОПРЕДЕЛИТЕ тесноту связи между издержками обращения и товарооборотом магазинов, используя аналитическую группировку.

Сделайтевыводы.

ЗАДАЧА 317

Имеются следующие данные об урожайности пшеницы в сельскохозяйственных предприятиях региона и величине выпавших осадков до сева:

№ п/п	Урожайность, ц/га		Величина выпавших осадков в период пара, мм
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	32,5 9,5 33,5 21,3 6,5 7,0 30,5 13,0 33,3 31,2 26,8 7,9 8,7 7,1 6,9 8,5 8,7 8,3 24,5 23,2		42,3 24,8 30,1 26,1 23,7 17,6 22,1 24,3 21,4 26,6 25,9 20,5 21,1 17,9 13,1 14,5 17,3 23,7 35,9 28,9

№ п/п	Урожайность, ц/га	Величина выпавших осадков в период пара, мм
21 22 23 24 25 26	39,3 11,2 26,2 27,3 27,7 16,0	45,9 28,1 34,1 35,3 34,4 30,6

ОПРЕДЕЛИТЕ наличие и направление зависимости урожайности пшеницы в регионе от фактора влажности.

Измерьте тесноту связи исформулируйтевыводы.