2 Предел функции

2.1 Понятие предела функции

Во многих практических задачах требуется определить скорость изменения функции при изменении аргумента. В этом случае используется понятие производной функции. Это понятие в свою очередь вводится с помощью понятия предела функции. Поясним смысл понятия предела на примере.

Функция не определена при значении, так как при нем знаменатель обращается в нуль. Таким образом, прифункция имеет разрыв (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 – Функция

Однако если положить значение функции в точке равным, то получим функцию непрерывную на всей числовой оси. Математически это записывается как

В общем случае, если - точка разрыва функции, но возможно найти для нее в точкетакое значение А, при котором измененная функциястанет непрерывной, то это число А называетсяпределом функции в точке, а точка- точкой устранимого разрыва.

Математически это записывается формулой:

Существование предела функции в точкеозначает, что функцияприближенно равнадля всех значений, близких к.

Определение. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при , если, задав произвольное как угодно малое положительное число, можно найти такое  >0 (зависящее от ), что для всех x, лежащих в  - окрестности числа , т.е. дляx, удовлетворяющих неравенству , значения функцииf(x) будут лежать в  - окрестности числа А, т.е. .

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке  - “.

На рисунке 2.2. проиллюстрировано определение предела функции при. Для построения этого рисунка необходимо выполнить следующие действия:

1. построить график функции и отметить точкииА;

2. построить окрестность точки А, выбрав произвольное число ;

3. по точкам ,и графику функции построитьокрестность точки. Расстояния от точкидо точекидолжны быть равными, поэтому из двух полученных отрезков следует взять меньший и отложить его в обе стороны от точки;

4. взять произвольную точку , принадлежащую окрестности точки, и по графику функции найти значение, которое должно попасть в построенную окрестность точкиА.

Рисунок 2.2 – Определение предела функции

Если и при этом , то пишут . Если, в частности, , то вместо символа 0+0 пишут +0.

Аналогично если и при этом , то пишут .

Числа иназываются соответственнопределом справа и пределом слева функции f(x) в точке .

Для существования предела функции f(x) при необходимо и достаточно, чтобы =.

Определение. Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом ноль, называется бесконечно малой величиной.

Определение. Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

2.2 Правила вычисления пределов

При вычислении пределов следует учитывать следующие основные правила:

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:

.

2. Предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей:

.

3. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

5. Предел постоянной равен самой постоянной:

.

6. Для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами:

.

Нахождение предела функции следует начинать с подстановки значенияв выражение для функции. При этом если получается числовое значение 0 или, то искомый предел найден.

Пример 2.1. Вычислить предел.

Решение.

.

Выражения вида ,,,,,называютсянеопределённостями.

Если получается неопределенность вида , то для нахождения предела нужно преобразовать функцию так, чтобы раскрыть эту неопределенность.

Неопределенность вида обычно получается, когда задан предел отношения двух многочленов. В этом случае, для вычисления предела рекомендуется разложить многочлены на множители и сократить на общий множитель. Этот множитель равен нулю при предельном значениих.

Пример 2.2. Вычислить предел.

Решение.

Подставляя , получим неопределенность:

.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

;

Сократим на общий множитель и получим

.

Неопределенность вида получается, когда задан предел отношения двух многочленов при. В этом случае для вычисления рекомендуется разделить оба многочлена нахв старшей степени.

Пример 2.3.Вычислить предел.

Решение. При подстановке ∞ получается неопределенность вида, поэтому разделим все члены выражения наx³.

.

Здесь учитывается, что .

При вычислении пределов функции, содержащей корни, рекомендуется умножить и разделить функцию на сопряженное выражение.

Пример 2.4. Вычислить предел

Решение.

При вычислении пределов для раскрытия неопределенности вида или (1)^∞часто используются первый и второй замечательные пределы:

и

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример.

Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед.

Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100  1,5 = 150, а еще через полгода - в 150  1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100  (1 +1/3)^ 237 (ден. ед.).

Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100  (1 +1/10)¹⁰  259 (ден. ед.),

100  (1+1/100)¹⁰⁰  270 (ден. ед.),

100  (1+1/1000)¹⁰⁰⁰  271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

Пример 2.5. Вычислить предел функции

Решение.

Пример 2.6. Вычислить предел функции .

Решение. Подставляяполучим неопределенность:

.

Используя тригонометрическую формулу, преобразуем числитель в произведение:

В результате получаем

Здесь учитывается второй замечательный предел .

Пример 2.7. Вычислить предел функции

Решение.

.

Для раскрытия неопределенности вида илиможно использовать правило Лопиталя, которое основано на следующей теореме.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных

Заметим, что это правило можно применять несколько раз подряд.

Пример 2.8.Найти

Решение. При подстановке, имеем неопределенность вида. Применяя правило Лопиталя, получим