Belokonov

sin

1 e2 sin E

cos

cosE e

d

1 e2 dE

1 ecosE

recosE

1 ecosE

a2

1 e2

E

2

dE

a3 2

t

1 ecosE

E esin E

1 ecosE

p

0

находится искомое соотношение для определения времени полета (шестой интеграл), которое называется уравнением Кеплера

t a32 E esin E

Окончательный вид выражения связи углов истинной и эксцентрической аномалий

1 cos 1 cosE e

1 ecosE

1 cos 1 e 1 cosE 1 ecosE

получается разделив вышеприведенные соотношения друг на друга

tg2			1	e	tg2	E
						2
2		1		e

tg	E			1 e	tg
2			1 e 2

Из уравнения Кеплера следует формула для определения периода обращения по эллиптической орбите

T 2 a32

Из этого выражения легко получается тритий закон Кеплера, согласно которому квадраты периодов обращения относятся как кубы их больших полуосей

T12 a13

T22 a23

Для прогнозирования движения формула Кеплера представляется в виде трансцендентного уравнения

					E esin E M ,
	где M				t
			a3

2.5 Движение по гиперболическим траекториям

Движение по гиперболическим орбитам редко наблюдается в природных явлениях. Вместе с тем полеты на околопланетных участках траекторий межпланетных перелетов всегда совершаются по гиперболическим орбитам.

Геометрия гиперболической орбиты

Каноническое уравнение гиперболы в прямоугольных координатах OXY с началом координат в центре гиперболы (рис.18) имеет вид

x2 y2 1 , a2 b2

где a и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы.

Рис.18 Движение по гиперболической траектории

Из уравнения гиперболы в полярных координатах

	r	p	, e > 1
		1 ecos

Следует, что при r ,1 ecos пр 0

Отсюда

cos пр 1 , cos 1 e e

Геометрические характеристики гиперболической орбиты

r

p

;

r

p

1 e

1 e

a

r

r

1

p

p

p

2

2

e 1

e

2 1

e 1

c

r

r

1

p

p

pe

2

2

e

2

1

e 1

e 1

r 1 e p

F1 p - прицельная дальность – кратчайшее расстояние от притягивающего центра (фокуса гиперболы) до асимптоты гиперболы.

OPF1 B O

c2 a2 b2 ,

F1P b

b

a

a 1

2r

r2

c2 a2

e2 1

1 r

a

a2

r 1 e p a e2 1

e 1

r

a

F1P b r

1

2a

- прицельная дальность

r

1 2a r

	p	b2		, b2 a2 e2 1
		a

Следует помнить, что при полете вокруг притягивающего центра по гиперболе

вектор скорости						на		бесконечности V		поворачивается на угол 2 , который
находится из соотношения :
sin	а		а		a			1
								1 r а
	ОВ с a r

Интеграл энергии для гиперболической орбиты Выведем частный вид интеграла энергии для движения по гиперболической

траектории. Из интеграла энергии следует, что константа h равна квадрату гиперболического избытка скорости V . С другой стороны, эта константа может быть выражена через действительную полуось гиперболы:

V 2 2 h r

	C2 V 2b2 ,	C2	p

C2 h p a , p h p a

h a

Из интеграла энергии определяется скорость при движении по гиперболе

Vгип			2	r
	r			a

Определение времени движения по гиперболической орбите Для определения зависимости времени движения от положения на гиперболической

орбите используется формула t 1 r2d , справедливая для любой орбиты. c 0

Вводится гиперболический аналог угла эксцентрической аномалии ν → F .

0,F 0

праз ,F

2

X a cosF

Уравнение гиперболы

x2 y2 1 a2 b2

Координаты тела в орбитальной системе координат и величина его радиуса-вектора находятся по формулам:

x2

1

Y b

1 b

1 b tgF a

e2 1 tgF

cos2 F

a2

X C X a e

a

a

ecosF 1

cosF

cosF

r

2

x

2

y

2

a

2 ecosF 1 2

e2 1 sin

2 F

a

2 e cosF 2

cos2 F

cos2 F

В результате преобразований

y

sin F

cos

x

ecosF 1

sin

e2 1

e cosF

r

r

e cosF

d sin cos d

e cosF cosF sin2 F dF

e2

1

dF

e cosF

d

e2 1

e cosF

a2

e2 1

F e cosF

a3 2

F dF

F

dF

t

dF

e

0

cos2

0 cosF

0

p

F

cosF

выводится формула Кеплера для гиперболической орбиты

		a3 2				F
	t				e tgF lntg
							2
									4

tg	F		e 1	tg
2			e 1 2

Из нее следует трансцендентное уравнение, которое используется при прогнозировании движения по гиперболической орбите

				F
e tgF ln tg									N
				2		4
				t
N
		a3

2.6 Характерные космические скорости

Характерные космические скорости определяют минимальные энергетические затраты для реализации различного типа миссий.

Круговая и первая космические скорости

Круговая скорость (Vкр ) – скорость, которую должен иметь спутник для того, чтобы двигаться по круговой орбите.

Рис.19. Круговая скорость движения

Из выражения	f	2		2	C	2	h следует, что e 1		C2			2		2
											V
										2
														r

Тогда в случае, если e = 0, θ = 0 (угол между скоростью и нормалью к радиусувектору), C r Vкр

Отсюда находится выражение для круговой скорости

r2 Vкр2

2

0 1

V

кр

2

r

V4

2

V2

2

0

r

r2

кр

кр

V2

r

кр

	Круговая скорость по орбите радиуса r	Vкр					.
				r

Таким образом, чем меньше r, тем больше Vкр.

Первая космическая скорость относительно Земли – круговая скорость у ее поверхности r = R

VI	7,912	км		- первая космическая скорость (R = 6371 км - радиус Земли).
		с

Параболическая скорость и вторая космические скорости Параболическая скорость – скорость, которую нужно сообщить телу на заданном

расстоянии r от центра притяжения,чтобы оно начало двигаться по параболической орбите и покинуло поле тяготения.

е = 1, 1 1

C2

2

2

;

Vпар

2

r

V

2

=

V

,

2

кр

пар

r

При r = R, находится вторая космическая скорость

VII

2

VI

2

R

VII 11,190км

- вторая космическая скорость –параболическая скорость у

с

поверхности Земли.

Третья космическая скорость Третья космическая скорость - скорость, которую необходимо сообщить телу,

чтобы оно могло покинуть не только поле тяготения Земли,но и поле тяготения Солнца, т.е. вышло за пределы Солнечной системы (рис.20).

Рис. 20 Космические скорости

Введем понятие сферы действия Земли – область пространства, внутри которой поле притяжения Земли является преобладающим настолько, что действием Солнца можно пренебречь.

925000 км

Сфера действия Земли

r 149.600 млн.км

V Vкр 29,77 кмс

V

r

V

V

2

пар

r

V V

V

Из интеграла энергии: V2

2

V2

R

III

2

1 2VI2 VII2

км

- третья космическая

VIII

V2

V2 VII2

16,86

2

R

с

скорость

Четвертая космическая скорость Четвертая космическая скорость – скорость, которую нужно сообщить телу около

Земли, чтобы остановить его движение относительно Солнца и оно начало вертикальное падение на Солнце.

V V , V42 2 V2

R

V4 V22 V2 32,8 км/с - четвертая космическая скорость

3. Элементы орбит в пространстве

Элементами орбиты назовем 6 постоянных интегрирования уравнений движения, которые удобны и наглядны для характеристики пространственных орбит (рис.21): Ω – долгота восходящего узла (угол между осью OXn инерциальной системы

координат, направленной в точку весеннего равноденствия, и линией восходящего узла), ω – аргумент перицентра (угол между направлением на перицентр и линией узлов;

i – наклонение орбиты (угол между плоскостью орбиты и плоскостью экватора); р – фокальный параметр орбиты;

e – эксцентриситет орбиты;

τ – момент времени прохождения через перицентр.

Ω, i – определяют ориентацию орбиты в пространстве; ω – определяет ориентацию большой оси орбиты в плоскости орбиты относительно линии узлов; р и e – характеризуют геометрию орбиты; τ – обеспечивает временную привязку.

Рис.21 Элементы орбиты

Элементы орбиты и начальные условия движения, например, в геоцентрической системе координат, связаны взаимно-однозначным соответствием.

Выразим координаты движения через элементы орбиты. Для чего спроектируем радиус-вектор r на линию узлов и в плоскость перпендикулярную линии узлов.

Рис.22. Проекции на плоскость экватора.

U = θ + ω – аргумент широты (характеризует угловое положение тела относительно линии узлов)

Тогда координаты тела будут находиться по соотношениям x r cosU cos sinU cosi sin

y r cosUsin sinUcosicos z rsinUsini .

Выразим проекции скорости движения, для чего выполним дифференцирование

dU d . dt dt

В результате преобразований получим

dr d

x cosU cos sinU cosisin r sinU cos cosU cosisin ; dt dt

y dr cosU sin sinU cosicos r d sinU sin cosU cosicos

dt

rdt

z

dr

sinUsini rcosUsini

d

.

dt

dt

dr

Vr

esin ;

dt

p

d

r

V

1 ecos .

dt

n

p

t выражается из уравнения Кеплера.

Основные формулы сферической тригонометрии

OA(1,0,0);OB(cosC,sinC,0);OC(cosb,sinbcos A,simbsin A); 1) Формула косинуса стороны

cosa OC*OB cosbcosc sinbsinCcosA; 2) Формула синусов.

					1..........		.....0..........	....0
							sin c	0		sin csin bsin A sin csin asin B
ОА (ОВ ОС)					cosc........
					cosb..sin bcos A..			sin bsin A
sin asin bsin C
sin A		sin B		sinC		- синусы углов пропорциональны синусам сторон.
sin a		sin b
				sin c

cosB cosAcosC sin Asin Ccosb,

3) Формула cosB

Косинус угла равен произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними.

4) Формула котангенсов. ctgasin C cosBcosc sin BctgA.

Котангенс крайней стороны, умноженный на синус внутренней стороны с равен произведению косинусов внутренних элементов сложенного с произведением синуса внутреннего угла и котангенса внешнего угла.

Выразим элементы орбиты через начальные значения параметров движения (рис.23).

Рис. 23 Связь элементы орбиты с геоцентрическими координатами

Пусть известны положение ЛА и проекции его абсолютной скорости в конце активного участка, которые соответствуют начальным условиям орбитального движения

r0 (x0 , y0 ,z0 ),V(x0, y0 ,z0 ). в инерциальной геоцентрической системе координат.

Определение долготы восходящего узла Ω и наклонения орбиты i.

Спроецируем n C ; на оси геоцентрической системы координат и найдем

C

направляющие косинусы нормали

Cx

Cy

Cz

n

;

n

y

;

n

; где C (r

V

);

C

C

C

x

z

0

0

Cx y0 z z0 y0 ;

C Cx2 Cy2 Cz2 ;

Cy z0 x0 x0 z0; Cz

x0 y0 y0x0;

nx

cos(n?; x) b cosacosc sinasinccosB

sin cos(a i)

ny

cos(u?; y) b cosacosC sinasinc cosB cos ( sini);

C

x

Cy

C

z

n

x

sin sini

;n

y

cos sini

;n

z

cosi

.

C

C

C