Vychislitelny_praktikum

где νk	=	βk	.	(6.2)
		m
		∑βk
		k =0
Легко проверить, что в этом случае ρ^				a (0)= ∑m νkψk (0,α)= 1. Однако, коэффи-
				k =0

циенты разложения νk , определенные по формуле (6.2), не обеспечивают минимума

квадратической погрешности аппроксимации.

Таким образом, общим недостатком известных способов определения коэффициентов разложения является то, что они либо нарушают основное свойство корреляционных функций, либо не обеспечивают минимума квадратической погрешности аппроксимации.

Поставим задачу определить коэффициенты разложения корреляционной функции bk для ортогональных функций, у которых μ(τ )= 1,

ρ^	a (τ )= ∑m bk ψk (τ ,α)	(6.3)
	k =0

так, чтобы квадратическая погрешность аппроксимации была минимальной при дополнительном условии

ρ^		a (0)= ∑m bk ψk (0,α)= 1 .
				k =0							1 по bk [21, 22]:
Т.е. для этого необходимо минимизировать
			∞			m	(τ ,α)	2		m
		1 = ∫		ρx (τ )− ∑bk ψk					dτ + λ ∑bk		ψk (0,α)= min
		0				k =0				k =0
Найдём частные производные									∂ 1 и приравняем их нулю:
									∂β	n
	∂ 1				∞	m
			= −2			ρx (τ )− ∑bkψ k (τ ,α)ψ n (τ ,α)dτ + λψ n (0,α)= 0 .
	∂ bn				∫0	k =0

Выполнив промежуточные преобразования, определим

− 2βn ψn 2 + 2bn ψn 2 + λψ n (0,α)= 0 .

Отсюда				λ		ψn (0,α).
b	= β		−
n		n		2			ψ	n	2

Подставляя найденное значение bn в выражение (6.4), получим:

m

λ ψk (0,α)

(0,α)= 1.

∑ βk

−

2

ψn

2

ψk

k =0

(6.4)

(6.5)

(6.6)

(6.7)

(6.8)

Тогда

m

βk ψk

λ

1

− ∑

(0,α)

=−

k =0

(6.9)

2

m

ψk2 (0,α)

∑

ψ

2

k =0

n

(0,α)= 1 .

Отметим, что для рассматриваемых ортогональных базисов ψk2

73

Подставив λ / 2 в выражение для оценки коэффициента разложения

чим:

m

1

− ∑βk ψk

(0,α)

ψn (0,α)

b = β

+

k =0

= β

+C .

1

n

n

∑

2

ψn

2

n

n

m

k =0

ψ

k

bn , полу-

(6.10)

Выражения для Сn для различных ортогональных базисов представлены в таблице 6.1.

Значения коэффициентов Сn при ограничениях на модель корреляционной функции μ(τ )= 1

Таблица 6.1

ψk (τ ,γ / α)

Сn

m

Lk (τ ,α)

1 −

∑βk

k =0

( m + 1)

m

k

Legk (τ,α)

1 − ∑βk ( −1 )

k =0

( −1)

n

( 2n

+ 1)

( m + 1)2

−

m

Dk (τ ,α)

2( n + 1 ) 1

∑

βk

k =0

( m + 1)( m + 2 )

(−1 2,0)

(τ,γ)

(− 1)n (4n + 1) 1 − ∑m

(− 1)k βk

Pk

k =0

(m + 1)(2m + 1)

(1 2,0)

(τ,γ)

(− 1)n (4n + 3) 1 − ∑m

(− 1)k βk

Pk

k =0

(m + 1)(2m + 3)

( 0,0 )

(τ,γ)

(− 1)n (2n + 1) 1 − ∑m

(− 1)k βk

Pk

k =0

(m + 1)2

( 1,0 )

(τ,γ)

(− 1)n 2(n + 1) 1

− ∑m

(−

1)k βk

Pk

k =0

(m + 1)(m + 2)

( 2,0 )

(τ,γ)

(− 1)n (2n + 3) 1

− ∑m

(−

1)k βk

Pk

k =0

(m + 1)(m + 3)

74

Заметим, что при произвольном весе ортогональной функции μ(τ ) необходимо минимизировать (11) по bk :

∞			m		(τ ,α)	2	m	ψk (0,α)= min .
(11) = ∫		ρx	(τ )− ∑bk	ψk			μ(τ )dτ + λ ∑bk
0			k =0				k =0

Выполнив преобразования, аналогичные (6.5) – (6.10), получим аналитические выражения для коэффициентов Сn (см. таблицу 6.2).

Значения коэффициентов Сn при ограничениях на модель корреляционной функции μ(τ )≠ 1

Таблица 6.2

ψk (τ ,γ / α)

Сn

m

(1)

(τ ,γ )

2

1 − ∑βk

Lk

k =0

(n

+ 1)

(m + 1)(m + 2)

1 −

m

(2 )

(τ ,γ )

3

∑βk

Lk

k =0

(n

+ 1)(n + 2)

(m + 1)(m + 2)(m + 3)

( 0,1)

(τ,γ)

4 1 − ∑m

βk (−

1)k

Pk

k =0

n

3

(m + 1)2 (m + 2)2

(− 1) (n

+ 1)

( 0,2 )

(τ,γ)

3 1

− ∑m βk (− 1)k

n

2

2

Pk

k =0

(m + 1)2 (m + 2)2

(m + 3)2

(− 1) (2n + 3)(n + 1) (n + 2)

m

k

Tk (τ ,γ )

1 − ∑βk (−

1)

k =0

n

(− 1)

(m + 1)

m

k

Uk (τ ,γ )

6 1 − ∑

βk (−

1)

k =0

n

2

(− 1) (n +

1)

(m + 1)(m + 2)(2m + 3)

Определим погрешность аппроксимации

1

( μ(τ )= 1 ).

1 = ∞∫

ρx (τ )−∑m bk

ψk

(τ ,α) 2 dτ =

0

k =0

(6.11)

m

m

=τk(4 ) −∑βk2

ψk

2 + ∑Сk2

ψk

2 .

k =0

k =0

Представим погрешности аппроксимации КФ в виде:

1 = + 2 ,

(6.12)

75

где 2 составляющая методической погрешности аппроксимации, вызванная допол-

нительным условием (6.4). Тогда

(

4 )

m

2

ψk

2

;

=τk

− ∑βk

m

k =0

2 = ∑Сk2

ψk

2 .

k =0

Вторую составляющую погрешности

1 − ∑βkψk (0,α)

2

m

=

k =0

.

2

∑

1

2

m

k =0

ψ

k

(6.13)

2 удобнее представить в виде:

(6.14)

В таблице 6.3. приведены выражения для оценки

и

2

для различных бази-

сов.

Составляющие методической погрешности аппроксимации НКФ

ортогональными функциями μ(τ )= 1

Таблица 6.3

ψk (τ ,γ / α)

2

m

2

Lk (τ ,α)

1

m

1 − ∑βk

τk(4 )

−

∑βk2

k =0

α(m + 1)

α k =0

m

k

2

Legk (τ,α)

1

m

β 2

1

− ∑βk (

−1)

τk(4 ) −

∑

k

k =0

2α( m + 1)2

2α k =0 2k +1

β 2

m

2

Dk (τ ,α)

1

m

1 − ∑βk

τk(4 ) −

∑

k

k =0

k +

1

α( m + 1)( m + 2 )

2α k =0

(−1 2,0)

(τ,γ)

(

4 )

1 m

βk2

1 −

∑m (− 1)k βk

2

P

τ

k

−

∑

k =0

k

γ

4k +1

k =0

γ (m + 1)(2m + 1)

(1 2,0)

(τ,γ)

(4 )

1

m

βk2

1 −

∑m (− 1)k βk 2

Pk

τk

−

∑

k =0

γ

4k +

3

k =0

γ

(m

+ 1)(2m

+ 3)

( 1,0 )

(τ,γ)

(4 )

1

m

βk2

1 −

∑m (− 1)k βk 2

Pk

τk

−

∑

k =0

2γ

k +

1

k =0

γ (m + 1)(m + 2)

76

2

m

k

2

( 0,0 )

(τ,γ)

(4 )

1

m

βk

1 − ∑βk ( −1)

Pk

τk

−

∑

k =0

2γ

2k + 1

k =0

2γ( m + 1)2

( 2,0 )

(τ,γ)

(4 )

1

m

βk2

1 − ∑m (−1)k βk

Pk

τk

−

∑

k =0

2λ k =0

2k + 3

2γ

(m + 1)(m + 3)

При произвольном весе ортогональной функции μ(τ )≠ 1

(k1) = ∞∫

ρx (τ )

− ∑m

bk ψk (τ ,α) 2

μ(τ )dτ =

0

k =0

∞

m

m

= ∫ρx2 (τ )μ(τ )dτ − ∑βk2

ψk

2 + ∑Сk2

ψk

2 .

0

k =0

k =0

В этом случае

∞

m

(1) = ∫ρx2 (τ )μ(τ )dτ − ∑βk2

ψk

2 .

0

k =0

Составляющие методической погрешности аппроксимации нормированной корреляционной функции ортогональными функциями при μ(τ )≠ 1 представлены в таблице 6.4.

Составляющие методической погрешности аппроксимации НКФ ортогональными функциями μ(τ )≠ 1

Таблица 6.4

ψk (τ ,γ / α)

(1)

2

∞

1

2

m

2

(1)

(τ ,γ )

2

(τ )μ(τ )dτ −

m

βk

1 − ∑βk

Lk

∫

ρx

∑

2

k =0

γ

2

(k + 1)

0

k =0

γ 2

(m + 1)(m + 2)

∞

4

2

m

2

(2 )

(τ ,γ )

2

(τ )μ(τ )dτ

m

βk

1 − ∑βk

Lk

∫

ρx

−

∑

12

k =0

γ

3

(k + 1)(k + 2)

0

k =0

γ 3

(m + 1)(m + 2)(m + 3)

∞

m

2

m

k

2

( 0,1)

(τ γ)

ρ

2

(τ )μ(τ )dτ −

1

βk

1

1 −

∑βk (− 1)

Pk

∫

x

∑

3

=

0

,

k

0

4γ

k =0

(

+ )

γ ( m + 1)2 ( m + 2 )2

k 1

∞

m

2

m

k

2

( 0,2 )

(τ γ)

∫

ρ

2

(τ)μ(τ)dτ −

2

∑

βk

6

1 − ∑βk (−1)

Pk

x

k

=

0

2

2

,

0

γ

k=0

(2k +3)(k +1) (k +

2)

γ

( m + 1 )2 ( m + 2 )2 ( m + 3 )2

77

m

k

2

∞

π

m

π

1 − ∑βk (− 1)

ρx2

(τ )μ(τ )dτ −

∑

βk2 , k = 0;

k =0

, k = 0;

∫0

4γ (m + 1)

Tk (τ ,γ )

4γ k =0

∞

2

(τ )μ(τ )dτ −

π

m

2

m

k

2

∫

ρx

∑βk , k ≠ 0

π 1

− ∑βk (− 1)

=

0

k =0

0

8γ k

, k ≠ 0

8γ (m + 1)

∞

m

2

m

k

2

(− 1)

Uk (τ ,γ )

∫

2

(τ )μ(τ )dτ −

π

∑

βk

3π

1 −

∑βk

ρx

k =0

2

0

8γ k =0

(k + 1)

4

γ (m + 1)(m + 2)(2m + 3)

В [22] для ортогонального базиса Лагерра было показано, что

является

функцией параметра α . Можно показать, что и погрешность

2 , которую с учетом

(6.14) приведем к виду:

m+1 dωdω , -

=

1

∞ ∞S

(ω )S

(ω )

jω1

−α/ 2 jω2

−α/ 2

2

∫ ∫ xн

1 xн

2

jω

+α/ 2 jω

1 2

α(m+1)−∞−∞

+α/ 2

1

2

также является функцией параметра α .

Найдём условие определения оптимального значения параметра ром 1 = min .

Это условие, как следует из (6.12), найдем из уравнения:

∂ 1

= ∂

+

∂

2

= 0.

∂α

∂α

∂α

Значение

∂

определяется выражением

∂α

∂

∞

jω

2

= −(m + 1)

∫Sx

(ω)

Wm (jω)dω

−

∂α

−∞

jω +α / 2

− ∞∫Sx (ω) jωα+/α2/ 2Wm (jω)dω 2 ,

−∞

а ∂∂α2 с учётом (6.15) примет вид:

∂ 2

1

∞

jω

=−

2α(m+1)

∫Sxн

(ω)Wm (jω)

dω

×

∂α

α

2

jω+α/ 2

(m+1)

−∞

∞

2

.

(ω)Wm

(jω)(jω−α/ 2)dω+

∞

× ∫Sxн

∫Sxн(ω)Wm (jω)(jω−α/ 2)dω

−∞

−∞

(6.15)

α , при кото-

(6.16)

(6.17)

(6.18)

Подставив в (6.16) выражения (6.17) и (6.18), после промежуточных преобразований получим:

78

∂

1

1

∞

jω

=−

α(m+1)∫Sxн(ω)

Wm(jω)dω+

∂α

α2(m+1)

jω+α/ 2

−∞

(6.19)

∞

2

∞

α/ 2

2

+ ∫Sxн(ω)Wm(jω)(jω−α/ 2)dω

− α

(m+1)∫Sxн(ω)

Wm(jω)dω

.

−∞

−∞

jω+α/ 2

Представляя в выражении (6.19) разность квадратов как произведение суммы

оснований на их разность, получим:

∂

1

∞

∞

1

=−

α(m+1)∫Sxн(ω)Wm(jω)dω+ ∫Sx н

(ω)Wm(jω)(jω−α / 2)dω ×

2

(m+1)

∂α

α

−∞

−∞

(6.20)

× α(m+1)∞∫Sxн(ω)Wm+1(jω)dω+ ∞∫Sx н(ω)Wm(jω)(jω−α / 2)dω .

−∞

−∞

Выражение (6.20) с учётом (6.11) равно:

∂

1

= −

m +1

b b .

(6.21)

∂α

α 2

m m+1

Так как коэффициент bm ≠ 0 и параметр α ≠ 0 , условие минимума погрешно-

сти 1 примет вид:

m

b

=

β

+

1 − ∑βk

= 0.

(6.22)

m+1

k =0

m+1

m + 1

Таким образом, при аппроксимации корреляционной функции для обеспечения минимума квадратической погрешности требуется изменением параметра α добиться равенства нулю βm+1 коэффициента. Значения b0 ,...bm в этом случае будут опти-

мальными.

На рис.6.2. представлены результаты аппроксимации КФ 5 модели с μ = 5 , ко-

эффициенты разложения которой определяются в соответствии с выражением (6.10). Из анализа полученных результатов можно сделать следующие выводы:

•число корней уравнения (6.22) в общем случае равно (m +1);

•	величина минимума погрешности 1 зависит от найденного значения α ;
•	для обеспечения минимума-миниморума погрешности необходимо пра-

вильно выбирать диапазон изменения α , т.е. необходима априорная информация о свойствах процесса. Как показали исследования [22], αopt находится вблизи корня,

найденного в результате решения уравнения β0 −1 =0 .

Следует отметить, что при изменении числа членов разложения ряда (6.3), необходимо пересчитать в соответствии с (6.10) все параметры bk .

К сожалению, для других ортогональных базисов аналитически решить задачу поиска оптимального значения α не удалось.

79

	Рисунок 6.2 - Аппроксимация КФ 5 модели с μ = 5
	ортогональными функциями Лагерра - m =15 , α = 4,899
	6.2. Задание на самостоятельную работу
1.	Для заданного ортогонального базиса, вида корреляционной функции и
показателя	колебательности μ и m определить коэффициенты разложения {βk	}k =0 ,...m

и {bk }k =0 ,...m . Параметр α задать произвольно. Построить графическую зависимость
{βk }k =0 ,...m	и {bk }k =0 ,...m .
2.	Построить зависимость δb(2 )(χ / m,μ), m = 2 ÷ 6 , μ = 0 ÷5 (Результаты

представить аналогично результатам таблицы 5.6). Определить количество локальных минимумов δb(2 )(χ / m,μ), численные значения параметров χopt и соответствующие

им значения погрешностей.

3.Построить зависимости δb(1,min) (μ / m,χopt ) и δb(,2min) (m / μ,χopt ) и сравнить их

ссоответствующими зависимостями δβ(1,min) (μ / m,χopt ) и δβ(2,min) (m / μ,χopt ).

4.	Сравнить	результаты	оценки	δb(1,1)(μ / m,χ1 ),	δb(1,2)(μ / m,χ2 ),
δb(,12 )(m / μ,χ1 ), δb(,22 )(m / μ,χ2 ) с соответствующими минимальными					оценками по-

грешности. Значение параметра χ1 определяется по таблице 5.10-5.13, а χ2 - по таблицам 5.14.

5.Построить модели корреляционной функции, соответствующие выраже-

нию 6.3, для λ = 1, μ = 5, χ1 , χ2 , χopt , m = 5,10 .

6.Оформить отчет.

80

6.3. Содержание отчёта

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Исходный текст программы, написанной в MathCad.

4.Результаты выполнения работы в мат. пакете MathCad.

5.Ортогональная модель корреляционной функции в заданном ортогональ-

ном базисе.

6.	Аналитическое выражение для оценки коэффициентов разложения
{bk }k =0 ,...m ,	χ1 и χ2 .

7.Графические зависимости δb(2 )(χ / m,μ) (пункт 2).

8.

Графические

зависимости

δb(1,min) (μ / m,χopt ),

δb(,min2 ) (m / μ,χopt ),

δβ(1,min) (μ / m,χopt ) и δβ(2,min) (m / μ,χopt ) (пункт 3).

9.Графические зависимости δb(1,1)(μ / m,χ1 ), δb(1,2)(μ / m,χ2 ), δb(,12 )(m / μ,χ1 ),

δb(,22 )(m / μ,χ2 ) (пункт 5).

10.Графики моделей корреляционной функции (пункт 6).

11.Выводы.

Пример выполнения вычислительного практикума 6 приведен в Приложении

12.

6.4.Контрольные вопросы

1.Поясните физический смысл условия нормировки ортогональной модели корреляционной функции.

2.Какие параметры входят в ортогональную модель корреляционной функции при выполнении условия нормировки?

3.Из каких соображений выбирается значение параметра масштаба ортогональных функций?

4.Для какого ортогонального базиса возможно точное решение определения параметра масштаба? Почему?

5.Как количество локальных экстремумов погрешности аппроксимации связаны с m и μ ?

6.Перечислите недостатки метода построения ортогональной модели с применением корректирующих коэффициентов.

81

7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ МОЩНОСТИ

Цель работы: изучение методов и приобретение практических навыков при аппроксимации спектральных плотностей мощности случайных процессов ортогональными функциями.

7.1. Теоретические основы вычислительного практикума

Спектральные плотности мощности представляют собой частотное распределение энергетических характеристик случайного процесса. Существуют различные способы их определения, например: преобразование Фурье процесса, преобразование Фурье корреляционной функции. Определим спектральную плотность мощности в виде [4, 48]:

	Sx (ω ) =	1 ∞		Kx (τ )e− jωτ dτ .	(7.1)
		2π −∞∫

Воспользовавшись обратным преобразованием Винера-Хинчина, можно установить связь между корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности:

K x (τ )= ∞∫Sx (ω)e jωτ dω .								(7.2)
	−∞
Определив			параметры		ортогональной		модели корреляционной	функции
b0 ,...,bm ,α
			m		m
Ka	(τ )=σx					(−τ ,α)1(−τ ) ,		(7.3)
		∑bkψk		(τ ,α)1(τ )+∑bkψk
	2
		k =0			k =0

оценим спектральную плотность мощности случайного процесса.

Для этого необходимо подставить модель корреляционной функции (7.3) в выражение для определения спектральной плотности мощности. В результате получим.

Sa (ω)=

σx2 ∞ m

m

− jωτ

dτ =

2π

∫ ∑bkψk

(τ ,α)1(τ )+∑bkψk (−τ

,α)1(−τ ) e

−∞ k =0

k =0

2

m

2

m

=

σ x

∑bk [Wk (jω)+Wk (− jω)]

=

σ x

∑bk ReWk (jω).

(7.4)

2π

π

k =0

k =0

Воспользовавшись результатами, представленными в 3 разделе, приведем аналитические модели спектральной плотности для различных базисов (см. табл. 7.1-7.2).

Аналитические выражения спектральной плотности мощности с использованием тригонометрических функций

Таблица 7.1

№

ψ

τ γ

α

)

ϕ

k

/ ϕ

ω

)

k (

, /

Sa (

Lk (τ ,α)

2ω

2σ x2 cos ϕ

m

k

1

arctg

α

∑bk (−1)

cos ((2k +1)ϕ )

απ

k =0

(1)

(τ ,γ )

2ω

σ x2 m

bk

[1

k

2

Lk

arctg

∑

+ −

cos( 2( k

+

ϕ

γ

γπ k =0

(k +1)

82