краткий курс лекций по электростатике

19. Теорема Гаусса

Все известные эксперименты показывают, что магнитное поле имеет вихревой характер, а линии напряженности замкнуты, т.е. не имеют источников и стоков, которыми могли бы служить уединенные магнитные зарядымонополи.

Ни один эксперимент не подтверждает существование монополей, хотя теория не запрещает их существование.

Опираясь на данные факты можно сформулировать теорему Гаусса.

Закон: Поток индукции магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

Φ = 0

∫ BdS = 0 – в интегральной форме. div B = 0 – в дифференциальной форме.

20.Работа магнитного поля по перемещению проводника с током

δA = dFdx = IdlBdx = IBdS = IdΦ.

A12 = I∆Φ = I (Φ2 −Φ1 )

Данное выражение получено в частном случае. Однако оно справедливо и для произвольной конфигурации.

83

Лекция 19

Движение заряженных частиц в магнитном поле. 1. Сила Лоренца

	=
dFA = I dlB		jdS dlB	= qnυdS dlB	= q n dSdl υB .
				dV
				N

Это выражение для силы, которая действует на N частиц. Тогда на одну частицу действует сила, равная

F = q υB .

Данное выражение называется магнитной составляющей силы Лоренца. Если учесть, что кроме материального поля может существовать и электрическое, то полное выражение для силы Лоренца имеет вид

FЛ = q{E + υB }

2. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

		dυ		dυ		q
	m dt		= F;	dt	= m
							{E + υB }.

Данное уравнение является весьма сложным, т.к. E и B в общем случае зависят от пространственных и временной координат. Кроме того, сама частица также создает собственное электромагнитное поле.

Пусть электрического поля нет вообще, а магнитное имеет одну

составляющую и однородно.

E = 0;

B (0, 0, Bz ),

Bz = const;

dυ

q

q

i

j

k

dt =

υB

=

υx

υy

υz

m

m

0

0

B

z

dυx

=

q

B υ

x

υ

x

m

z

dt

q

dυy

= −

Bzυx

υy

m

dt

dυz

=

0;

υz

= const =υn −продольная скорость.

dz

84

Вдоль поля скорость не меняется, движение равномерное.

υx

d

dt

υx2

dυ		x		+υ	y		dυy	= 0;
dt							dt
υ		2		+υ	2
		x			y		= 0;
				2
+υy2				= const =υ2 .

Таким образом, поперечная скорость не меняется. Следовательно, не меняется модуль скорости вообще. Следовательно, не меняется кинетическая энергия частиц, а значит, магнитное поле не совершает работы над частицами. Это и понятно, т.к. магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости, и эта сила не совершает работу. Такие силы называются гироскопическими. Если работа не совершается, то изменение магнитного потока равно нулю, а т.к. поле однородно, то не изменяется площадь фигуры, которую охватывает траектория движения частицы.

d 2υ

x

=

q

B

dυy

= −

q2 B2

υ

;

z

dt2

dt

m2

m z

x

υx +ωH2 υx = 0; ωH

=

qBz

; x +ωH2 x = 0.

m

υx = Acos (ωH t +ϕ0 );

dx

=υx ;

x =

A

sin (ωH t +ϕ0 ).

dt

ωH

Аналогично можно поступить и для второй координаты и получить уравнение вида

y = ωA cos (ωH t +ϕ0 ).

H

Таким образом, траекторией частицы в плоскости XOY является окружность и частица движется по этой окружности с циклической частотой

qB

ωH = mz ,

которая называется Ларморовской или циклотронной частотой.

υ T = 2πR.

T = 2π = 2πm

ωH qBz

Частота и период не зависят от скорости частиц, т.е. от её кинетической энергии.

85

Радиус этой окружности равен

R =

υ T

=

υ 2πm

=

mυ

2π

2π

qB

qB

z

z

Вдоль поля частица перемещается равномерно. Следовательно, траектория частицы – винтовая линия с шагом

h =υ T

υ =υ cosα; υ =υsinα;

3. Масс-спектрометрия.

Очевидно, что удельный заряд частицы связан с радиусом её траектории в магнитном поле.

q = υ . m Bz R

Это один из способов разделения изотопов.

4. Эффект Холла

Пусть жестко закрепленный проводник с током помещен в магнитное поле.

eE = eυB;								j = e nυ;
U	=	j	B;					R =	1 .
d		e n							e n
		U =	1					jdB
					e		n

R – постоянная Холла.

Определив экспериментально постоянную Холла, можно узнать концентрацию частиц. Так была установлена концентрация электронов в металлах.

Эффект Холла применяется в МГД - генераторах.

5. Магнитогидродинамический генератор.

Первый генератор был испытан Фарадеем на р. Темзе.

В настоящее время МГДгенераторы пока еще не нашли широкого промышленного применения.

86

Лекция 20

Электромагнитная индукция

Ранее отмечалось, что электрический ток создает магнитное поле. Возможно и обратное явление, когда магнитное поле задает электрический ток.

1. Эксперименты Фарадея

Эксперименты Фарадея показали, что ток возникает в том случае, если меняется магнитное поле. Точнее говоря, ток в проводнике возникает в том случае, если меняется магнитный поток через площадку, охваченную проводником.

2. Правило Ленца

Эксперимент Ленца показал, что ток, возникающий в контуре, направлен вполне определенным образом, т.е. выполняется правило Ленца.

Закон: Индукционный ток направлен таким образом, чтобы своим действием препятствовать действию причины, вызвавшей этот ток.

3. Формулировка Максвелла

	A12 = I∆Φ.	A	=	I	∆Φ;	I =	q	;	| ε |=	∆Φ.
		q		q			∆t
										∆t

Правило Ленца указывает на отрицательный знак в формулировке закона электромагнитной индукции. Таким образом, закон электромагнитной индукции формулируется следующим образом:

87

ε = − ddtΦ

Закон: ЭДС электромагнитной индукции определяется быстротой изменения магнитного потока через площадку, охваченную проводником, взятой с обратным знаком.

4. Пример

ε= ∆Φ∆t = B ∆∆St = Bldx∆t = Blυ.

ε= Blυsin (υ, B)

FA ↓↑υ.

Если есть положительный свободный заряд. qE = −q υB ;

E =υB;

ε = ∫Edl =υBl.

5. Измерение магнитной индукции

Индукцию магнитного поля можно измерить с помощью флюксметра.

	q = ∫Idt = ∫	ε		dt = −			1	∫dΦ =	Φ0 −Φ		;
		R					R
										R
	Φ = 0; q =		Φ0		=	BS		; B =	R	q.
						R
				R					S

q = ΦR – закон электромагнитной индукции в формулировке Фарадея.

6. Единица измерения магнитного потока

Определение: 1 Вебер – единица СИ магнитного потока, равная потоку, который при убывании до нуля через замкнутый контур с сопротивлением 1 Ом вызывает протекание заряда 1 Кл.

88

7. Явление самоиндукции.

Открыто в 1833 – 1835 гг.

Является частным случаем закона электромагнитной индукции. Предположим, что ток меняется, например,

увеличивается.

εсам. ~ dΦ ~ dB ~ dI;

εсам. = − dIdt L,

где L – индуктивность.

εсам. = − dtd (LI )

Экспериментально это явление можно показать с помощью следующей схемы, работающей на размыкание

8. Единица измерения индуктивности

Определение: 1 Гн – единица СИ индуктивности, равная индуктивности такого контура, в котором при равномерном убывании тока с быстротой 1 А в секунду, возникает ЭДС самоиндукции 1 В.

9. Индуктивность соленоида

µ =	IN	; B = µµ0 N;
	l

Φ= BSN = µµ0 INl SN;

Φ= LI;

L = µµ0 Nl 2 S.

Индуктивность зависит от геометрии и от свойств среды. Это магнитный аналог электроёмкости.

89

[µ0 ]= Ll = Гн.

S м

10. Энергия постоянного тока

Ранее отмечалось, что работа источника, а следовательно, работа тока полностью переходят в тепло Джоуля – Ленца. Однако это справедливо в том случае, если ток постоянен.

Если ток меняется, то часть энергии затрачивается на создание магнитного поля.

δ A = εIdt = L dIdt Idt = LIdI.

A = LI22

–это работа или энергия, необходимая для создания тока I.

11.Энергия магнитного поля

Эту энергию можно рассматривать, как энергию созданного магнитного

поля.

LI 2

N 2 S

1

IN IN

1

W =

= µµ

0

I

2

=

µµ

0

Sl =

BHV.

2

l

2

l l

2

V

(H , B)dV

B

H

W

=

;

m

∫

2

w

=

(H , B)

м

2

- энергия и плотность энергии магнитного поля

	Для сравнения напомним энергию и плотность энергии электрического поля
			(ED)		ED
	WЭ =			dV ; wЭ =	.
		∫ 2
					2

90

Лекция 21

Электрический колебательный контур

1. Замечание о колебаниях

Колебательные процессы очень широко распространены в природе и технике. Несмотря на различную физическую природу колебательных систем, сами колебания описываются практически одинаковыми уравнениями.

2. Качественная теория процессов в электрическом колебательном контуре (ЭКК).

ЭКК состоит из конденсатора, катушки индуктивности и соединительных проводов, т.е. система с сосредоточенными параметрами. Рассмотрим идеализированный КК, сопротивление проводов в котором равно нулю.

В КК возникает колебательный процесс, когда электрические величины периодически повторяются во времени. Энергия электрического поля (потенциальная) переходит в энергию магнитного поля (Eк) и наоборот. Т.к. через период система возвращается в исходное состояние, то потерь энергии нет, т.е. энергия равна const. Это справедливо для идеализированного КК.

91

3. Уравнение колебаний

IR =Uc +εсам.;

IR =

qc

−

LdI

;

dt

C

d

2

qc

+

R

dqc

+

1

q

= 0

dq

dq

I =

= −

;

dt

2

L

dt

LC

c

c

dt

dt

−R

dq

=

q

+ L

d 2q

c

i

;

dt

t

R

1

dt2

= δ;

= ω2 .

q + 2δq

+ω2q

= 0

c

c

2L

LC

0

c

0

Получилось обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Гармонические колебания

R = 0; δ = 0; q +ω02q = 0; q = Acos (ω0t +ϕ0 );

I = −

dqc

= Aω0 sin (ω0t +ϕ0 );

dt

qc

t=0

= q0

; q

= Acosϕ

,

q

= A

0

0

0

I

t=0

= 0;

0

= Asinϕ0 ;

ϕ0

= 0

q = q0 cosω0t

I = q0ω0 sinω0t

Uc

=

qc

=

q0

cosω0t

C

C

T = 2π LC

Говорят, что I и U в контуре сдвинуты по фазе на π 2 .

Электрическая и магнитная энергии также колеблются со сдвигом фаз, но полная

энергия остается постоянной

W

=

q2

=

q2

cos2 ω

t;

c

0

э

2C

2C

0

W

=

LI 2

=

q Lω2 sin

2 ω

t

;

м

0

0

0

2

2

q2

W +W

=

0

= const

э

м

2C

92