Методичка. Алгебра 2

8

5x1 + 3x2

x3

= b1;

b1 = 11;

b1 = ¡3;

10:

2x1 +

¡4x3

= b2;

а) b2 = 5;

б) b2 = 2;

:

¡3x1 + 5x2

¡

x3

= b3;

b3 = 4;

¡

<

b3 = 2:

<

5x1 + x2 ¡ 3x3

= b1;

b1 = 10;

b1 = ¡4;

2x1

x2

+ x3

= b3

;

b3

= 8;

b3

= 1:

11: 8

¡

¡

2x2

¡ x3

= b2

;

а) b2

= ¡9;

б) b2

= 17;

8

¡

= ¡36;

12:

3x1

+ x2 ¡

2x3

= b2

;

а) b2

= 5;

б) b2

:

4x1

+ 5x2

= b1

;

b1

= 7;

b1

= ¡11;

<

4x1 + 2x2 + 7x3 = b3;

b3 = ¡2;

b3 = 1:

:

2x1 ¡ 8x2 + 5x3

= b1;

b1 = 9;

b1 = ¡11;

<

2x1

2x2

+ 3x3

= b3

;

b3

= 12;

b3

= 1:

13:

8

¡x1

+ x2

+ x3

= b2

;

а) b2

= ¡7;

б) b2

= 36;

:

5x1 + 3x2

x3 = b1;

b1 = 23;

b1 = 2;

8

¡

¡

14:

2x1 + 4x2 ¡

= b2;

а) b2 = ¡5;

б) b2 = ¡1;

<

3x1 + 5x2

x3 = b3;

b3 = 21;

b3 = 31:

:

2x1 + 3x2¡

x3 = b1;

b1 = 17;

b1 = 9;

15:

8

4x1 + 5x2

¡

2x3 = b2;

а) b2 = ¡11;

б) b2 = 16;

<

x1 +

¡7x3 = b3;

b3 = 13;

b3

= 21:

:

¡

¡

2x1 + 5x2 + 6x3 = b1;

b1 = 14;

b1 = ¡6;

16:

8

9x1 ¡ 3x2

= b2;

а) b2 = 14;

б) b2 = 13;

<

2x1 + 2x2 + 3x3 = b3;

b3 = 14;

b3 = 1:

:

x1 + 3x2 + 2x3 = b1;

b1 = 23;

b1 = 2;

17:

8

6x1 + 9x2 + 2x3 = b2;

а) b2 = 3;

б) b2 = ¡5;

<

x1

2x2

= b3;

b3 =

¡2;

b3 = 8:

:

¡8x1¡

5x2 + x3 = b1;

b1

=

¡2;

b1

= 8;

8

¡

¡

¡

18:

4x1 + 7x2 ¡ x3 = b2;

а) b2 = 0;

б) b2 = 1;

<

¡4x1 + x2 + 5x3 = b3;

b3

= 3;

b3 = 26:

¡

¡

: x1 + 2x2 ¡ x3 = b1;

b1 = ¡4;

b1 = 0;

19:

8

2x2 ¡ 3x3 = b2;

а) b2 = 1;

б) b2 = 7;

:

¡

x2 + 2x3 = b3;

b3 = 15;

¡

< x1

b3 = 10:

11

	8	x1 + 2x2 + x3 = b1;
20:		3x1 ¡ 5x2 + 3x3 = b2;
	:	2x1 + 7x2				¡	x3 = b3;
	<
	<	¡x1 + 2x2					+ 3x3	= b1;
		¡ x1			+ 2x2			= b3		;
21: 8		3x1			+ 2x2		+ x3	= b2		;
22:	8	4x1			3x2	+ x3		= b2	;
	:	x1	+ x2			¡ x3		= b1	;
	<		¡2x2 + x3					= b3;
	:	2x1 + 3x2 + x3 = b1;
	<	x1	¡ x2 ¡ x3					= b3	;
23:	8	x1	+				x3	= b2	;
	:	2x1 + 3x2 + x3 = b1;
24:	8	3x1 ¡ x2						= b2;
	<	x1 + 2x2 ¡ x3 = b3;
	:	2x1 + 3x2 + x3 = b1;
25:	8	3x1 ¡ x2						= b2;
	<	x1 + 2x2 ¡ x3 = b3;
	:	3x1	¡		4x2 + 5x3 = b1;
26:	8	2x1			3x2 + x3 = b2;
	<	3x1	¡		5x2	¡	x3 = b3;
	:		¡
		x1 + 3x2 + 3x3 = b1;
27:	8	2x1 +					x3	= b2;
	<	2x1 + 2x2				¡	3x3 = b3;
	:	x1		¡			5x3	= b1;
	8	¡
28:		5x1 + 2x2 + 2x3 = b2;
	<	4x1 + 2x2						= b3;
	:	2x1 ¡ 2x2						= b1;
29:	8	x1 + 5x2 + 3x3 = b2;
	<	5x1 + 3x2				¡	x3 = b3;
	:	x1	+ 4x2				2x3 = b1;
	8					¡
30:		4x1 + 2x2 + 7x3 = b2;
	:				3x2	¡	9x3 = b3;
	<

b1 = 30;		b1 = ¡12;
а) b2 = ¡9;		б) b2 = ¡7;
b3	= 1;	b3	= 0:
b1 = 100;		b1 = ¡1;
а) b2 = ¡20;		б) b2 = 0;
b3 = 5;		b3 = 41:
b1 = 3;		b1 = ¡70;
а) b2 = ¡40;		б) b2 = 11;
b3	= 5;	b3 = 1:
b1 = 27;		b1 = ¡1;
а) b2 = 1;		б) b2 = 19;
b3 = ¡1;		b3 = 0:
b1	= 37;	b1	= 3;
а) b2 = 0;		б) b2 = ¡5;
b3	= 2;	b3	= 5:
b1	= 37;	b1	= 3;
а) b2 = 0;		б) b2 = ¡5;
b3	= 2;	b3	= 5:
b1 = ¡3;		b1 = ¡10;
а) b2 = ¡5;		б) b2 = 15;
b3	= 2;	b3 = 10:
b1	= 4;	b1 = 1;
а) b2 = ¡12;		б) b2 = 6;
b3 = ¡4;		b3 = 5:
b1 = 13;		b1 = ¡1;
а) b2 = ¡2;		б) b2 = 6;
b3 = ¡4;		b3 = 5:
b1 = 13;		b1 = ¡1;
а) b2 = 9;		б) b2 = 0;
b3 = 11;		b3 = ¡3:
b1 = 2;		b1 = ¡47;
а) b2 = ¡2;		б) b2 = 1;
b3 = 9;		b3 = ¡12:

12

3. Нахождение решений систем линейных уравнений общего вида

Пусть СЛАУ (1) совместна и rgA = rgB = r. Будем считать, что базисный минор матрицы A находится в левом верхнем углу, так что

	¯	a11	¢ ¢ ¢	a1r	¯	= 0
.	¯	a¢ ¢ ¢	¢ ¢ ¢	a¢ ¢ ¢	¯	6
	¯		¢ ¢ ¢		¯
	¯				¯
	¯	r1		rr	¯
	Рассмотрим укороченную¯	систему из первых¯					r уравнений системы (1), т.е.

из уравнений, коэффициенты которых входят в базисный минор
8a11x1 + :¢:¢:¢+ a¢1¢r¢xr +¢ ¢a¢	1;r+1xr+1 + : : : + a1nxn =	b1,	(5)
:		br.
<ar1x1 + : : : + arrxr + ar;r+1xr+1 + : : : + arnxn =

Теорема. Укороченная система эквивалентна исходной системе.

Если r = n, то система (5) имеет единственное решение как система с квадратной невырожденной матрицей.

Пусть r < n. Неизвестные x1; x2; : : : ; xr, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются главными, а остальные неизвестные xr+1; xr+2; : : : ; xn называются свободными.

Запишем систему (5) в виде
8a11x1 + :¢:¢:¢+ a¢1¢r¢xr =¢ ¢ ¢	b1 ¡ a1;r+1xr+1 ¡ : : : ¡ a1nxn,	(6)
<ar1x1 + : : : + arrxr =	br ¡ ar;r+1xr+1 ¡ : : : ¡ arnxn.
систему (6) относительно главных неизвестных:
Решим :
x1 = f1(xr+1; xr+2; : : : ; xn);		(7)
¢ ¢ ¢	¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢

xr = fr(xr+1; xr+2 : : : ; xn);

где f1; f2; : : : ; fr – некоторые однозначно определенные из (6) функции. Соотношения (7) при произвольных xr+1; xr+2; : : : ; xn описывают множе-

ство всех решений системы и называются общим решением системы. В отличие от общего, конкретное решение x = (c1; c2; : : : ; cn)T , где ci; i = 1; 2; : : : ; n

– известные числа, называется частным решением.

Для однородной системы линейных уравнений в случае, когда она имеет бесконечное множество решений, из всей их совокупности выделяют так называемую фундаментальную систему решений.

Фундаментальной системой решений (ФСР) называется совокупность максимального числа линейно-независимых вектор-решений.

13

ФСР существует тогда и только тогда, когда r < n, и может быть найдена следующим образом.

Пусть x1; x2; : : : ; xr – главные неизвестные. Придадим свободным неизвестным xr+1; xr+2; : : : ; xn следующие n ¡ r наборов решений:

(1; 0; : : : ; 0); (0; 1; : : : ; 0); : : : ; (0; 0; : : : ; 1). Для каждого из этих наборов найдем соответствующие значения главных неизвестных. Тем самым найдем n ¡ r решений системы:

	e1	= (c11; c12; : : : ; 1; 0; : : : ; 0)T ;
	e2	= (c21	; c22		; : : : ; 0; 1; : : : ; 0)T ;		(8)
		: : : : : :	: : :		: : : : : : : : :
e	n¡r	= (c	; c	n¡r;2		; : : : ; 0; 0; : : : ; 1)T :
		n¡r;1

Совокупность решений (8) называется нормальной фундаментальной си-

стемой решений.										¡ r
В общем случае			свободным		неизвестным				придают n
линейно	независимых		наборов		значений,			т.е.	наборов	вида
(c1;r+1; : : : ; c1n); : : : ; (cn¡r;r+1; : : : ; cn¡r;n), для которых
	¯		c1;r+1	¢ ¢ ¢	c1n	¯	= 0:
	¯	c	¢ ¢ ¢	¢ ¢ ¢	ca¢ ¢ ¢	¯	6
	¯		n¡r;r+1	¢ ¢ ¢	n¡r;n	¯
	¯					¯
	¯					¯
	¯					¯

Если для каждого из этих наборов найти соответствующие значения главных неизвестных, то получим n ¡ r линейно независимых решений системы:

	e1	= (c11; c12; : : : ; c1;r+1; : : : ; c1n)T ;
		: : : : : :		: : :	: : :	: : : : : :
e	n¡r	= (c	n¡r;1	; c	; : : : ; c	n¡r;r+1	; : : : ; c	n¡r;n	)T :
				n¡r;2

Фундаментальная система решений e1; : : : ; en¡r однородной системы линейных уравнений позволяет записать любое решение системы в общем виде:

		x = ®1e1 + : : : +		®n¡ren¡r;		8®1; : : : ; ®n¡r 2 R:		(9)
Представление		(9) решения		называется общим			решением	однород-
ной	ситемы	уравнений	через		фундаментальную		систему	решений
(в	отличие от общего		решения		(7)	через свободные неизвестные).

Связь между решениями однородной и неоднородной систем.

Однородная система (3), полученная из системы (2) заменой свободных членов нулями, называется приведенной однородной системой для системы

(2).

14

Между решениями обеих систем существует тесная связь.

1.Сумма решений неоднородной и приведенной однородной систем является решением неоднородной системы.

2.Разность двух решений неоднородной системы является решением приведенной однородной системы.

Найдя одно (частное) решение неоднородной системы и прибавляя его к каждому решению приведенной системы, можно получить все решения неоднородной системы. В силу (9) это позволяет записать решение неоднородной системы в общем виде следующим образом:

x = c + ®1e1 + : : : + ®n¡ren¡r; 8®1; : : : ; ®n¡r 2 R;

(10)

где c – частное решение (2), а e1; : : : ; en¡r – ФСР (3). Представление (10) решения называется общим решением неоднородной ситемы уравнений через фундаментальную систему решений.

15

4. Метод Гаусса исследования и решения систем 4.1. Теоретические сведения

Для начала рассмотрим метод Гаусса приведения системы общего вида к системе с верхней трапециевидной матрицей. Мы не случайно выбрали это приведение. Для систем с верхней трапециевидной матрицей чрезвычайно просто устанавливается совместность и достаточно просто находится решение.

Пусть B = [Ajb] 2 Rm£(n+1) – расширенная матрица системы (2). Алгоритм этого метода заключается в следующем:

1.а) Элемент a11 назовем ведущим (главным) элементом 1-го шага. С его помощью аннулируем все расположенные под ним ненулевые элементы

1-го столбца. Если a11 = 0, то переставляем строки матрицы B(столбцы матрицы A) так, чтобы элемент a11 6= 0.

б) Умножаем 1-ю строку матрицы B последовательно на числа

¡a21=a11; ¡a31=a11; : : : ; ¡am1=a11 и складываем со 2-ой, 3-й, . . . m-ой строками соответственно, получая нули в 1-ом столбце ниже элемента

a11.

После выполнения 1-го шага матрица B переходит в матрицу

0	a11	a12	: : : a1n
	0	a~22	: : : a~2n
@	: : :	: : :	: : :	: : :
B
B	0	a~m2 : : :		a~mn

jj	b1	1
	~b2		:
j	bm	C
		A
j :~: :		C

Если при этом все строки матрицы A, начиная со второй, стали нулевыми, то весь процесс заканчивается, т.к. матрица уже приведена к верхней трапециевидной форме. Если же в этих строках есть хотя бы один ненулевой элемент, т.е. если матрица

0 a~22 : : : a~2n 1

A1 = @ : : : : : : : : : A =6 O; a~m2 : : : a~mn

то переходим ко 2-му шагу.

2. Этот шаг аналогичен первому. Он состоит в применении к матрице

0 a~: 22: :	:: :: ::	a~:2:n:	j	:~b:2:	1
@ a~m2 : : :		a~mn jj		~bm	A

описанного выше 1-го шага.

16

Переход к следующему шагу аналогичен уже известному переходу от 1- го шага ко 2-му. Повторяя описанные преобразования на следующих шагах, самое большое через k = min(m; n) шагов мы получим требуемый результат.

Итак, исследование и решение систем линейных уравнений общего вида с использованием метода Гаусса проводится по следующей схеме:

1.Система линейных уравнений (2) приводится к системе с верхней трапециевидной матрицей

0		0	a22	: : : a2r		a2;r+1
B	a11		a12	: : : a1r		a1;r+1
	:	0: :	:0: :	:: :: ::	a: : :	a : : :
B
B					rr	r;r+1
B
B		0	0 : : : 0			0
B
B		0	0	: : :	0	0
@			: : :	: : :	: : :	: : :
B : : :

где aii 6= 0; i = 1; 2; : : : ; r.

: : : a1n		j	b1
: : : a2n		j	b2
: : : : : :		j	: : :
: : : arn		j	br
: : :	0	j	br+1
: : : : : :		j	: : :
: : :	0	j	bm

1

C

C

C

C

CC; (11)

C

C

A

При этом, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы A, то в полученных решениях необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных.

2.Устанавливается совместность системы с верхней трапециевидной матрицей (система с матрицей (11) совместна тогда и только тогда, когда

bk = 0 при k > r, т.е ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.).

3.Если r = n, то система система станет системой с треугольной матрицей

8>a11x1

<

>

:

+ a12x2 + : : : + a1rxr = b1,

a22x2 + : : : + a2rxr =	b2, ;
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
arrxr =	br

которая имеет единственное решение. Найти его несложно: решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное.

4. Если r < n, то неизвестные xr+1; xr+2; : : : ; xnбудут свободными и систе-

ма относительно главных неизвестных будет иметь вид
8a11x1 + :	¢:	¢:	¢+ a¢1¢r¢xr =¢ ¢ ¢	b1	¢¡¢ ¢a1;r¢+1¢ ¢xr+1¢ ¢ ¢¡ : : : ¡ a1nxn,						(12)
<			arrxr =	br	¡	ar;r+1xr+1	¡	: : :	¡	arnxn.
:

Общее и частное решения исходной системы находятся из системы (12) с треугольной матрицей.

17

П р и м е р 3. Исследовать и решить систему линейных уравнений, если она совместна, с использованием метода Гаусса

8	x1 + 2x2 ¡ 3x3			=	7;
	2x1 + 3x2 +		x3	=	1;
:	4x1 + 7x2	¡	5x3	= ¡6:
<

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

B =	0	2	3	1	j	¡1	1
	@	1	2	¡3		7	A
		4	7	¡5	jj	6

и с помощью метода Гаусса приведем ее к верхней трапециевидной матрице. Прибавив ко 2-й строке 1-ю, умноженную на (-2), и к 3-й строке – 1-ю, умноженную на (-4), получим:

0	0	¡1	7	j	¡15	1	:
@	1	2	¡3	j	7	A
	0	¡1	7	j	¡22
Из 3-й строки вычтем 2-ю:		¡1		j	¡15	1
0	0		7				:
@	1	2	¡3	j	7	A
	0	0	0	j	¡7

Отсюда имеем rgA = 2 =6 rgB = 3 и согласно теореме Кронекера-Капелли система является несовместной.

П р и м е р 4. Исследовать и решить систему линейных уравнений, если она совместна, с использованием метода Гаусса

>	2x1 + x2 ¡ 2x3 + 3x4								= ¡3;
<	3x1 + 2x2		¡			x4 + 2x5				¡
8			+						= 0;
>	7x1 + 4x2			4x3 + 7x4 + 2x5 = 6;
>	5x1 + 3x2 ¡ 2x3 + 4x4 + 2x5 = ¡3:
>
:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы
	B = 0 3 2 0 1						2 j		0	1:
	B	2	1		¡2	3	0	j	¡3	C
	@	7	4		¡	7	2	j	¡	A
	B	5 3			¡2 4		2	j ¡3		C

18

и с помощью метода Гаусса приведем ее к верхней трапециевидной матрице. Чтобы не производить действий с дробями, вначале вычтем из 1-й строки

2-ю:	0 3		2	0 1		2	jj	0	1:
	B	¡1 ¡1		¡2	2	¡2		¡3	C
		7	4	¡4	7	2	j ¡6
	B								C
	@	5	3	¡2	4	2	j	¡3	A

Умножим 1-ю строку на 3,7,5 и сложим соответственно со 2-й, 3-й, 4-й

строками:	0 0			¡1	¡6	7	¡4	jj	¡9	1:
	B	¡1		¡1	¡2	2	¡2		¡3	C
		0	¡3		¡18	21	¡12	j ¡27
	B									C
	@	0	¡2		¡12	14	¡8	j ¡18		A

Умножим 2-ю строку на (-3),(-2) и сложим соответственно с 3-й, 4-й

строками:	0 0		¡1	¡6	7	¡4 j ¡9 1:
	B	¡1 ¡1		¡2	2	¡2	j ¡3		C
		0	0	0	0	0	j	0
	B						j		C
	@	0	0	0	0	0		0	A

Имеем rgA = rgB = 2, следовательно, система является совместной. Т.к. rgA = rgB = 2 < n-числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Найдем общее решение системы. Для простоты выделения базисных переменных умножим 2-ю строку на (-1) и сложим с 1-й строкой:

0	¡1	0	4	¡5	2
	0	¡1	¡6	7	¡4
B
@	0	0	0	0	0
B	0	0	0	0	0

j6 1

j¡9 CC:

j0 A

j0

Исходная система эквивалентна следующей:

½ ¡x2	¡ 6x3	+ 7x4	¡ 4x5	=	¡9:
¡x1	+ 4x3	¡ 5x4	+ 2x5	=	6;

В качестве главных неизвестных возьмем x1; x2, тогда свободными будут x3; x4; x5. Выразим базисные переменные через свободные:

½ x2	=	¡9 ¡ 6x3	+ 7x4	¡ 4x5	:
x1	=	6 + 4x3	¡ 5x4	+ 2x5	;

19

Следовательно, общее решение можно записать в виде

0 x2		1	0	9 ¡ 6c1 + 7c2		¡ 4c3		1
B	x1	C	B	¡6 + 4c1	¡ 5c2		+ 2c3	C
	4				2
B	x	C	B		c			C
B x3		C	= B		c1			C	; c1; c2; c3 2 R:
B x5		C	B		c3			C
@		A	@					A

Если положить c1 = ¡2; c2 = ¡3; c3 = 0, то получим частное решение

0 x2		1	0	0	1
	x1			1
B x3		C	= B	¡3	C	:
B	4	C	B	¡	C
B	x	C	B		C
B x5		C	B	0	C
@		A	@		A

П р и м е р 5. Найти общее решение и ФСР для системы однородных

линейных уравнений
>	3x1 + 3x2 + x3 + 2x4 + 5x5 = 0;
<	6x1 + 5x2 + 3x3		+ 4x4 + 7x5 = 0;
8
>	9x1 + 7x2 + 5x3 + 6x4 + 9x5 = 0;
>
>	3x1 + 4x2 +			2x4 + 8x5 = 0:
Решение. Выпишем:	матрицу системы (расширенную матрицу не имеет
смысла выписывать, т.к. система однородная)							1
	A = 0	6	5	3	4	7
	B	3	3	1	2	5	C
		3	4	0	2	8
	B						C
	@	9	7	5	6	9	A

и с помощью метод Гаусса приведем ее к верхней трапециевидной матрице. Умножим 1-ю строку на (-2),(-3), (-1) и сложим соответственно со 2-й,

3-й, 4-й строками:	0	0	¡1	1	0	¡3	1	:
	B	3	3	1	2	5	C
		0	1	1	0	3
	B			¡			C
	@	0	¡2		0	¡6	A
				2

Умножим 2-ю строку на (-2),1 и сложим соответственно с 3-й, 4-й стро-

ками:	0	0	¡1	1	0	¡3	1	:
	B	3	3	1	2	5	C
		0	0	0	0	0
	B						C
	@	0	0	0	0	0	A

20