краткий курс лекций по электростатике

Для потенциала

Снаружи:	dϕ = −2kτ dr ;
						r
	ϕ = −2kτ ln r +const;
	ϕ		r=R = 0;
	0 = −2kτ ln R +const;
	const = 2kτ ln R;
	ϕ = −2kτ ln r + 2kτ ln						R =	2kτ (ln R −ln r )= 2kτ ln		R	.
				2kτ						r
Внутри:	dϕ = −					rdr;
				R2
	ϕ = −2kτ				R2 +const;
			R2
	0 = − 2kτ				+const; const = 2kτ;
			R2
								2
	ϕ = 2kτ −				2k2τ r2 = 2kτ		1−	r	.
								2
					R			R

33

Лекция 7

Проводники в электростатическом поле

1. Проводники и изоляторы

Практически с начала изучения электричества было замечено, что вещества отличаются по своей способности сохранять и передавать нечто электрическое. Одни из них (стекло, эбонит, бумага) можно наэлектризовывать достаточно легко и они способны удерживать заряд достаточно долго, но плохо передают его. Такие вещества называли изоляторами. Другие вещества электризуются особым образом. Например, с помощью электростатической индукции. И они хорошо переносят электрический заряд. Такие вещества назвали проводниками. Следует заметить, что различия в проводимости очень велики. Удельное сопротивление меди ρ=1,75·10-8 Ом·м, а янтаря ρ≈1018 ÷1019 Ом·м. Тем не менее, в природе нет абсолютных проводников и абсолютных изоляторов. Одно и тоже вещество в зависимости от условий может быть как проводником, так и изолятором.

2. Классификация проводников

Классические проводники			ХХ век
Металлы	Электролиты	Плазма	полупроводники	Сверхпроводники
электроны	+ионы	+ионы	Электроны	Электронные
	-ионы	-ионы	дырки	куперовские пары
		Электро
		ны

Эти вещества мы относим к проводникам, так как все они обладают свободными зарядами.

3. Поле и заряд внутри проводника

Внутри проводника поля нет - div E = ρ / ε0 ; ρ = 0 , а заряд распределён по поверхности проводника.

34

Таким образом,

σ1		=	R2	;	σ ~	1	.
			R
σ	2					R
			1

Следовательно, чем меньше радиус кривизны, тем больше поверхностная плотность, следовательно, выше и напряжённость.

Напряжённость может стать столь большой, что наблюдается явление «истечения зарядов с острия» или «электрический ветер».

4. Напряжённость и потенциал проводника

Пусть есть какое-то электрическое поле, в которое поместили заряженную поверхность.

∫(En)dS = Qвнутр. ;

ε0

(E2n2 + E1n1 )dS = σεdS ;

0

(E2n − E1n)= εσ0 ;

E2n − E1n = εσ0 .

Таким образом, нормальная составляющая напряжённости электрического поля на заряженной поверхности испытывает скачок.

35

∫ E dL = 0;

(E2 ,τ2 )dl +(E1,τ1 )dl = 0;

(E2 ,τ )−(E1,τ )= 0;

E2τ − E1τ = 0.

Т.е. касательная составляющая электрического поля на границе непрерывна. Последних два выражения называются граничными уровнями.

Выясним, как они изменяются, если одна из сред проводима.

E1n = 0	E1τ = 0			σ
		σ	, E =		n.
E2τ = 0	E2n =			ε0
		ε0

Таким образом, поле всегда поверхности проводника. Если напряжённость перпендикулярна поверхности проводника, то поверхность проводника это эквипотенциальная поверхность, а т.к. поля внутри проводника

нет, то такой же потенциал и внутри проводник представляет собой эквипотенциальный объём.

5. Теорема Фарадея

∫(E dS )= Qвнутри ;

ε0

Qвнутри = 0.

Закон 1: Заряд на внутренней поверхности проводника равен по модулю и противоположен по знаку заряду, помещённого внутри проводника.

Закон 2: Внешние заряды не создают поля внутри проводника.

Опираясь на первую теорему, был построен генератор Ван де Граафа, а вторая теорема обеспечивает действие электростатической защиты.

6. Метод зеркальных изображений

Суть метода заключается в следующем: какую-либо эквипотенциальную поверхность заменяют проводником той же формы, так чтобы конфигурация поля, в рассматриваемой области пространства, не изменилась или наоборот.

36

7. Электрическое поле Земли

σ = q	;	E =	σ ;
S			ε0

E3 =130 В м.

8. Генератор Ван де Граафа

1– металлическая сфера;

2– изолирующие опоры;

3– лента из прорезиненной ткани;

4– Вращающиеся шкивы;

5– острие;

6- металлическая пластина;

7– острие;

8– источник.

9. Электростатическая защита.

Вторая теорема Фарадея обеспечивает действие электростатической защиты.

Если сетку Кольбе замкнуть и накрыть сверху и снизу тоже сеткой, то получим устройство, которое называется клеткой Фарадея. Она располагается, конечно, на изолирующих подставках. Фарадей в 1836 г забрался внутрь клетки сам и захватил с собой электроизмерительные приборы. Клетка заряжалась от электростатической машины до очень высокого потенциала, однако внутри Фарадей не отмечал никакого поля.

Сейчас точные приборы тоже помещают в металлический кожух. Физики, использующие

высоковольтные ускорители Ван де Граафа, также забираются со своими приборами внутрь. И хотя разность потенциалов достигает миллионов Вольт, им нечего бояться. Их охраняет сам Фарадей.

замечание: Следует отметить, что электростатическая защита не “экранирует” внешнее поле, а позволяет зарядам в проводнике перераспределиться и создать компенсирующее поле.

37

Лекция 8

Диэлектрики в электрическом поле

1. Общие понятия

Этот термин ввёл Фарадей, для обозначения веществ, через которые может проникать электрическое поле.

Вотличие от проводников в диэлектрике нет свободных зарядов.

Вдиэлектрике есть заряды и под действием внешнего поля они перераспределяются, но они связаны между собой и не свободны, как в случае проводников.

Влюбом веществе есть и свободные и связанные заряды. Данные вещества относят к проводникам и диэлектрикам в зависимости от того, каких зарядов больше. Внешними воздействиями можно изменить это соотношение.

2.Поляризованность.

Два одинаковых по модулю разноимённых заряда характеризуют величиной, которая называется дипольным моментом, а сами заряды называют диполем.

P = qL

Во многих веществах молекулы являются диполем или становятся ими под действием электрического поля.

Определение: Поляризованностью (вектором поляризации) называется суммарный дипольный момент единицы объёма вещества.

n

∑pi

P = i=V1

n

∑Pi = PV = PSl;

i=1

∑Pi = qL =σ Sl ; P ↑↑ l ; P =σ(св.зар.) .

Pn =σсвяз. ,

38

То есть проекция поляризованности на внешнюю нормаль равна поверхностной плотности связанных зарядов.

[P]=Кл/м2

Если диэлектрик попадает во внешнее электрическое поле, то на его гранях возникают поверхностные заряды.

3. Объёмные заряды в диэлектриках

Если поляризованность однородна, то внутри диэлектрика нет объёмных зарядов. Если же поляризованность не однородна, внутри могут возникнуть и объёмные заряды, которые являются истоками поляризованности.

Можно показать, что поляризованность и объёмная плотность связанных зарядов связаны следующим соотношением:

div P = −ρСВЯЗ. .

4. Понятие электрической индукции.

div E = ε			= ε		(ρ	своб.	+ ρ	связ.	);
	ρ		1
		0		0
div ε0 E = ρсвоб. −div P;
div (ε0 E + P)= ρсвоб..

D =ε0 E + P –электрическая индукция (смещение).D = Кл/ м2 – размерность.

Очевидно, что поляризованность и напряжённость поля связаны между собой. Для однородных изотропных диэлектриков эта связь линейна.

P=ε0 χE .

χ– диэлектрическая восприимчивость:

D = ε0 E +ε0 χE = ε0 (1+ χ)E.

Можно показать, что

1+ χ =ε D =ε0εE .

5. Теорема Гаусса для диэлектриков.

div D = ρсвоб.

∫(D, dS )= Qсвоб.

внутри

39

Закон: Поток индукции электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется свободными зарядами внутри этой поверхности.

6.Граничные условия

а)	E2τ − E1τ	= 0 (касательная, составляющая
напряжённости, непрерывна).
б)	D2n − D1n	=σ своб.	(На границе нормальные

составляющие терпят разрыв).

7. Преломление линий индукции

tg α2

=

D2τ

D1n

=

ε0ε2 E2τ

=

ε2

tg α

1

D

D

ε

ε

E

ε

1

2n

1τ

0

1

1τ

Если в каком-нибудь поле поместить полый диэлектрик, например, в виде цилиндра, то вследствие концентрации силовых линий в диэлектрике внутри его полости поле будет ослаблено.

Если же будет помещен полый проводник, то во внутренней полости совсем не будет силовых линий.

40

Лекция 9

Электрическая емкость. Конденсаторы

1. Электроёмкость уединенного проводника

Определение: Электроемкостью уединенного проводника называется мера его способности удерживать электрический заряд.

C = ϕq ; ϕ r→∞ → 0.

Емкость проводника не зависит ни от заряда, ни от потенциала. Она зависит от геометрии проводника (размеры, форма), от свойств среды (диэлектрическая проницаемость), от расположения заряженных тел.

Емкость не зависит от внутреннего устройства проводника.

2. Единица измерения ёмкости

Определение: 1 Фарад – единица СИ электроёмкости, равная емкости такого уединенного проводника, который при сообщении ему заряда 1 Кулон изменяет свой потенциал на 1 Вольт.

[C]=1 ВольтКулон =1Фарад =1Ф.

3. Конденсатор

Определение: Конденсатором называется устройство, предназначенное для получения больших величин электроёмкости.

Конденсатор состоит из двух проводников, которые называются обкладками. Обычно они расположены таким образом, что поле сосредоточено между ними. Одна обкладка заряжена положительно, другая – отрицательно. Ёмкостью конденсатора называется величина

C = ∆Qϕ ,

где Q – заряд положительной обкладки; ∆φ – разность или изменение потенциалов между обкладками.

Пространство между обкладками может быть заполнено диэлектриком, следовательно, напряженность поля в ε раз меньше, разность потенциалов в ε раз меньше, а ёмкость в ε раз больше. Поэтому, ёмкость конденсатора с диэлектриком можно записать, как

C = εC0 , где

41

C0 – емкость вакуумного конденсатора.

В дальнейшем мы будем говорить только о вакуумных конденсаторах.

3. Ёмкость плоского конденсатора.

Плоским конденсатором называется две бесконечно большие разноименные пластины.

E =

σ ;

E = −grad ϕ;

ε0

Ex = −

dϕ

= − ∆ϕ ;

dx

∆x

∆ϕ

=

E

d =

σ

d;

ε0

C =

Q

=

σSε0

= ε

S

=

1

S

.

0 d

∆ϕ

σd

4πk d

C =ε

S

=

1

S

4πk d

0 d

Очевидно, что C ~ S; C ~	1	.
	d

4. Сферический конденсатор

Сферический конденсатор – это две разноименно заряженные концентрические сферы.

k Q

,

r > R

ϕ =

r

Q

,

r < R

k

R

ϕ

2

=ϕ

21

+ϕ

= k +Q + k −Q = 0;

12

R2

R2

ϕ1 =ϕ11 +ϕ12

= k

+Q + k

−Q = kQ

1

−

1

;

R1

R1

R2

R2

C =

Q

= Q =

1

= 4πε

R1R2

.

∆ϕ

1

1

0

R2 − R1

ϕ1

k

−

R1

R2

C =

1

= 4πε0

R1R2

k

1

−

1

R2 − R1

R1

R2

42