Vychislitelny_praktikum

L(k2 )(τ ,γ )

2ω

2σ2

m

b

1

(−1)k cos((2k +3)ϕ)

3

arctg

x

∑

k

+

+k +1

γ

γπ

(k +1)(k +2)

2cosϕ

k=0

2

Legk (τ,α)

ω

σx2

m

1

k−1

4

∑bk

cosϕk cos ϕk

+2∑ϕs

arctg

απk=0

(2k +1)

(2k +1)α

s=0

ω

σx2

m

(−1)k

k−1

5

τ α

arctg

∑bk

ϕ

ϕ

+

ϕ

Dk (

, )

(k + 1)α

(k +1)

cos

k

cos

k

2∑ s

απ k=0

s=0

k

)

2ω

2σ 2 m

b

k −1

τ γ

arctg

x

∑

k

∑

(

−1 2,0)

cosϕ

cos ϕ

+ 2

ϕ

6

P

( ,

(4k + 1)γ

γπ k =0 (4k +1)

k

k

s=0

s

τ γ

)

arctg

2ω

2σ 2 m

b

k −1

(1 2,0)

x

k

cosϕ

cos ϕ

+ 2

ϕ

7

Pk

∑

k

k

∑

s

( ,

(4k + 3)γ

γπ

(4k +3)

k =0

s=0

8

( 1,0 ) τ γ

)

arctg

ω

σx2

m b

1

cosϕ

cos ϕ

+2k−1ϕ

k

k

Pk

(

,

(k + 1)γ

∑ k

(k +1)

∑ s

γπ k=0

s=0

ω

2

m

1

cosϕ cos ϕ

k−1

9

( 0,0 ) τ γ

)

arctg

σx

b

+2

ϕ

Pk

(

,

(2k + 1)γ

∑ k

(2k +1)

k

k

∑ s

γπ k=0

s=0

ω

2

m

1

cosϕ cos ϕ

k−1

10

( 2,0 ) τ γ

)

arctg

σx

b

+2

ϕ

k

Pk

(

,

(2k + 3)γ

∑ k

(2k +

3)

k

∑ s

γπ k=0

s=0

Аналитические выражения спектральной плотности мощности с использованием биномиальных коэффициентов для ортогональных функций Якоби (0,β ) и Чебышева

Таблица 7.2

№

ψ

k

(τ ,γ / α)

ϕ

k

ω

Sa (

)

( 0,1) τ γ

)

arctg

ω

σ2

m

b

k

s s

−

1)

s

cos2 ϕ

x

k

s

1

∑

∑Ck Ck+s+1

Pk

( ,

(2k + 1)γ

(

(2s

+1)

γπ k=0

(k +1)s=0

)

ω

2σ2

m

b

k

1)

s

cos2 ϕ

2

( 0,2 ) τ γ

arctg

x

∑

k

s

s

−

s

Pk

( ,

(2k + 1)γ

γπ

(k +

∑Ck Ck+s+2 (

(2s +1)

k=0

1)(k +2)s=0

1

m

2

∑βk

cos

ϕ0,0 , k =0,

3

Tk (τ ,γ )

π γ k=0

ω

1

k

2

ϕk ,s

m

k

s

−s (−

4)

k−s

cos

arctg

∑βk ∑

C2k

, k

≠0

(2(k −s)+1)

(2(k − s)+ 1)γ

2k −s

π γ

k=0

s=0

4

Uk (τ ,γ )

1

∑ βk

∑C2sk −s+1 (− 4)k −s

cos

2

ϕk ,s

k

k

s=0

π γ

k =0

k + 1

(2(k − s)+ 1)

На рисунке 7.1 представлены результаты аппроксимации КФ - восстановление

СПМ в ортогональном базисе Якоби с параметрами (0,0) (функции Лежандра) для

случайного процесса с ρx (τ )= e−

τ

cos 5τ , N = 5000 ,

τ = 0,078 .

83

Рисунок 7.1 - Результат восстановления СПМ ортогональными функциями Якоби (функциями Лежандра) с параметрами (0,0)

Полученные результаты можно обобщить на оценку взаимной спектральной плотности мощности и её составляющих по параметрам ортогональных моделей ВКФ.

Представим модель ВКФ в виде:

	m1							m2	1(τm −τ)ψk (τm		. (7.5)
Kaxy (τ)=σxσy ∑bk ,п 1(τ					−τm )ψk (τ −τm ,α1 )+∑bk ,л					−τ,α2 )
	k=0							k
где τm - значение аргумента, соответствующего максимуму ВКФ
Определим взаимную спектральную плотность мощности
Saxy (jω)= σxσ y			∫	∑bk ,п 1(τ −τm )ψk (τ −τm ,α1 )+
			∞	m1
	2π		−∞ k =0								(7.6)
+ ∑bk ,л 1(τm −τ )ψk (τm −τ ,α2 ) exp(− jωτ )dτ.
m 2
k =0
Введем замену переменных u =τ −τm . Тогда									1 )exp(− jωu)du +
Saxy (jω)= σ xσ y exp(−					jωτm ) ∑m1		bk ,п	∫ψ k (u,α
								∞
				2π		k =0		0

		m 2		0
		+ ∑bk ,л		∫ψ k (−u,α2 )exp(− jωu)du
		k =0		−∞
=	σxσ y exp(− jωτm )			∑m1	bk ,пWk (jω)+ ∑m 2	bk ,лWk (−
		2π
				k =0	k =0

Отсюда

=

jω) .	(7.7)

ReS			(jω)=		σxσy		cosωτ		m1 b	ReW (jω)+
		axy						m
					2π				∑ k ,п	k
									k=0
m2							m1			m2
+∑bk ,л ReWk	(jω)			−sinωτm			∑bk ,п ImWk (jω)−∑bk ,л ImWk				(jω) ,
k=0							k=0			k=0

84

	ImS		(jω)=		σxσy		−sinωτ			m1 b	ReW (
		axy							m
					2π					∑ k ,п	k
										k=0
+ m2 b	ReW (jω)			+cosωτ			m1 b	ImW (jω)			− m2 b
∑ k ,л	k					m	∑ k ,п			k	∑ k ,л
k=0							k=0				k=0

Введем обозначения

A(ω)= ∑m1	bk ,п	ReWk (jω)+ ∑m 2	bk ,л	ReWk (jω);
k =0		k =0
B(ω)= ∑m1	bk ,п	ImWk (jω)− ∑m 2	bk ,л	ImWk (jω).
k =0		k =0

jω)+

ImW (jω) . k

(7.8)

(7.9)

Окончательно получим
Re Saxy (jω)=	σ xσ y	[A(ω)cosωτm	− B(ω)sinωτm ];	(7.10)
	2π
Im Saxy (jω)=	σ xσ y	[B(ω)cosωτm	− A(ω)sinωτm ].	(7.11)
	2π

В таблицах 7.4 – 7.5 для различных ортогональных базисов приведены выражения для ReWk (jω) и ImWk (jω).

Вещественные и мнимые части преобразования Фурье ортогональных функций с использованием тригонометрических функций

Таблица 7.4

ψk (τ,γ /α)

ReWk (jω)

ImWk (jω)

L (τ ,α)

2

(− 1)k cosϕ cos(2k + 1)ϕ

−

2

(−1)k cosϕ sin(2k +1)ϕ

α

k

α

L(k1)(τ ,γ )

1

(1+(−1)k cos[2(k +1)ϕ])

1

((−1)k +1 sin[2(k +1)ϕ])

γ (k +1)

γ (k +1)

2

k

L(k2 )(τ ,γ )

1

+(−1) cos[(2k+3)ϕ]+k+1

2

(−1)k+1sin[(2k +3)ϕ]

tgϕ

γ(k+1)(k+2) 2

2cosϕ

γ(k +1)(k +

2)

2cosϕ

−

2

τ α

)

1

cosϕ

cos ϕ

+ 2k −1ϕ

−

1

cosϕ

sin ϕ

+2k−1ϕ

Legk (

,

(2k

+1)α

k

k

∑

s

(2k +1)α

k

k

∑ s

s=0

s=0

τ α

)

(−1)k

cosϕ

cos ϕ

+ 2k−1ϕ

−

(−1)k

cosϕ

sin ϕ

+2k−1ϕ

k

k

s

k

k

s

Dk (

,

(k

+1)α

∑

(k +1)α

∑

s=0

s=0

P(−1 2,0)

(τ,γ)

2

cosϕ

cos ϕ

+ 2k−1ϕ

−

2

cosϕ

sin ϕ

+ 2k−1ϕ

k

s

k

k

(4k +1)γ

k

∑

(4k +1)γ

k

∑ s

s=0

s=0

Pk(1 2,0)(τ,γ)

2

k−1

2

k −1

cosϕk cos ϕk

+ 2∑ϕs

−

cosϕk

sin ϕk + 2∑ϕs

(4k +3)γ

(4k + 3)γ

s=0

s=0

Pk( 1,0 ) (τ,γ)

1

k −1

1

k −1

cosϕk

cos ϕk

+ 2∑ϕs

−

cosϕk

sin ϕk

+ 2∑ϕs

(k

+1)γ

(k +1)γ

s=0

s=0

85

	Pk( 2,0 ) (τ,γ)		1		k−1			1		k −1
				cosϕk cos ϕk + 2∑ϕs			−		cosϕk sin ϕk + 2∑ϕs
			(2k +3)γ					(2k + 3)γ
					s=0					s=0

Вещественные и мнимые части преобразования Фурье ортогональных функций с использованием биномиальных коэффициентов

Таблица 7.5

ψk (τ ,γ / α)

ReWk (jω)

ImWk (jω)

Pk( 0,1) (τ,γ)

1

∑CksCks+s+1 (−1)s

cos

ϕs

−

1 ∑CksCks+s+1 (−1)s cosϕs sinϕs

k

2

k

(k +1)γ

s=0

(2s +1)

(k +1)γ

s=0

(2s +1)

Pk( 0,2 ) (τ,γ)

2

∑CksCks+s+2 (−1)s

cos ϕs

−

2

∑CksCks+s+2 (−1)s cosϕs sinϕs

k

2

k

(k +1)(k +2)γ

s=0

(2s+1)

(k +1)(k +2)γ

s=0

(2s+1)

cos2 ϕ

,k =0,

−

cosϕ sinϕ

,k =0,

0,0

0,0

0,0

T

(τ ,γ )

γ

2

γ

k

k

k−s cosϕk,s sinϕk,s

k

k

−

cos ϕ

k

−s (−4)

∑

C2ks

−s (−4)k s

k,s

,k ≠0

−∑

C2ks

,k ≠0

(2(k −s)+1)γ

−

(2(k

−

s)

+

1)

γ

s=0

2k

s

s=0 2k −s

1

k

s

k −s cos

2

ϕk ,s

1

k

s

k −s

cosϕk ,s sinϕk ,s

Uk

(τ ,γ )

∑C2 k −s+1 (− 4)

−

∑C2k −s+1 (−

4)

(2(k

− s)+ 1)γ

(2(k − s)+ 1)γ

k + 1 s=0

k + 1 s=0

Отметим, что при построении ортогональной модели спектральной плотности мощности по параметрам ортогональной модели корреляционной функции возможно применение различных ортогональных базисов при аппроксимации левой и правой ветвей корреляционной функции.

На рисунках 7.2 – 7.3 приведены результаты построения взаимной спектральной плотности мощности с помощью аппроксимирующих выражений в сравнении с теоретическими кривыми [48, 49].

При построении спектра с большим значением τm , необходимо правильно вы-

бирать значение интервала дискретизации спектра ω . В противном случае будет проявляться эффект наложения частот. Рекомендуемое значение интервала дискретизации, определяемое для восстановления cosωτm

ω ≤	0,2 ÷0,4		.	(7.12)
	τ	m

Рисунок 7.4 иллюстрирует эту ситуацию.

Другой способ построения ортогональной модели спектральной плотности мощности заключается в аппроксимации спектральной плотности мощности в каком либо базисе {ψk (ω,α)}k =0 ,...m при μ(τ )= 1. При этом, учитывая четность спектральной

плотности мощности, необходимо выбором параметров модели гарантировать выполнения условия нормировки

86

Рисунок 7.2 - Спектральная плотность мощности и ее составляющие

Рисунок 7.3 – Вещественная, мнимая части и модуль спектральной плотности мощности

87

Рисунок 7.4 - Взаимные спектральные плотности мощности при различных значениях интервала дискретизации для ρxy (τ )= exp(− τ − 100 )cos 5(τ − 100)

88

∞

∞

m

m

∫Sa н (ω)dω =

∫

∑βkψk

(ω,α)dω =∑βkWk (0)=

0

0 k =0

k =0

(7.13)

m

[−ψk (0,α)]k = 1 / 2.

= 2∑βk

ψk

2

k =0

Однако, в общем случае условие (7.13) не выполняется.

Для выполнения свойства (7.13), представим модель в виде

Sa н (ω)= ∑m

сkψk (ω,α).

(7.14)

k =0

при условии, что

m

2 [−ψk (0,α)]k =1 / 2 .

2∑сk

ψk

(7.15)

k =0

Запишем выражение для оценки погрешности с учетом условия (7.15)

∞

Sx н (ω)

m

(ω,α)

2

m

1

= ∫

− ∑сkψk

dω + 2λ∑βk

ψk

2 [−ψk

(0,α)]k = min.

(7.16)

0

k=0

k=0

Для определения значения параметров сn найдем

∂

1

∞

m

2

n

= −2∫

Sx н

(x)−∑сkψk (ω,α)ψn (ω,α)dω+2λ

ψn

[−ψn (0,α)] =0.

(7.17)

∂с

n

0

k=0

С учетом свойств ортогональных функций выражение (7.17) приведем к виду

− 2βn

ψn

2

+ 2сn

ψn

2

+ 2λ

ψn

2 [−ψn (0,α)]n = 0 .

(7.18)

Отсюда

сn

= βn − λ[−ψn (0,α)]n .

(7.19)

С учетом (7.15) выражение для определения λ равно

m

2 [−ψk (0,α)]k −1 / 4

λ =

∑βk

ψk

k =0

.

(7.20)

m

2

∑

ψk

k =0

Подставив выражение (7.20) в выражение (7.19), окончательно получим

1/ 4 − ∑βk ψk

2 [−ψk (0,α)]k

m

k =0

n

Cn = βn +

[−ψn (0,α)] =

m

ψk

2

(7.21)

∑

k =0

= βn + ςn .

Рассмотрим несколько частных случаев. Так для ортогональных функций Лагерра с учетом их свойств

λ	=	∑m βk (−1)k −α / 4
		k =0			,				(7.22)
		m + 1
		α / 4 − ∑m βk				(− 1)k		n
				k =0
Cn = βn +							(− 1) .		(7.23)
				m + 1

89

Рассмотрим пример уточнения коэффициентов разложения по предлагаемому алгоритму: ρx 5 (τ )= exp(− λτ )cosω0τ , λ = 1, ω0 = 5 (см. рис. 7.5).

Рисунок 7.5 - Аппроксимация СПМ ортогональными функциями Лагерра, α = 4, m = 36

Выражения для оценки коэффициентов разложения ςn

для других ортогональ-

ных базисов представлены в таблице 7.6.

Таблица 7.6

№

ψk (τ ,γ / α)

ςn

α / 4 − ∑m βk (− 1)k

n

Lk (τ ,α)

k =0

1

(− 1)

m + 1

m

β

k

α / 2 − ∑

2

Legk (τ,α)

2k

+ 1

k =0

∑

1

m

k =0

2k + 1

m

k

α / 2

− ∑

βk (− 1)

3

D (τ ,α)

k =0

k + 1

(− 1)n

m

k

1

∑

k =0

k

+ 1

В таблице 7.7 приведены аналитические выражения для оценки

P (α ,β ) 2

и ς

n

k

для различных функций Якоби Pk (α ,β )(τ ,γ ). Отметим, что для рассматриваемых ортогональных функций Якоби Pk (α ,β )(0,γ )= (−1)k .

Коэффициенты разложения КФ в ортогональных базисах Якоби (α,β )

90

m

Pk (α ,β )

2

1 / 4 − ∑βk

k =0

Cn = βn +

=

m

Pk

(α

,β )

2

(7.24)

∑

k =0

= βn

+ςn .

Корректирующие коэффициенты Якоби (α,β) и Сонина-Лагерра

Таблица 7.7

№

ψk (τ ,γ / α)

ςn

m

β

k

γ / 4 − ∑

P(−12,0)(τ,γ)

4k + 1

1

k =0

k

∑

1

m

k =0

4k + 1

m

β

k

γ / 4 − ∑

Pk(1 2,0)(τ,γ)

4k + 3

2

k =0

m

∑

1

4k + 3

k =0

m

β

k

γ / 2 − ∑

Pk( 1,0 ) (τ,γ)

k + 1

3

k =0

m

1

∑

k + 1

k =0

m

β

k

γ / 2 − ∑

Pk( 0,0 ) (τ,γ)

2k + 1

4

k =0

m

∑

1

2k + 1

k =0

m

β

k

γ / 2 − ∑

Pk( 2,0 ) (τ,γ)

2k + 3

5

k =0

m

∑

1

2k + 3

k =0

γ

m

β

[(k + 1)mod 2]

2

− ∑

k

(k +

2

( 0,1)

k =0

1)

6

P

(τ,γ)

[(n + 1)mod 2](n + 1)

∑m [(k + 1)mod 2]

k

k =0

(k + 1)

γ

m

β

(−1)k [(k + 2)div 2]2

8

− ∑

k

2

2

( 0,2 )

(τ,γ)

k =0

(k + 1) (k + 2)

[(n

+ 2)div 2]2

(2n + 3)(−1)n

7

[(k + 2)div 2]4 (2k + 3)

Pk

m

∑

2

2

k =0

(k + 1) (k + 2)

91

γ

− ∑m βk

[(k + 1)mod 2]

(1)

4

k =0

(k + 1)

8

L

(τ ,γ )

[(n + 1)mod 2]

∑m

[(k + 1)mod 2]

k

k =0

(k + 1)

γ

m

[(k + 2)div 2]

− ∑βk

9

L(2 )(τ ,γ )

8

k =0

(k + 1)(k + 2)

[(n + 2)div 2]

[(k + 2)div 2]2

k

m

∑

(k

+ 1)(k + 2)

k =0

Определим погрешность аппроксимации

1

∞

m

ψ k (ω,α)

2

1 =

S xн(ω)− ∑сk

dω =

∫0

k =0

(7.25)

∞

m

m

= ∫S x2н (ω)− ∑βk2

ψ k

2

+ ∑ςk2

ψ k

2 .

0

k =0

k =0

Представим погрешности аппроксимации КФ в виде:

1 = +

2 ,

(7.26)

где 2

составляющая методической погрешности аппроксимации, вызванная допол-

нительным условием (7.15).

Тогда

∞

m

2 ;

= ∫Sx2н (ω)dω − ∑βk2

ψ k

0

m

k =0

(7.27)

2

2

2

ψ k

.

= ∑ςk

k =0

Вторую составляющую погрешности 2 удобнее представить в виде:

m

2

k

2

[−ψk

(0,α)]

1 / 4

− ∑βk

ψk

2 =

k =0

.

(7.28)

m

∑

ψk

2

k =0

В таблице 7.8 приведены выражения для оценки

2 для различных базисов.

Составляющие методической погрешности аппроксимации нормированной спектральной плотности мощности ортогональными функциями

Таблица 7.8

№	ψk (τ ,γ / α)					2
					1	m	k 2
1	Lk (τ ,α)		1/ 4	−		∑βk	(−1)
					α k =0
				(m +1)/ α

92