ЦОС учебник

что и требуется получить. Область сходимости

для F2 ( z )

получается подстановкой z / a

вместо z в неравенство для области

сходимости F1 ( z ) .

Свойство 6.

Инверсия

(изменение

знака)

времени

последовательности приводит

к

замене

переменной

z на

z−1 в

выражении z-преобразования,

есть,

Z

( z ) с

то

если

f1 (n) ¾¾® F1

областью сходимости R− <

z

< R+

и

f2 (n) = f1 (-n) ,

(3.22)

то

F2 ( z ) = F1 (z−1 )

(3.23)

с областью сходимости (1 R+ ) <

z

< (1 R− ) .

Доказательство этого

свойства сводится к подстановке последовательности (3.22) в формулу (3.1) и замене переменной при суммировании:

F ( z ) =		∞		(-n) z−n =	∞	f (m) zm	=
		∑	f		∑
2			1			1
		n=−∞			m=−∞
		∞
	= ∑ f1 (m) (z−1 )−m = F1 (z−1 ).
	m=−∞
Область сходимости			F ( z ) получим, подставив				z−1 вместо z в
			2		F1 ( z ) .
неравенство для области сходимости
Свойство 7.	Свертка			последовательностей			соответствует
произведению их z-преобразований. Если
		f3 (n) = f1 (n) * f2 (n) ,					(3.24)
то			F3 (n) = F1 (n) F2 (n) .
							(3.25)

Нетрудно провести доказательство этого свойства, с точностью до обозначений совпадающее с доказательством аналогичного свойства для спектров (см. п. 2.2). Областью сходимости F3 ( z )

53

является пересечение областей сходимости F1 ( z ) и F2 ( z ) .

Исключение составляют случаи компенсации полюсов F1 ( z )

нулями F2 ( z ) или наоборот, при которых область сходимости может расширяться.

3.3 Обратное z-преобразование

Установим правило перехода от z-преобразования к исходной последовательности. Соотношение для такого обратного z- преобразования можно вывести из интегральной теоремы Коши, из которой следует, что

zk −1dz = 2 πi δ(k ) ,

(3.26)

∫

C

где интеграл берется против часовой стрелки по замкнутому контуру C, охватывающему начало координат комплексной z-

плоскости. Умножим обе части выражения (3.1) на zk −1 и проинтегрируем по C, выбрав контур так, чтобы он полностью лежал внутри области сходимости z-преобразования:

F ( z ) zk −1d z = zk −1		∞	−n d z .
		∑ f (n) z
∫	∫	n=−∞
C	C

Равномерно сходящийся на C ряд можно интегрировать почленно, поэтому с учетом формул (3.26) и (1.18) имеем

		F ( z )zk −1dz =	∞	f (n)		zk −n−1dz
			∑
	∫		n=−∞		∫
	C				C

∞

= 2πi ∑ f (n) δ( k − n)=2πi f (k ). n=−∞

Отсюда следует окончательное соотношение для обратного z- преобразования:

	f (n) =	1	F ( z ) zn−1dz ,	(3.27)
		2πi
			∫
			C

54

где C – контур, окружающий начало координат с направлением обхода против часовой стрелки и расположенный в области сходимости F(z).

Практически взять интеграл (3.27) можно несколькими способами. Если подынтегральная функция

W ( z ) = F ( z ) zn−1

(3.28)

является аналитической во всей внутренней области контура, за исключением конечного числа особых точек, то универсальный способ вычисления дает теорема о вычетах. В соответствии с ней, интеграл (3.27) определяется через сумму вычетов:

1

(

)

N

(

)

∑

∫

W

z dz =

Res W

z

, z = p

,

(3.29)

2πi

j=1

j

C

где N –

число особых точек внутри контура C,

{ p j }

– особые

точки, Res W ( z ), z = p

– вычет функции W(z) в точке z = p

j

.

j

Для функции W(z),

имеющей своими особыми точками полюсы,

вычеты

вычисляются

следующим образом. Если полюс в точке

z = p j простой, то есть W(z) можно представить в виде

W ( z ) =

U ( z )

,

z − p j

где U(z) – функция,

не имеющая особенностей (аналитическая) в

точке z = p j , то

Re s W ( z ), z = p

=

lim

(z − p

)W ( z )

= U ( p

) .

(3.30)

j

z→ p j

j

j

Если полюс в точке

z = p j

l-кратный, то есть:

W ( z ) =

U ( z )

l ³ 2 ,

,

(z − p j )l

то

55

Res W ( z ), z = p

=

1

lim

d l −1

z − p

j )

lW ( z )

=

j

(l −1)! z→ p j d z(l −1) (

=

1

d l −1U ( z )

.

(3.31)

(l −1)!

d z(l−1)

z= p j

Выражения (3.28)

–

(3.31)

позволяют

находить, в

частности,

обратные z-преобразования для дробно-рациональных функций F(z). Пример 3.2. Вычислим последовательность, соответствующую z-

преобразованию

F ( z ) =

1

с областью сходимости

z

>

a

.

1−az−1

Согласно соотношению (3.27), в данном случае

f

(

n

)

=

1

zn−1

dz =

1

zn

dz .

2πi

1 − az−1

2πi

C∫

C∫ z − a

Контур интегрирования C должен располагаться в области

сходимости, то

есть

вне

круга

радиуса

a

с центром

в

начале

координат. При

n ³ 0

подынтегральная функция W ( z ) =

zn

имеет

z−a

один простой полюс в точке z = a . При n<0 появляется второй полюс кратности (-n) в начале координат. Взаимное расположение области сходимости, контура интегрирования и обоих полюсов показано на Рисунке 3.4. Как видно, оба полюса охватываются контуром. В соответствии с выражениями (3.29) и (3.30) при n ³ 0 :

		z	n
	f (n) = Res			, z = a	= an .
		z − a

При n<0 последовательность определяется как вычетов, значение первого из которых уже найдено:

		z	n
	f (n) = Res				, z = a			+Res
		z − a
					z	n
	= an + Res						, z = 0 .
					z − a

		z	n
				, z = 0
		z − a

сумма двух

(3.32)

56

Рисунок 3.4 - Взаимное расположение области сходимости, контура интегрирования и полюсов: иллюстрация к примеру

	Найдем вычет в начале координат.					При n = −1 полюс в z = 0
	простой, и поэтому Res			1	, z = 0	= −a−1 . При n = −2 полюс
				( z−a)
		z

двукратный. В соответствии с выражением (3.31):

zn

1 d

1

1

= −a−2 .

Res

, z = 0

=

= −

2

( z

− a)

1! d z

2

z

z − a

( z − a)

z=0

z=0

Для произвольного отрицательного n получается:

zn

(−n−1)

, z = 0

=

1

d

1

Res

(−n)

( z − a)

z

(−n −1)! d z(−n−1) z

− a

z=0

(3.33)

(−1)(−n−1)

=

= −an .

( z − a)(−n)

z=0

Таким образом, подставив выражение (3.33) в формулу (3.32), при n<0 имеем f (n) = an − an = 0 .

57

Окончательный результат:

	n
f (n) = a		,
0		,

		n
n ³ 0	= a		u (n) .
n < 0

Непосредственное вычисление обратного z-преобразования методом вычетов может оказаться весьма трудоемким, особенно если у функции F(z) имеется много особых точек. На практике чаще используют обходной путь, приводя F(z) к представлению в виде суммы простых функций, обратные z-преобразования которых известны. Так, для дробно-рациональной функции F(z) общего вида (3.9) применяется ее разложение на простые дроби:

P

(

z

−1

)

M

l j

C jk

F ( z ) =

= A

( z−1 )+ ∑∑

,

(3.34)

Q

( z−1 )

j=1k =1 (1 - p j z−1 )k

где P (z−1 ),Q (z−1 ), A(z−1 ) –

полиномы от

z−1 , M –

общее число

полюсов, l j –

кратность

полюса

p j ,

C jk –

постоянные

коэффициенты. Слагаемое A в разложении (3.34) присутствует, если степень полинома P не меньше степени полинома Q, и определяется алгебраическим делением P на Q. Значения постоянных C jk можно

найти методом неопределенных коэффициентов (см. пример ниже). Выражение (3.34) позволяет представить произвольную дробно- рациональную функцию через сумму табличных z-преобразований.

При переходе от выражения (3.34) к самой последовательности следует обращать особое внимание на взаимное расположение полюсов z-преобразования и его области сходимости вида (3.8). Как уже отмечалось, именно полюсы определяют радиусы области сходимости. Простая дробь

C jk

(1 - p j z−1 )k

58

соответствует последовательности правосторонней, если					p j	£ R− , и
левосторонней, если		p j		³ R+ . Область сходимости		такого

элементарного z-преобразования будет определяться соответственно

неравенством

z

>

p j

или

z

<

p j

.

Пример 3.3. Определим последовательность, соответствующую

z-преобразованию

F ( z )

=

1 - ab

<1

,

ab

(3.35)

(1 - bz )(1 - az−1 )

с областью сходимости

a

<

z

<

1

.

(3.36)

b

Для этого запишем выражение (3.35) в виде отношения полиномов по отрицательным степеням z:

			1			−1
F ( z ) =	a -				z
			b
											(3.37)
							1
	(1 - az	−1 ) 1 -							z−1
							b

а затем, учитывая наличие полюсов в точках z=a и z=1/b, произведем разложение на простые дроби:

F ( z ) =

C1

+

C2

.

(3.38)

1 - az−1

1 -

1

z−1

b

где

C1, C2 –

неопределенные коэффициенты. Для отыскания C1 и

C2

приведем выражение (3.38) к общему знаменателю и сравним

его с записью (3.37):

1

C -

1

C z−1 + C - a C z−1

a -

z−1

1

b

2

2

2

=

b

.

1

1

(1 - az−1 ) 1

-

z−1

(1 - az

−1 ) 1 -

z−1

b

b

59

Приравнивая в числителях коэффициенты при одинаковых степенях z, получаем систему линейных уравнений

C1 + C2 = 0

−

1

C − aC = a −

1

,

1

2

b

b

решение которой дает: C1 = 1, C2 = −1, то есть

F ( z ) =

1

−

1

= F1 ( z ) + F2

( z ).

(3.39)

− az−1

a −

1

z−1

1

b

Первое слагаемое

F1 ( z )

=

1

имеет полюс в

точке z=a,

− az−1

1

расположенной на внутренней границе кольца сходимости (3.36), как показано на Рисунок 3.5. Следовательно, оно соответствует правосторонней последовательности и имеет область сходимости z > a .

Рисунок 3.5 - Расположение полюсов: иллюстрация к примеру

60

Из таблицы z преобразований получаем: f1 (n) = an u (n) .

Второе слагаемое в сумме (3.39)

	F2	( z ) =		-1
			a -	1		z	−1

b

имеет полюс в точке z=1/b, расположенной на внешней границе кольца сходимости (3.36). Следовательно, оно соответствует левосторонней последовательности и имеет область сходимости

z<1 b . Из таблицы z-преобразований: f2 (n) = b−n u (-n -1) .

Всилу линейности z-преобразования окончательный результат получаем в виде

f (n) = f	(n) + f			n	,
			(n) = anu (n) + b−nu (-n -1) = a
1		2	b−n ,

n ³ 0,

n < 0.

3.4Анализ и синтез ЛИС-систем с использованием z-преобразования

Определим передаточную функцию дискретной ЛИС-системы как z-преобразование ее импульсной характеристики:

∞	−n .
H ( z ) = ∑ h (n) z		(3.40)

n=−∞

Передаточная функция является еще одной формой описания ЛИС-системы, она однозначно определяет закон преобразования входной последовательности в выходную. Действительно, учитывая соответствие формул (3.24) и (3.25), свертку (1.14) можно записать в z-области в виде

G ( z ) = F ( z ) H ( z ) ,	(3.41)
где G ( z ), F ( z ) – z-преобразования	выходной и входной

последовательностей. Область сходимости G(z) состоит как минимум из пересечения областей сходимости F(z) и H(z).

Выражение, аналогичное (3.41), мы имели и раньше при описании ЛИС-системы в частотной области (см. формулу (2.7)).

61

Это естественно, ведь в соответствии с соотношением (3.12) частотная характеристика системы есть ее передаточная функция (а спектр дискретного сигнала – его z-преобразование) при значениях переменной z, взятых на единичной окружности в комплексной z- плоскости. Однако понятие передаточной функции существенно шире понятия частотной характеристики, поскольку применимо и к системам, для которых ряд (3.40) не сходится на единичной окружности.

Передаточную функцию нетрудно получить непосредственно из разностного уравнения ЛИС-системы. Покажем это на примере физически реализуемой системы, описываемой разностным уравнением (3.35). Используя сформулированные в п. 3.2 свойства 2 и 3 z-преобразования (линейность и сдвиг последовательности), уравнение (3.35) можно записать в преобразованной форме:

M	N	( z ) z	− j =
G ( z ) = ∑a jG ( z ) z− j + ∑b j F
j=1	j=0		.
M	N
= G ( z ) ∑a j z	− j + F ( z ) ∑b j z		− j
j=1	j=0

Отсюда легко выражается G ( z ) в явном виде:

		N		− j
		∑b j z
G ( z ) = F ( z )		j=0				.	(3.42)
		M
				z− j
		1 − ∑a j
		j=1
Сопоставив выражения (3.42) и (3.41), видим, что
		N	− j
	∑b j z
H ( z ) =	j=0				.		(3.43)
		M
			z− j
	1 − ∑a j

j=1

Полученная передаточная функция H(z) отличается от записи (3.9) только обозначениями коэффициентов в знаменателе, то есть

62