4. Число сочетаний.

Предположим, что по n ячейкам размещается r неразличимых между собой (в каждую ячейку можно поместить только один предмет). Тогда число различных размещений совпадает с числом различных групп по r ячеек и равно

.

Вышеприведенная формула также определяет число подмножеств размерности r множества из n элементов, где два подмножества считаются различными, если они отличаются элементами, а порядок их следования – несущественен. Соответственно в знаменателе имеем деление на r!.

Полученная формула относится также к разбиению n различных элементов (ячеек) на две группы (группа 1 - пустые ячейки и группа 2 - занятые ячейки).

Результат разбиения можно представить в виде вектора размерности n, содержащего r единиц (признак незанятости ячейки) и (n-r) двоек (признак занятости ячейки). Два разбиения различны, если различны соответствующие им вектора.

Рассмотрим общий случай разбиения n различных элементов на k групп, причем в группе с номером i число элементов равно n_i и . Результат разбиения вновь можно представить в виде вектора размерностиn, содержащего n₁ единиц, n₂ двоек, …, n_k чисел k. Два разбиения различны, если различны соответствующие им вектора. Число различных разбиений дается формулой

.

Пример 1: N различных шаров случайно размещаются по М ящикам, М>N.

Найти вероятность, что все шары попадут в разные ящики.

Решение.

Число способов размещения N шаров по М ящикам равно М^N.

Число способов размещения N шаров по М ящикам, когда в каждый ящик попадает по одному шару равно

.

Ответ:

Пример 2:При игре в бридж между 4-мя игроками распределяются 52 карты (по 13 каждому). Найти вероятность, что каждому игроку достанется по тузу.

Решение.

Число разбиений 52 карт на 4 группы по 13 карт дается формулой

, где n=52, n₁= n₂= n₃=n₄=13,

Найдем вероятность, что каждому игроку достанется по тузу.

Четыре туза распределяются между четырьмя игроками 4! способами. Оставшиеся 48 карт распределяются между четырьмя игроками числом способов, равных число разбиений 48 карт на 4 группы по 12 карт; . Следовательно, искомая вероятность равна

.

Пример 3: (гипергеометрическое распределение вероятностей).

Существует большой класс задач ТВ, которые можно интерпретировать в рамках так называемой урновой схемы: событие, вероятность которого надо вычислить, можно трактовать как выбор шаров различной расцветки из урны. Простейшая из таких схем состоит в следующем. Из урны, содержащей М черных и N-M белых шаров, случайно вынимается n шаров. Какова вероятность того, что выборка содержит m черных шаров?

Решение.

В этом эксперименте пр-во элементарных событий состоит из исходов. Решение задачи сводится к подсчету числа выборок изn шаров, которые содержат m черных и n-m белых шаров.

Очевидно что, .

Правая часть неравенства означает, что число черных шаров m должно быть меньше объема выборки n и числа M черных шаров.

Левая часть неравенства означает, что если объем выборки n превышает число белых шаров N-M, то число черных шаров не может быть меньше, чем n-(N-M) = (размер выборки – число белых шаров).

Число способов выбора из М черных шаров m шаров равно . Число способов выбора изN-M белых шаров n-m шаров равно .

Следовательно общее число исходов, соответствующее событию А – «выборка содержит m черных шаров» равно , и искомая вероятность

Р(А)=/.

Пример 4: (Задача про рыб).

Из озера вылавливается 1000 рыб. Каждая из рыб метится красной меткой и отпускается в озеро. При следующем улове среди 1000 рыб оказалось 100 меченых. Какие выводы можно сделать относительно числа рыб?

Решение.

Пусть n – (неизвестное) число рыб в озере, n₁-число меченых рыб (n₁=1000), r – число рыб, пойманных при втором улове (r=1000), k- число меченых рыб, пойманных при втором улове (k =100).

Вероятность поймать k меченых рыб есть

.

Для оценки числа рыб n предлагается найти n из условия максимума вероятности , то есть в предположении, что при втором улове реализовалось наиболее вероятное событие. Основной довод в пользу такой оценки числа рыб состоит в простом житейском наблюдении: если происходит какое-либо событие, то это событие должно иметь наибольшую вероятность среди всех остальных исходов.

Для определения максимума вероятности по переменнойn, рассмотрим

при ипри.Это значит, что при возрастанииn вероятности сначала возрастают, а затем убывают. Максимум достигается, когдаn есть максимальное целое число, не большее чем .

Геометрические вероятности.

Еще в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность классического определения вероятности, основанного на конечности множества элементарных исходов. В результате было построено понятие вероятности когда имеется бесконечное число равновероятных исходов.

Пусть элементарные исходы можно представить точками n-мерного евклидового пространства, равномерно заполняющими некоторую область G. Тогда событиям будут соответствовать подобласти области G. За вероятность события А принимается отношение площади (объема) области А к площади (объему) :.

Пример 5: (Задача о встрече). Двое договорились встретиться в промежутке между 10 и 11 часами, причем каждый ждет другого в течение 15 минут и потом уходит. Считая, что у каждого все моменты прихода на место встречи с 10 до 11 равновозможные, найти вероятность их встречи.

Решение.

Представим элементарные события в виде пар чисел (x,y), где x – время прихода одного из них, а y - время прихода другого. Из условия задачи элементарные события равномерно заполняют квадрат со стороной, равной единице (в часах).

Встреча происходит, если .

Вероятность встречи определяется отношением площадей .

Некоторые свойства вероятности.

Во всех трех рассмотренных случаях вероятность удовлетворяет следующим очевидным свойствам.

1.

2.

3. Если (события А и В несовместны), то.

Дальнейшее построение теории будет проведено так, что эти интуитивно понятные свойства будут сохраняться.