38 Дискретный случайный вектор

-называется дискретным, если множество значений каждой из его координат конечно или счетно, т.е. любая координата является дискретной случайной величиной.

Рассмотрим более подробно двумерный случайный вектор (XY). Пусть случайная величинаи

Рядом распределения случайного вектора (XY) является таблица (матрица) соответствующих значений случайных величин и их вероятностей.

X Y	Y1	...	Ym
X1	P11	...	P1m
....	...	...	....
Xn	Pn1	....	Pnm

Непрерывный случайный вектор

О. Случайный вектор (XY) называется непрерывным, если случайные ф-ии распределения непрерывны и дважды дифференцируемы всюду, за исключением конечного числа конечных точек.

О. Совместной (двумерной) вероятностью случайного вектора (XY) называется ф-ия:

Вероятностный смысл:

39 Свойства

1) (ткнеубывающая ф-ия)

2) . Док-во: разобьем область Д прямыми, параллельными осям координат, на n частичных областей Д_К;-стороны прямоугольника Декарта. , т.к. топереходя в это равенстве к получим:

3)

4) условия нормировки:

5) Свойство согласованности: ;

40. Пусть Х и У-произвольные, стохастически связанные(зависимые) случайные величины с совместной функцией рапределения F(X,У). Если известно, что случ. вел-на У приняла значение У=у, то закон распределения случ вел-ны Х изменится. Новый закон распределения Х наз-ся условным законом распределения, при условии,что У=у. Характеристикой условного з-на распределения является условная функция распределения:

F(х I Y=y) = P(X<x I Y=y)

Если P(Y=y)=0, то это определение не имеет смысла.

Рассмотрим дискрет. случ. вектор (Х,У):

Пусть случ. вел-ны Х и У принимают значения (х1,х2,…,), (у1,у2,…,) соответсвенно, тогда:

F(х I Y=) = P(X<x I Y=)= =

Аналогично:

F(y I X=) =

Рассмотрим непр случ вектор:

Условная функция распределения в этом случае опред след образом:

F(х I Y=y) = P(X<x I Y=y) = === [применим теор о среднем где ]= = [при ] =

41 F(x I Y=y) =

Аналогично: F(y I X=x) =

fy(y I X=x) =

Из этих формул выразим совместную плотность вероят.:

f(x,y) = fy(y)fx(x I Y=y) = fx(x)fy(y I X=x) – формула произведения плотностей вероятностей.

Проинтегрируем равенство f(x,y) = fy(y)fx(x I Y=y) по у:

Аналогично:

=

Эти 2 формулы наз-ся формулами полной вероятности. Они позволяют находить маргинальную плотность 1ой случ величины по известной маргинальной плотности другой и условной плотности.

Запишем формулу Бейеса:

fx(x I Y=y) = =

Аналогично:

fy(y I X=x) =

42.Две случайные величины Х и У называются независимыми, если независимы связанные с ними события ( Х=х,У=у и т.п.)

Т.к. свойство независимости соб. взаимное, то и свойство независимости случайных величин также взаимно,т.е. если Х не зависит от У то и У не зависит от Х и наоборот.

В терм. з-нов распределения условие независимости имеет вид:

F(x,y) = P((X<x)*(Y<y)) = P(X<x)*P(Y<y) = F(x)F(y), т.е. для независ. случ. величины совместная функция распределения равна произведению функций распределений отдельного компонента вектора.