ЦОС учебник

схему системы. Найти передаточную функцию. Исследовать устойчивость. Определить реакцию этой ЛИС-системы на единичный скачок.

3.5.28. ЛИС-система состоит из двух последовательно соединенных ЛИС-систем, первая из которых описывается уравнением

∞	∞
y (n) = ∑αk x (n − k ) ,	а вторая – уравнением y (n) = ∑x (n − k ) .
k =0	k =0

Определить ее импульсную и частотную характеристики. Зарисовать ИХ, АЧХ и ФЧХ. Записать разностное уравнение и построить структурную схему системы. Найти передаточную функцию. Исследовать устойчивость. Определить реакцию этой ЛИС-системы на единичный скачок.

3.5.29.Записать аналитическое выражение для чисел Фибоначчи.

3.5.30.ЛИС-система состоит из двух параллельно соединенных ЛИС-систем, первая из которых описывается разностным

уравнением	y (n) = αy (n −1) + x (n −1) , а вторая – разностным
уравнением	y (n) = −αy (n −1) + x (n) . Определить ее импульсную и

частотную характеристики. Зарисовать ИХ, АЧХ и ФЧХ. Записать разностное уравнение и построить структурную схему системы. Найти передаточную функцию. Исследовать устойчивость. Определить реакцию этой ЛИС-системы на единичный скачок.

3.5.31. Определить передаточную функцию и импульсную характеристику физически реализуемой ЛИС-системы, осуществляющей преобразование последовательности

x (n) = cos π n u (n) в последовательность		y (n) = cos π n u (n) .
	3		2

Записать разностное уравнение. Построить структурную схему системы. Построить диаграмму нулей и полюсов передаточной функции. Исследовать устойчивость. Найти частотную характеристику. Зарисовать ИХ, АЧХ и ФЧХ. Определить реакцию этой ЛИС-системы на единичный скачок.

73

3.5.32. Построить структурную схему ЛИС-системы с заданной импульсной характеристикой: h (n) = n2αnu (n) . При каких

значениях параметра α система будет устойчивой? Найти частотную характеристику. Зарисовать АЧХ и ФЧХ.

3.5.33. ЛИС-система состоит из двух параллельно соединенных ЛИС-систем, первая из которых имеет импульсную характеристику

h (n) = cos π n u (n) , а вторая описывается разностным уравнением

2

y (n) = − y (n −1) + x (n) . Определить импульсную и частотную

характеристики ЛИС-системы. Зарисовать ИХ, АЧХ и ФЧХ. Записать разностное уравнение и построить структурную схему системы. Найти передаточную функцию. Исследовать устойчивость. Определить реакцию этой ЛИС-системы на единичный скачок.

3.5.34. Построить физически реализуемую ЛИС-систему, которая

осуществляет	преобразование	последовательности
x (n) = 2δ(n) + δ(n −1)	в последовательность		y (n) = 2−n u (n) .

Является ли эта система устойчивой? Определить ее импульсную и частотную характеристики. Записать разностное уравнение. Построить структурную схему системы. Найти передаточную функцию. Исследовать устойчивость. Построить графики АЧХ и ФЧХ. Определить реакцию этой ЛИС-системы на единичный скачок.

74

4 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Анализ спектров – это одна из основных задач цифровой обработки сигналов. Основой цифрового спектрального анализа является дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое переводит последовательность, заданную во временной области, в последовательность, соответствующую компонентам спектра. Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье является одним из вопросов, рассматриваемых в данном разделе.

Практическая ценность ДПФ заключается в том, что для него разработаны чрезвычайно эффективные алгоритмы вычисления, называемые алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ).

4.1 Дискретное преобразование Фурье

Пусть fн (t ) – непрерывная периодическая функция времени

(см. Рисунок 4.1):

fн (t ) = fн (t + kT ) ,

(4.1)

где T – период, k – любое целое число.

Рисунок 4.1 - Пример непрерывной периодической функции времени

Такую функцию можно разложить в ряд Фурье (см. п. 1.2.1.), то есть представить в спектральной области. Этот ряд (спектр) будет содержать гармонические (синусоидальные) составляющие с

периодами	T,	T	2 ,	T	, …,	T	, … .	В комплексной форме
				3		m

представление периодической функции через ряд Фурье записывается в виде:

75

∞	(m)ei 2Tπ mt .
fн (t ) = ∑ Fн		(4.2)

m=−∞

Здесь

e i 2Tπ mt ∞

m=−∞

–набор функций, образующих базис, по которому производится

разложение fн (t ) в ряд, Fн(m) – коэффициенты этого разложения

– спектральные компоненты сигнала. Эти компоненты образуют последовательность – дискретный спектр (см. Рисунок 4.2). Заметим, что дискретность спектра связана с тем, что функция fн (t ) периодична.

Рисунок 4.2 - Дискретный спектр функции

Пусть теперь f (n) – последовательность, периодическая с периодом N:

f (n) = f (n + kN ) ,

(4.3)

которую можно получить дискретизацией периодической функции непрерывного аргумента, удовлетворяющей условию (4.1). Такая последовательность есть частный случай периодической функции общего вида, поэтому для нее все сказанное выше остается в силе. При переходе от (4.1) к (4.3) мы просто заменили t на n, а T на N. В новых обозначениях можно записать и ряд (4.2):

76

∞
f (n) = ∑ F (m)ei 2Nπ mn .	(4.4)

m=−∞

Однако, то, что теперь функция рассматривается при целочисленных значениях аргумента, дает основание не удовлетвориться такой записью. Действительно, в данной ситуации базис разложения содержит только N различных функций:

	i	2π	mn N −1	,
e		N
			m=0

а остальные базисные функции совпадают с ними. Это связано со свойством периодичности дискретной комплексной экспоненты:

e i 2Nπ mn = ei 2Nπ (m+k N )n .

Естественно, одинаковые базисные функции дают и одинаковые коэффициенты разложения. Поэтому представление последовательности через ряд вида (4.4) является избыточным.

Для устранения избыточности предлагается усечь ряд (4.4), ограничиваясь базисом только из N различных комплексных экспонент. Разложение по такому базису принято записывать в виде:

			N −1
	f (n) =	1	∑F (m)ei	2π	mn ,	(4.5)
				N
		N m=0
	где последовательность		коэффициентов F (m)			называется

дискретным спектром или дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) исходной последовательности. Появившийся множитель перед суммой не меняет характера представления, он вводится исходя из некоторых дополнительных соображений.

Определим коэффициенты разложения (4.5). Умножим обе части

	выражения (4.5) на ei		2π		k n	при 0 < k ≤ N −1 и просуммируем по
				N
	периоду:
	N −1						N −1 N −1
	∑ f (n)e i	2π		k n =		1	∑ ∑F (m)e i	2π	n(m−k ) .	(4.5)
		N						N
	n=0					N n=0 m=0
										77

После замены порядка суммирования выражение (4.6) преобразуется к виду:

	N −1					N −1	N −1
	∑ f (n) ei	2π	kn	=	1	∑F (m) ∑e i		2π	n(m−k ) .	(4.7)
		N						N
	n=0				N m=0		n=0

Будем рассматривать интервал значений индексов длиной в период: 0 ≤ m, k ≤ N −1 . Нетрудно показать, что для этого интервала внутренняя сумма

N −1
∑e i	2π	n(m−k ) = N		m = k = N d(m - k ) .			(4.8)
	N
n=0			0	m ¹ k
Подставив (1.274) в (1.273) после замены индекса получаем:
		F (n)	N −1	(n)e−i	2π	mn .
			= ∑ f		N		(4.9)
			n=0
Пара соотношений (4.9), (4.5) определяют дискретное
преобразование Фурье последовательности: (4.9) –							прямое ДПФ,

(4.5) – обратное.

Заметим, что, в отличие от «классического» преобразования Фурье, здесь и f (n) , и F (m) – последовательности. Как следствие, и в этом легко убедиться, и F (m) , и f (n) –

периодичны с периодом N (условная иллюстрация этого факта дана на Рисунке 4.3).

Из соотношений (4.5), (4.9) видно, что для вычисления и прямого, и обратного ДПФ берутся отсчеты последовательностей только в N точках одного периода. Это позволяет формально использовать ДПФ и для последовательностей f (n) и F (m) ,

заданных только на интервале [0, N -1] , то есть непериодических

(имеющих конечную длину). Однако при этом всегда неявно предполагается периодическая продолженность преобразуемых последовательностей на всю бесконечную числовую ось аргумента, как это показано на Рисунке 4.3.

78

Рисунок 4.3 - Иллюстрация периодичности последовательности и ее дискретного спектра

4.2Связь ДПФ с z-преобразованием и непрерывным спектром последовательности

ДПФ это третье функциональное преобразование последовательностей, которое мы определяем в данном учебном пособии. До этого были введены в рассмотрение преобразование Фурье последовательности (см. раздел 2) и z-преобразование (раздел 3). Выясним, как связано ДПФ с введенными ранее преобразованиями.

Пусть имеется последовательность конечной длины: f (n) = 0 при n [0, N −1] .

Вычислим ее z-преобразование (чтобы не было путаницы в обозначениях, будем индексировать его буквой z):

F	( z ) =	∞	f (n) z	−n = N −1 f (n) z−n	(4.10)
z		∑		∑
		n=−∞		n=0

Сравнение выражений (4.9) и (4.10) показывает, что коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины N равны

79

значениям ее z-преобразования в N точках, равномерно распределенных по единичной окружности в комплексной z- плоскости (см. Рисунок 4.4):

F (m) = F	( z )		i	2π	m , 0 ≤ m ≤ N −1.	(4.11)
z			z=e N

Рисунок 4.4 - Связь ДПФ и z-преобразования

Формула (4.11) задает простой способ определения ДПФ по z- преобразованию. Возможен и обратный переход, то есть определение z-преобразования по ДПФ:

	N −1	N −1		1	N −1	2π
	Fz ( z ) = ∑ f (n) z	−n = ∑			∑F (m)ei		mn	z	−n =
						N
	n=0		N		m=0
		n=0

N −1

N −1

2π

n

=

1

∑F

(m)

∑ ei

m z−1

=

N

N m=0

n=0

i

2π

m

z

−1

N

(4.12)

N −1

1

(m)

1 − e

N

=

∑F

=

2π

m z−1

N m=0

1 − ei

N

1

N −1

1 − z−N

1 − z− N N −1

F (m)

=

∑F (m)

=

∑

.

2π

2π

N m=0

1 − ei

m z−1

N

m=0 1 − ei

m z

−1

N

N

Выражение (4.12) интерполируют значения коэффициентов ДПФ на всю комплексную z-плоскость.

80

Теперь определим связь ДПФ и непрерывного спектра. Ранее мы уже получали, что преобразование Фурье последовательности есть ее z-преобразование, вычисленное на единичной окружности, то

есть при z = eiω (см. формулу (3.12)). Поэтому здесь можно воспользоваться только что полученными результатами. Переход от непрерывного спектра к ДПФ задается выражением:

F (m) = Fz (eiω )			2π	.	(4.13)
		ω=		m, 0≤m≤N −1

N

Иными словами, коэффициенты ДПФ есть равноотстоящие отсчеты непрерывного спектра последовательности конечной длины на интервале частот [0, 2π] (см. Рисунок 4.5).

Рисунок 4.5 - Иллюстрация связи непрерывного спектра и ДПФ

Нетрудно выполнить и обратный переход, то есть вычислить непрерывный спектр по ДПФ. Для этого нужно в формулу (4.2) для

z-преобразования подставить z = eiω . Поскольку получающееся при такой подстановке соотношение нам далее не понадобится, мы не будем его записывать.

81

4.3Использование ДПФ для вычисления отсчетов непрерывного спектра

При цифровом спектральном анализе прикладной интерес представляют отсчеты непрерывного спектра. Если требуемое число отсчетов равно N – длине исходной последовательности, то они непосредственно определяются через ДПФ в соответствии с формулой (4.13). Однако часто требуется более “ детальный” анализ спектра, то есть получение большего, чем N , числа отсчетов. Дадим решение этой задачи.

Пусть имеется последовательность конечной длины: f (n) = 0 при n [0, N −1]

и требуется определить L отсчетов ее непрерывного спектра

Fz (eiω ) , равномерно распределенных на интервале [0, 2π] , то есть

на периоде спектра ( L > N ) .

Преобразование Фурье (спектр) последовательности задается выражением (2.5), которое в данном случае записывается в виде:

∞				N −1
Fz (eiω ) = ∑ f	(n)e−iωn = ∑ f (n)e−iωn .						(4.14)
n=−∞				n=0
Определим отсчеты спектра в L точках спектра (4.14), а именно,
при значениях частоты ω =		2π	l,	0 ≤ l ≤ L −1 :
l		L
Fz (eiωe )		N −1			2π
	= ∑ f (n)e−i L nl .						(4.15)
		n=0
С другой стороны, введем в рассмотрение новую
последовательность длиной в L отсчетов:
f (n) = f (n)				0 ≤ n ≤ N −1,			(4.16)
0				N ≤ n ≤ L −1.

и вычислим её L-точечное ДПФ:

82