4.2. Метод Байеса
Метод Байеса является одним из наиболее простых и мощных методов. Этот метод основан на вычислении условной вероятности появления такого события, как диагноз Di при появлении конкретной реализации комплекса признаков K* [2, 3, 27].
Рассмотрим первоначально основные положения этого метода на простейшем случае, когда имеется диагноз Di и один бинарный признак Kj, встречающийся при появлении этого диагноза.
Определим некоторые понятия:
1. P(Di) - априорная (доопытная) вероятность появления диагноза Di . Эту вероятность определяют по статистическим данным на начальном этапе применения метода исходя из следующих соображений. Если при обследовании N объектов диагноза установлено, что из них Ni имеют диагноз Di, то вероятность появления этого диагноза определяется соотношением
.
2. P(Kj
/ Di)
- априорная условная вероятность
появления признака Kj
у объектов имеющих техническое
состояние (диагноз) Di.
Эта вероятность также определяется на
начальном этапе по имеющимся статистическим
данным. Если из N
обследованных объектов Ni
находилось в диагнозе Di,
а из них Nij
объектов имели признак Kj,
то условная вероятность появления
признака Kj
у объектов
с диагнозом Di
вычисляется следующим образом:
.
4. P(Kj) - априорная вероятность появления признака Kj у всех объектов независимо от их состояния. То есть, если из N объектов независимо от их технического состояния у Nj был обнаружен признак Kj, то эта вероятность определяется следующим соотношением:
.
Напомним некоторые положения теории вероятностей. Пусть мы имеем два события А и В. Известны вероятности появления этих событий P(A) и P(B), а также условная вероятность появления события A при уже состоявшемся событии B P(A / B) и условная вероятность появления события B при уже состоявшемся событии A P(B / A). Тогда вероятность одновременного появления событий A и B P(A,B) определяется следующей формулой:
P(A,B) = P(A) P(B / A) = P(B) P(A / B).
Воспользовавшись этой формулой и данными выше понятиями, можно записать вероятность одновременного появления диагноза Di и признака Kj следующим образом:
P(Di , Kj) = P(Di) P(Kj / Di) = P(Kj) P(Di / Kj).
В этом выражении величина P(Di / Kj) - это условная вероятность существования диагноза Di при обнаружении признака Kj , то есть это та величина, которая ищется при вероятностном подходе к решению задачи распознавания диагнозов. После соответствующих преобразований из последнего выражения получим формулу Байеса
P(Di / Kj) = P(Di) P(Kj / Di) / P(Kj). (4.1)
Формула (4.1) получена для случая, когда при постановке диагноза используется один простой признак.
Для принятия решения о диагнозе при использовании набора (комплекса) признаков применяется обобщенная формула Байеса, которую можно получить из следующих соображений. Если диагностирование проводится по комплексу признаков, то в результате обследования мы получаем конкретную реализацию каждого j-го признака K*j и, следовательно, конкретную реализацию комплекса признаков K* в целом. В этом случае формула Байеса предстанет в виде
(4.2)
где P(Di / K*) - условная вероятность нахождения объекта диагностики в диагнозе Di при условии, что в ходе обследования была получена реализация K* комплекса признаков K; P(K*) - вероятность появления конкретной реализации K* комплекса признаков K у всех диагностируемых объектов, независимо от их технического состояния; P(K*/Di) - условная вероятность появления конкретной реализации K* комплекса диагностических признаков K для объектов, находящихся в диагнозе Di.
Преобразуем последнее выражение с учетом следующих соображений.
Примем, что система может находиться только в одном из n технических состояний, тогда
.
Будем считать, что отдельные диагностические признаки, входящие в состав комплекса признаков, - независимые. Такое допущение вполне справедливо для реальных условий при большом числе влияющих факторов. Тогда условную вероятность P(K*/ Di) в соответствии с известными положениями теории вероятностей можно представить как произведение:
где P(K*j / Di) - условная вероятность появления конкретной реализации K*j j-го признака при нахождении объекта диагностики в диагнозе Di; j = 1... L.
Вероятность же появления конкретной реализации комплекса признаков при нахождении объекта во всех диагнозах P(K*) можно представить следующим образом:
.
С учетом последних соотношений уравнение (4.2) перепишем в окончательном виде:
.
(4.3)
Полученное уравнение называется обобщенной формулой Байеса.
Сделаем некоторые замечания к полученным соотношениям.
1.Поскольку проверяемый объект обязательно будет находиться в одном из диагнозов Di, то с учетом соотношения (4.3) можно записать:
.
2.Если реализация некоторого комплекса признаков K* встречается только для одного диагноза DS , а для остальных диагнозов не встречается, то такая реализация комплекса признаков называется детерминирующей для диагноза DS. Для этой реализации комплекса признаков справедливо соотношение
Тогда из обобщенной формулы Байеса следует, что
Анализ этих замечаний свидетельствует о том, что детерминистский подход является частным случаем вероятности.
Для практического использования метода Байеса на первоначальном этапе необходимо произвести расчет априорных вероятностей появления i-х диагнозов и условных априорных вероятностей появления m-го разряда j-го признака при нахождении объекта диагностики в Di-м диагнозе. Расчет этих вероятностей производится на основе статистического материала, полученного из эксплуатации. Результаты этих расчетов и результаты окончательных расчетов вероятностей появления диагнозов при полученном комплексе признаков удобно представлять в табличном виде.
Рассмотрим порядок диагностирования с помощью метода Байеса.
На первоначальном этапе на основе собранного статистического материала определяют:
- набор диагнозов Di, подлежащих распознаванию;
- априорные вероятности появления этих диагнозов P(Di).
- априорные вероятности появления m-го разряда j-го признака Kjm при нахождении объекта в диагнозе Di, то есть P(Kjm/ Di) .
Для удобства работы эти данные представляются в виде табл.4.1, которая называется диагностической матрицей в методе Байеса [2].
Таблица 4.1
Диагностическая матрица в методе Байеса
|
|
D1 |
D2 |
… |
Di |
... | |
|
K1 |
P(K11/ Di) |
|
|
|
|
|
|
|
P(K12/ Di) |
|
|
|
|
|
|
|
P(K13/ Di) |
|
|
|
|
|
|
K2 |
P(K21/ Di) |
|
|
|
|
|
|
|
P(K22/ Di) |
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
Kj |
P(Kjm/ Di) |
|
|
|
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
Kl |
P(Klm/ Di) |
|
|
|
|
|
|
P(Di) |
|
|
|
|
| |
\
Di
Составление этой таблицы является важнейшим моментом при диагностировании с использованием метода Байеса. Поскольку эксплуатация ведется непрерывно, то исходные данные постоянно пополняются и элементы диагностической матрицы должны постоянно уточняться.
Пользуясь данными, представленным в диагностической матрице, для каждого из диагнозов Di с использованием обобщенной формулы Байеса (4.3) рассчитываются послеопытные (апостериорные) вероятности появления диагноза Di при условии, что в ходе измерений получена конкретная реализация комплексах признаков K*s, то есть P(Di/ K*s). Для удобства пользования результаты расчета заносятся в табл. 4.2 следующего вида:
Таблица 4.2
|
Di\P(Di / K*S)
|
P(Di/ K*1) |
P(Di/ K*2) |
... |
P(Di/ K*S) |
|
D1 |
P(D1/ K*1) |
P(D1/ K*2) |
... |
P(D1/ K*S) |
|
D2 |
P(D2/ K*1) |
P(D2/ K*2) |
... |
P(D2/ K*S) |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
Dn |
P(Dn/ K*1) |
P(Dn/ K*2) |
|
P(Dn/ K*S) |
Решающим правилом является выбор, диагноза имеющего максимальную рассчитанную вероятность при данном наборе признаков, то есть при использовании метода Байеса объект с комплексом признаков K*s относится к диагнозу c наибольшей рассчитанной (апостериорной) вероятностью P(Di/ K*s).
Следует отметить, что метод Байеса обладает рядом недостатков:
1. Для реализации данного метода необходим большой объем экспериментальных начальных данных, которые можно получить только из эксплуатации.
2. Для метода характерны большие погрешности при распознавании редких диагнозов из-за грубости оценок вероятности появления этих диагнозов.
3. Отсутствует однозначный критерий для выбора порогового значения вероятности P(Di/K*s), по которому принимается решение по диагнозу.
Несмотря на имеющиеся недостатки, метод Байеса достаточно эффективен и прост в реализации, в том числе и при использовании вычислительной техники.
Поясним метод Байеса на примере. Пусть при эксплуатации авиационного ГТД контролируются время выбега ротора при останове t и вибрация корпуса двигателя V. В качестве диагностических признаков принимаются: K1 - время выбега ротора меньше требуемого по техническим условиям; K2 - повышенная вибрация. Для данного типа ГТД появление этих признаков связано со следующими диагнозами: D1 - увеличенный зазор по бандажным полкам рабочих лопаток турбины; D2 - износ беговых дорожек подшипника ротора. Исправное состояние будем обозначать D3.
В ходе эксплуатации было установлено, что для двигателей, находящихся в исправном состоянии, признак K1 не встречается, а признак K2 встречается у 10% двигателей. То есть P(K1/ D3) = 0, а P(K2/ D3) = 0,1.
Известно, что 85% двигателей отрабатывают свой ресурс без дефектов, для 10% двигателей наблюдается диагноз D1, а для 5% - диагноз D2. Поэтому принимаем P(D1) = 0,1; P(D2) = 0,05; P(D3) = 0,85.
Далее, в ходе сбора статистики определено, что признак K1 встречается у 15% двигателей, находящихся в диагнозе D1, и у 55% двигателей, находящихся в диагнозе D2. Следовательно P(K1/ D1) = 0,15 и P(K1/ D2) = 0,55. Признак K2 встречается у 10% двигателей, находящихся в диагнозе D1, и у 50% двигателей, находящихся в диагнозе D2, то есть P(K2/ D1) = 0,1 и P(K2/ D2) = 0,50.
Составим диагностическую матрицу. При этом будем считать, что признаки K1 и K2 бинарные и обозначим: K1 - отсутствие первого признака и K2 - отсутствие второго признака. Тогда вероятности непоявления первого и второго признаков соответственно определятся соотношениями
P(K1/ Di ) = 1 - P(K1/ Di ) и P(K2/ Di ) = 1 - P(K2/ Di ) .
Таблица 4.3
Диагностическая матрица
|
P(Kj/ Di )\ Di |
D1 |
D2 |
D3 |
|
P(K1/ Di ) |
0,15 |
0,55 |
0 |
|
P(K1/ Di ) |
0,85 |
0,45 |
1 |
|
P(K2/ Di ) |
0,1 |
0,5 |
0,1 |
|
P(K2/ Di ) |
0,9 |
0,5 |
0,9 |
|
P( Di ) |
0,1 |
0,05 |
0,85 |
Пользуясь формулой Байеса, определим вероятность появления каждого из диагнозов при различных сочетаниях признаков. Например, в соответствии с формулой (4.3), вероятность нахождения двигателя в диагнозе D1 при наблюдении обоих признаков определится из соотношения
Результаты расчетов сведем в табл. 4.4, подобную табл. 4.2
Таблица 4.4
|
|
P(Di / K1, K2) |
P(Di / K1, K2) |
P(Di / K1, K2) |
P(Di / K1, K2) |
|
D1 |
0,0984 |
0,0811 |
0,4954 |
0,0897 |
|
D2 |
0,9016 |
0,1074 |
0,5046 |
0,0132 |
|
D3 |
0 |
0,8115 |
0 |
0,8971 |
В соответствии с полученными результатами можно сделать следующее заключение:
1. Если при диагностировании были обнаружены оба признака (повышенная вибрация и малое время выбега ротора), то можно достаточно уверенно предположить, что у подшипника ротора появился износ беговых дорожек.
2. Если при диагностировании оба признака отсутствуют, то наиболее вероятно исправное состояние двигателя.
3. Если при диагностировании обнаружен только первый признак (увеличение времени выбега), то уверенно можно сказать, что двигатель неисправен, но для разделения неисправных состояний необходимы дополнительные исследования.
4. Если при диагностировании обнаружен только второй признак (повышенная вибрация), то с большой степенью вероятности можно предположить, что двигатель находится в исправном состоянии.