Вопрос 20

20. Динамические структуры данных. Списки, деревья.

Связанные списки

Очереди и стеки имеют две характерные особенности: обе структуры данных имеют строгие правила доступа к хранящимся в них данным, причем в результате выполнения операций извлечения данные, в сущности, уничтожаются. Другими словами, доступ к элементу в стеке или очереди приводит к его удалению, и если этот элемент не сохранить где-либо в другом месте, он теряется. Кроме того, и в стеке, и в очереди используется один последовательный участок памяти. В отличие от стека или очереди, связанный списокдопускает гибкие способы доступа, поскольку каждый фрагмент информации имеет ссылку на следующий элемент данных в цепочке. Кроме того, операция извлечения не приводит к удалению из списка и уничтожению элемента данных. В принципе, для этой цели необходимо ввести дополнительную специальную операцию удаления.

Связанные списки могут быть односвязными и двусвязными^[1]. Односвязный список содержит ссылку на следующий элемент данных. Двусвязный список содержит ссылки как на последующий, так и на предыдущий элементы списка. Выбор типа применяемого списка зависит от конкретной задачи.

Односвязные списки

В односвязном списке каждый элемент информации содержит ссылку на следующий элемент списка. Каждый элемент данных обычно представляет собой структуру, которая состоит из информационных полей и указателя связи. Концептуально односвязный список выглядит так, как показано на рис. 22.2.

Рис. 22.2 Односвязный список

+---------+ +---------+ +---------+

| данные | | данные | | данные |

+---------+ +---------+ +---------+

|указатель|--->|указатель|--->| 0 |

+---------+ +---------+ +---------

Существует два основных способа построения односвязного списка. Первый способ — помещать новые элементы в конец списка^[1]. Второй — вставлять элементы в определенные позиции списка, например, в порядке возрастания. От способа построения списка зависит алгоритм функции добавления элемента. Давайте начнем с более простого способа создания списка путем помещения элементов в конец.

Как правило, элементы связанного списка являются структурами, так как, помимо данных, они содержат ссылку на следующий элемент. Поэтому необходимо определить структуру, которая будет использоваться в последующих примерах. Поскольку списки рассылки обычно хранятся в связанных списках, хорошим выбором будет структура, описывающая почтовый адрес.

Кроме того, если список уже отсортирован, имеет смысл поддерживать его упорядоченность, вставляя новые элементы в соответствующие позиции. Для вставки элемента таким способом требуется последовательно просматривать список до тех пор, пока не будет найдено место нового элемента, затем вставить в найденную позицию новую запись и переустановить ссылки.

При вставке элемента в односвязный список может возникнуть одна из трех ситуаций: элемент становится первым, элемент вставляется между двумя другими, элемент становится последним.

У односвязных списков есть один большой недостаток: односвязный список невозможно прочитать в обратном направлении. По этой причине обычно применяются двусвязные списки

Двусвязные списки

Двусвязный список состоит из элементов данных, каждый из которых содержит ссылки как на следующий, так и на предыдущий элементы. На рис. 22.5 показана организация ссылок в двусвязном списке.

Рис. 22.5. Двусвязные списки

+-------+ +-------+ +-------+

|данные | .->|данные | .->|данные |

+---+---+ | +---+---+ | +---+---+

| 0 | |-' | | |-' | | 0 |

| | |<---| | |<---| | |

+---+---+ +---+---+ +---+---

Наличие двух ссылок вместо одной предоставляет несколько преимуществ. Вероятно, наиболее важное из них состоит в том, что перемещение по списку возможно в обоих направлениях. Это упрощает работу со списком, в частности, вставку и удаление. Помимо этого, пользователь может просматривать список в любом направлении. Еще одно преимущество имеет значение только при некоторых сбоях. Поскольку весь список можно пройти не только по прямым, но и по обратным ссылкам, то в случае, если какая-то из ссылок станет неверной, целостность списка можно восстановить по другой ссылке.

При вставке нового элемента в двусвязный список могут быть три случая: элемент вставляется в начало, в середину и в конец списка.

Построение двусвязного списка выполняется аналогично построению односвязного за исключением того, что необходимо установить две ссылки. Поэтому в структуре данных должны быть описаны два указателя связи.

Как и в односвязных списках, для получения элемента данных двусвязного списка необходимо переходить по ссылкам до тех пор, пока не будет найден искомый элемент.

Двоичные деревья

Напоследок мы рассмотрим структуру данных, которая называется двоичное дерево(binary tree). Несмотря на то, что бывает много различных типов деревьев, двоичные деревья играют особую роль, так как в отсортированном состоянии позволяют очень быстро выполнять вставку, удаление и поиск. Каждый элемент двоичного дерева состоит из информационной части и указателей на левый и правый элементы. На рис. 22.8 показано небольшое двоичное дерево.

Рис. 22.8. Пример двоичного дерева, высота которого равна 3

корень

↙

+-------+

|данные |

+---+---+

левое | | | правое

поддерево +---+---+ поддерево

↘ ↙ ↘ ↙

+-------+ +-------+

|данные | |данные |

+---+---+ +---+---+

| | | | 0 | |

+---+---+ +---+---+

↙ ↘ ↘

+-------+ +-------+ +-------+

|данные | |данные | |данные |

+---+---+ +---+---+ +---+---+

| 0 | 0 | | 0 | 0 | | 0 | 0 |

+---+---+ +---+---+ +---+---+

↑ ↑ ↑

'----------------листья-----------------

При обсуждении деревьев применяется специальная терминология. Программисты не являются специалистами в области филологии, и поэтому терминология, применяемая в теории графов (а ведь деревья представляют собой частный случай графов!), является классическим примером неправильного употребления слов. Первый элемент дерева называется корнем(root). Каждый элемент данных называетсявершиной дерева(node), а любой фрагмент дерева называетсяподдеревом(subtree). Вершина, к которой не присоединены поддеревья, называетсязаключительным узлом(terminal node) илилистом(leaf).Высота(height) дерева равняется максимальному количеству уровней от корня до листа. При работе с деревьями можно допустить, что в памяти они существуют в том же виде, что и на бумаге. Но помните, что дерево — всего лишь способ логической организации данных в памяти, а память линейна.

В некотором смысле двоичное дерево является особым видом связанного списка. Элементы можно вставлять, удалять и извлекать в любом порядке. Кроме того, операция извлечения не является разрушающей. Несмотря на то, что деревья легко представить в воображении, в теории программирования с ними связан ряд сложных задач. В данном разделе деревья затрагиваются лишь поверхностно.

Большинство функций, работающих с деревьями, рекурсивны, поскольку дерево по своей сути является рекурсивной структурой данных. Другими словами, каждое поддерево, в свою очередь, является деревом. Поэтому разрабатываемые здесь функции будут рекурсивными. Существуют и не рекурсивные версии этих функций, но их код понять намного сложнее.

Способ упорядочивания дерева зависит от того, как к нему впоследствии будет осуществляться доступ. Процесс поочередного доступа к каждой вершине дерева называется обходом (вершин) дерева(tree traversal). Рассмотрим следующее дерево:

d

↙ ↘

b f

↙ ↘ ↙ ↘

a c e g

Существует три порядка обхода дерева: обход симметричным способом, илисимметричный обход(inorder),обход в прямом порядке, прямой обход, упорядоченный обход, обход сверху, илиобход в ширину(preorder) и обход вобратном порядке, обход в глубину, обратный обход, обход снизу(postorder). При симметричном обходе обрабатывается сначала левое поддерево, затем корень, а затем правое поддерево. При прямом обходе обрабатывается сначала корень, затем левое поддерево, а потом правое. При обходе снизу сначала обрабатывается левое поддерево, затем правое и, наконец корень. Последовательность доступа при каждом методе обхода показана ниже:

Симметричный обход a b c d e f g

Прямой обход d b a c f e g

Обход снизу a c b e g f d

Несмотря на то, что дерево не должно быть обязательно упорядоченным, в большинстве задач используются именно такие деревья. Конечно, структура упорядоченного дерева зависит от способа его обхода. В оставшейся части данной главы предполагается симметричный обход. Поэтому упорядоченным двоичным деревом будет считаться такое дерево, в котором левое поддерево содержит вершины, меньшие или равные корню, а правое содержит вершины, большие корня.

Двоичные деревья — исключительно мощное, гибкое и эффективное средство. Поскольку при поиске в сбалансированном дереве выполняется в худшем случае log₂n сравнений, оно намного лучше, чем связанный список, в котором возможен лишь последовательный поиск.