3.6.2.Исследование механизмов стимулирования в многоэлементных системах с сильно связанными агентами

Расчлените каждую изучаемую вами задачу на столько частей, на сколько сможете и на сколько это потребуется вам, чтобы их было легко решить.

Рене Декарт. Рассуждение о методе

Многоэлементная система с сильно связанными агентами представлена на рис. 3.21.

рис. 3.21. Многоэлементная система с сильно связанными агентами

Вектордействия всех агентов.Интересы и предпочтения участников организационной системы выражены их целевыми функциями. Целевая функция центра представляет собой разность между его доходом и суммарным вознаграждением, выплачиваемым агентам:

.

Целевая функция i-го агента представляет собой разность между стимулированием, получаемым от центра и затратами:

.

Центру и агентам в момент принятия решения о выбираемых решениях известны целевые функции и допустимые множества всех участников систем.

Центр обладает правом первого хода, выбирает функции стимулирования и сообщает их агентам. После чего агенты при известных функциях стимулирования выбирают действия, максимизирующие их целевые функции. Так как и затраты, и стимулирование каждого агента в рассматриваемой модели зависят от действий всех агентов, то агенты оказываются вовлеченными в игру, в которой выигрыш каждого зависит от действий всех.

Исходом игры между агентами является равновесие, например равновесие Нэша. Когда агенты независимы, то оптимальной является компенсаторная система стимулирования. Применим эту систему для решения многоэлементной задачи. Центр компенсирует затраты агенту в случае выполнения плана , независимо от того, какие действия выбрали остальные агенты, в случае не выполнения плана центр не выплачивает вознаграждение:

где - совокупность действий остальных игроков, кромеi-го (обстановка игры дляi-го игрока).

Используя такое управление, центр декомпозирует игру агентов. Принцип декомпозиции – это использование таких управлений, которые декомпозируют взаимодействие агентов, делают возможным в игре агентов равновесие в доминантных стратегиях. При использовании компенсаторной системы стимулирования выполнение плана для каждого агента является равновесием Нэша. В этом случае выполнение плана будет максимизировать целевые функции агента, независимо от действий остальных, то есть выполнение плана будет равновесием в доминантных стратегиях.

Компенсаторная система стимулирования реализует вектор плана центра, как равновесие в доминантных стратегиях игры агента, при этом центр платит минимально возможную величину в виде вознаграждения.

Рассмотрим систему стимулирования с сильно связанными агентами. Руководитель (центр) поручает работу бригаде, состоящей из 2 рабочих. Рабочие (агенты) изготавливают однородную продукцию объёмом ,которую центрпродаёт по цене p. Центр использует пропорциональную систему стимулирования , где-ставка оплаты единицы продукции. Затраты агентов определяются соответственно . Фонд заработной платы, которым располагает центр составляетR денежных единиц. Определить ставку оплаты единицы продукции .

Запишем целевую функцию центра:ﾧ

и целевые функции агентов:

;

.

Сформулируем задачу стимулирования:

Первый этап.Найдем реакции агентов из решения оптимизационной задачи. Для этого продифференцируем второе и третье выражения по y₁ и y₂ соответственно и приравняем их к нулю:

Решая эту систему, получим:

Подставим второе уравнение в первое, после преобразований получим:

. (3.31)

Аналогично найдём реакцию второго агента:

. (3.32)

Второй этап. Подставим реакции агентов (3.31), (3.32) в целевую функцию центра:

.

После преобразований получим:

.

Продифференцировав это выражение по ,и приравняв производные нулю, получим систему уравнений:

Выразим из второго уравнения второй параметр: и подставим его в первое уравнение:

.

Решая полученное уравнение, найдём первый параметр:

.

Аналогично найдём второй параметр:

.

Пример 3.3. Задача стимулирования с сильно связанными агентами

Руководитель (центр) поручает работу бригаде, состоящей из 2 рабочих. Рабочие (агенты) изготавливают однородную продукцию объёмом ,которую центрпродаёт по цене p=1500. Центр использует пропорциональную систему стимулирования , где-ставка оплаты единицы продукции. Затраты агентов определяются соответственно . Фонд заработной платы, которым располагает центр составляетR=37000 денежных единиц. Определить ставку оплаты единицы продукции .

Решение. Запишем целевую функцию центра:ﾧ

и целевые функции агентов:

;

.

Сформулируем задачу стимулирования:

Первый этап.Найдем реакцию первого агента из решения оптимизационной задачи. Для этого продифференцируем целевую функцию агента по и приравняем к нулю:

.

Решая уравнение, определим реакцию первого агента .

Аналогично найдём реакцию второго агента .

Решив систему уравнений относительнои, получим реакции агентов:

, .

Второй этап. Подставим реакции агентов в целевую функцию центра:

.

Продифференцировав это выражение по ,и приравняв нулю, получим систему уравнений:

Решив полученную систему уравнений, определим параметры системы стимулирования ,.

Таким образом, параметры функций стимулирования для обоих агентов разные.