Задание 7

Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования от среднемесячного дохода семьи. Предполагается, что эта зависимость носит показательный характер. Необходимо:

1. Найти уравнение показательной регрессии .

2. Найти нелинейный коэффициент парной корреляции и с доверительной вероятностью p= 0,9 проверить его значимость.

3. Если коэффициент корреляции значим, то необходимо сделать прогноз доли расходов на товары длительного пользования при доходе семьи x= 7.2.

хi	2	3,5	4	5	5,5	6,5	8	9	11	14
yi	27.0	23.4	22.1	20.5	19.3	18.9	17.3	16.7	17.7	16.1

Решение:

1. Преобразуем данные:

, ,.

Составим вспомогательную таблицу:

№	x	y			x^2	^2
1	2	27	3,296	6,592	4	10,863
2	3,5	23,4	3,153	11,035	12,25	9,940
3	4	22,1	3,096	12,382	16	9,583
4	5	20,5	3,020	15,102	25	9,123
5	5,5	19,3	2,960	16,281	30,25	8,762
6	6,5	18,9	2,939	19,105	42,25	8,639
7	8	17,3	2,851	22,806	64	8,127
8	9	16,7	2,815	25,339	81	7,927
9	11	17,7	2,874	31,609	121	8,257
10	14	16,1	2,779	38,903	196	7,722
Сумма	68,5	199	29,782	199,153	591,75	88,941
Среднее	6,85	19,9	2,978	19,915	59,175	8,894

Среднеквадратическое отклонение:

, .

, .

Параметры модели:

,

.

Возвращаемся к исходным параметрам:

,

В результате уравнение регрессии имеет вид: .

2. Парный коэффициент корреляции найдем по формулам для линейной модели:

.

Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными Х и Yимеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как отрицательная, т.е. с увеличением среднемесячных доходов расходы на товары длительного пользования уменьшаются.

Проверяем значимость коэффициента корреляции:

Вычисляем статистику:

.

Критическое значение статистики: .

Так как , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.

4. Прогноз при доходе семьи 7,2:

.

12