Методичка. Алгебра 2

Имеем rgA = 2 < n-числа неизвестных, то система имеет нетривиальное решение.

Найдем общее решение системы. Для простоты выделения базисных переменных вычтем из 1-й строки 2-ю:

0	0	¡1	1	0	¡3	1	:
B	3	4	0	2	8	C
	0	0	0	0	0
B						C
@	0	0	0	0	0	A

Исходная система эквивалентна следующей:

3x		+ 4x2 + 2x4 + 8x5	=	0;
½	1	¡x2 + x3 ¡ 3x5	=	0:

В качестве главных неизвестных возьмем x1; x3, тогда свободными будут x2; x4; x5. Выразим базисные переменные через свободные:

x1 = (4x2 + 2x4 + 8x5)=3;

½ x3 =

¡

x2 + 3x5:

Следовательно, общее решение можно записать в виде

0 x2

1

0

¡

(4c1

c1

+ 8c3)=3

1

B

x1

C

B

+ 2c2

C

4

2

B

x

C

B

c

+ 3c

C

B x3

C

= B

1

c

3

C

; c1; c2

; c3

2 R:

B x5

C

B

c3

C

@

A

@

A

Найдем ФСР, которая состоит из трех векторов e1; e2; e3, т.к. n¡rgA = 5¡2 = 3. Придадим свободным неизвестным значения c1 = 1; c2 = 0; c3 = 0,

получим	0	¡	1	1
e1	= B		4=3	C	:
			0
	B			C
	B		1	C
	B		0	C
	@			A
Полагая c1 = 0; c2 = 1; c3 = 0, получим				1
	0	¡	0
e2	= B		2=3	C	:
			1
	B			C
	B		0	C
	B		0	C
	@			A

21

И, наконец, считая c1 = 0; c2 = 0; c3 = 1, имеем

	0	¡	0	1
e3	= B		8=3	C	:
			0
	B			C
	B		3	C
	B		1	C
	@			A

Общее решение через ФСР можно записать теперь следующим образом

0 ¡1

1

0 ¡0

1

0 ¡0

1

B

4=3

C

B

2=3

C

B

8=3

C

B

1

C

B

0

C

B

3

C

x = ®1e1 + ®2e2 + ®3e3

= ®1

B

0

C

+ ®2

B

1

C

+ ®3

B

0

C

;

B

0

C

B

0

C

B

1

C

@

A

@

A

@

A

®1; ®2; ®3 2 R:

В качестве частного решения можно взять один из векторов ФСР. Полученное частное решение можно использовать для проверки правильности решения. Подставив в каждое из уравнений исходной системы значения частного решения, убеждаемся, что они обращаются в верные равенства.

22

4.2. Задание

1.Иследовать и решить систему с помощью метода Гаусса:

1)выяснить совместность системы;

2)указать ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы;

3)в случае совместной системы найти общее решение системы и, если множество решений бесконечно, то указать одно частное решение.

	8	3x1	+ 2x2
1:		2x1	+ 3x2
	>	9x1	+	x2
	>
	>
	>	2x	+ 2x
	<	1	+	2
	>	7x1		x2
	>
	>
	>
	:
	8	3x1	+ 4x2
2:		9x1	+ 8x2
	>	3x1	+ 8x2
	>
	<
	>	6x1	+ 6x2
	>
	:
	8	2x1	¡	x2
3:		6x1		3x2
	>	6x1	¡	3x2
	>
	<	4x1	¡
	>		¡ 2x2
	>
	:
	8	6x1	+ 4x2
4:		3x1	+ 2x2
	>	3x1	+ 2x2
	>
	<
	>	9x1	+ 6x2
	>
	:	1x1	+ 2x2
	>
5:	<	3x1	+ 6x2
	8
	>	x1	+ 2x2
	>
	:	2x1	+ 4x2
	>
	8	6x1	+ 3x2
6:		4x1	+ 2x2
	>	4x1	+ 2x2
	>
	<
	>	2x1	+	x2
	>
	:
	8	8x1	+ 6x2
		3x1	+ 3x2
	>
	>
	>
	>
	<
7: 4x1			+ 2x2
	>	3x1	+ 5x2
	>
	>
	:	7x1	+ 4x2
	>

+ 2x3 + 2x4	= 2;
+ 2x3 + 5x4	= 3;
+ 4x3 ¡ 5x4	=	1;
+ 3x3 + 4x4	=	5;

+ 6x3 ¡ x4 = 7:

+ 3x3 + 9x4 + 6x5 = 0;
+ 5x3 + 6x4 + 9x5 = 0;
+ 7x3 + 30x4 + 15x5 = 0;
+ 4x3 + 7x4 + 5x5 = 0:
+ x3 + 2x4 + 3x5	= 2;
+ 2x3 + 4x4 + 5x5	= 3;
+ 4x3 + 8x4 + 13x5	= 9;
+ x3 + x4 + 2x5	= 1:
+ 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1;
+ 4x3 + x4 + 2x5 = 3;

¡ 2x3 + x4				= ¡7;
+ x3 + 3x4 + 2x5				= 2:
+ 3x3 ¡ 2x4 + x5				= 4;
+ 5x3 ¡ 4x4 + 3x5				= 5;
+ 7x3 ¡ 4x4 + x5				= 11;
+ 2x3 ¡ 3x4 + 3x5				= 6:
+ 2x3 + 3x4 + 4x5				= 5;
+ x3 + 2x4 + 3x5				= 4;
+ 3x3 + 2x4 + x5				= 0;
+ 7x3 + 3x4 + 2x5				= 1:
+ 5x3 + 2x4 = 21;
+ 2x3 + x4	=	10;
+ 3x3 + x4	=		8;
+ x3 + x4	=	15;

+ 5x3 + 2x4 = 18:

23

8

2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 4;

8:

4x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5;

>

5x1 + 11x2 + 3x3 + 2x4 = 2;

>

>

>

2x

1

+ 5x

2

+ x + x = 1;

<

3

4

>

x1 ¡ 7x2 ¡ x3 + 2x4 = 7:

>

>

>

:

x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 3;

9:

8

x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2;

>

2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7;

>

>

>

3x

1

+ 7x + 7x + 2x

4

= 12;

<

2

3

>

5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20:

>

>

>

:

12x1 + 14x2

15x3 + 23x4 + 27x5 = 5;

10:

8

16x1 + 18x2

¡

22x3 + 29x4 + 37x5 = 8;

>

18x1 + 20x2

¡

21x3 + 32x4 + 41x5 = 9;

>

<

¡

>

10x1 + 12x2 ¡ 16x3 + 20x4 + 23x5 = 4:

>

:

10x1 + 14x2

15x3 + 23x4 + 27x5 = 5;

11:

8

16x1 + 18x2

¡

22x3 + 29x4 + 37x5

= 8;

>

x1 + x2

¡

x3 +

x5

= 2;

>

<

¡

>

18x1 + 20x2 ¡ 24x3 + 29x4 + 39x5 = 12:

>

:

12x2

16x3 + 25x4

= 29;

12:

8

27x1 + 24x2¡

39x3 + 47x4 = 55;

>

50x1 + 51x2

¡

68x3 + 95x4

= 115;

>

<

¡

>

31x1 + 21x2 ¡ 28x3 + 46x4 = 50:

>

:

24x1 + 14x2 + 30x3 + 40x4 + 41x5 = 28;

13:

8

36x1 + 21x2 + 45x3 + 61x4 + 62x5 = 43;

>

48x1 + 28x2 + 60x3 + 82x4 + 83x5 = 58;

>

<

>

60x1 + 35x2 + 75x3 + 99x4 + 102x5

= 69:

>

:

5x1

3x2 + 2x3 + 4x4 = 3;

14:

8

4x1

¡

2x2 + 3x3 + 7x4 = 1;

>

8x1

¡

6x2

x3

5x4 = 9;

>

<

¡

¡

¡

>

7x1 ¡ 3x2 + 7x3 + 17x4 = 0:

>

:

3x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 =

3;

15:

8

2x1 + 3x2 + 6x3 + 8x4 =

5;

>

x1

6x2

9x3

20x4 =

11;

>

<

¡

¡

¡

¡

2:

>

4x1 + x2 + 4x3 + x4 =

>

:

2x1

x2 + 3x3 + 4x4 = 5;

16:

8

4x1

¡

2x2 + 5x3 + 6x4 = 7;

>

6x1

¡

3x2 + 7x3 + 8x4 = 9;

>

<

¡

>

2x1 ¡ 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11:

>

:

24

>

2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3;

6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 7;

>

<

17: 8 4x1 + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 5;

>

x + x + x + x = 1;

>

8x1

+ 12x2 + 7x3

+ 8x4

= 9:

18:

8

17x1

+ 12x2

+ 3x3

7x4 = 15;

:

1

2

3

4

>

<

6x1

¡

3x2

¡

= 10;

>

+ 5x3 ¡ 9x4

>

x + 2x + 4x

3x = 0;

19:

>

12x1

¡ 10x2

¡ x3 + 3x4

= 6:

8

3x1 + 5x2 + 6x3

¡ 4x4 = 0;

:

1

2

3

¡

4

>

<

4x1 + 5x2

¡

2x3 + 3x4 = 0;

>

20:

>

3x1 + 8x2 + 24x3 ¡ 19x4 = 0:

8

6x1

+ 4x2

+ 3x3

+ 5x4

+ 7x5

= 0;

>

3x + 2x + x + 3x + 5x = 0;

>

9x1 + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 0;

:

1

2

3

4

5

>

<

>

3x1 + 2x2 +

4x4 + 8x5 = 0:

>

4x

1

¡

3x + x

3

¡

2x = 5;

:

2

4

>

¡x1 + x2

= ¡2;

21:

8

x3

>

2x1

¡

x2

¡

¡

2x4 =

1;

>

>

x

+ x

+ 2x

=

1;

>

>

1

3

4

<

¡

>

¡ x2 + x3 + 2x4

= 3:

>

16x + 6x + 22x

10x

4

= 14;

:

1

2

3

>

¡

22:

<

56x1 + 21x2 + 77x3

35x4 + 195x5

=

49;

8

¡

>

40x1 + 15x2 + 55x3

¡

25x4 + 213x5

=

35;

>

8x1 + 3x2 + 11x3 ¡ 5x4

= 7:

>

5x

1

¡

4x

2 ¡

x

3

¡

2x =

7;

:

4

>

¡5x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = ¡4;

23:

8

>

x1

¡

x2 + 2x3 + 4x4

=

¡

2;

>

¡

>

2x

x

x

2x

=

1;

>

1

¡

2 ¡

3

¡

<

4

>

¡3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = ¡3:

>

>

9x + 10x + 3x + 2x

4

= 3;

:

1

2

3

>

<

24:

8

9x1 + 9x2 + 3x3 + 2x4 = 1;

>

18x1 + 19x2 + 6x3 + 4x4 = 4;

:

1

¡

2

¡

3

4

¡

5

>

27x1

+ 29x2

+ 9x3 + 6x4

= 7:

>

17x

29x

36x + 2x

3x = 22;

>

>

4x + 5x + 6x

¡

>

= 2;

8

34x1

¡ 58x2

¡ 72x3

+ 4x4 ¡ 6x5 = 44;

25: >

x1 + 2x2 + 3x3

= 1;

>

1

2

3

¡

<

>

>

:

= ¡3:

> 7x1 + 8x2 + 9x3

25

	>	x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ¡ 5x5 = 1;
		x1 + x2 + x3						x4	=	¡2;
	>						¡
	<	2x1 + 3x2 +							= 1;
26: 8						x3 + 2x4 + 2x5
	>	8x1		4x2	+ 3x3		+ 6x4 + 8x5		=		5;
	:
	>	x1	¡ 2x2		¡			6x4	= 0:
	>		¡
27:	<	2x1		x2	+ 3x3		+ 7x4 + 11x5		=		8;
	8		¡
	>	4x1	¡	2x2 + 3x3 + 6x4 + 10x5 =							7;
	>	9x1	+ 6x2		+ 11x3 + 3x4 + 5x5				= 4;
	:
	>	4x1	¡ 2x2		+ x3		+ x4 + 2x5		=		1:
	>				¡						¡
28:	<								=
	8	6x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 + 5x5									4;
	>	3x1 + 2x2				2x3 + x4			=		¡7;
	>	4x1	+ 8x2		+ 8x3			6x4 + 4x5	=		9;
	:
	>	9x1	+ 6x2		+ x3 + 3x4 + 2x5				= 2:
	>						¡
29:	<	x1 + 2x2 + 3x3						2x4 + x5	=		4;
	8						¡
	>	x1 + 2x2 + 7x3					¡	4x4 + x5 = 11;
	>	3x1 + 6x2 + 9x3 ¡ 7x4 + 4x5 = 17:
	>
	:	6x1 + 9x2 + 4x3 + 6x4 = 8;
	>
	<
30:	8	10x1 + 15x2 + 8x3 + 10x4 = 12;
	>	6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 6;
	>

:	+ 6x2 + 3x3 + 4x4	= 5:
> 4x1

2. Найти общее решение и ФСР для системы однородных линейных уравнений.

1: 0 ¢ x1 + 0 ¢ x2 + 0 ¢ x3 + 0 ¢ x4 = 0:

2: 8 3x1

+ 13x2

+ 7x3

+ 2x4

+ 4x5

= 0;

<

x1

+

4x2

+ 2x3

¡ 3x5

= 0;

3x1 +

9x2 + 6x3

8x5

= 0:

3:

:

3x1 +

6x2 + 10x3¡+ 4x4

¡

2x5 = 0;

8

3x1 +

4x2 + 7x3 + 3x4

x5 = 0;

>

¡

>

3x1

¡

10x2

¡

14x3

¡

5x4

6x5 = 0;

<

¡

>

3x1 ¡ 2x2 ¡ 2x3 + 6x4 + 2x5 = 0:

>

:

2x1 + 3x2 + x3 + x4 ¡ 2x5 = 0;

4:

8

¡3x1 + 6x2 + 2x3 + 3x4 ¡ 2x5 = 0;

<

x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 = 0:

:

2x1 + 2x2 ¡ x3 ¡ x4 + 2x5 = 0;

5:

8

2x1 ¡ x2 + 2x3 ¡ 3x4 + x5 = 0;

<

x1 + 2x2 + 2x3

¡

x4

¡

x5 = 0:

:

¡

26

<

2x1 + x2 ¡ x3 ¡ 3x4 ¡ x5 = 0;

x1

+ + x3

¡ x4

¡ 2x5

= 0:

6:

8

3x1

+ x2 ¡ 2x3 + 2x4

¡ 3x5

= 0;

:

x1

3x2 + x3 ¡ 2x4 + 3x5 = 0;

7:

8

x1 ¡

5x2

¡

2x3 + x4

x5 = 0;

<

¡x1

¡

11x2

3x4 +¡5x5

= 0:

:

x1¡

3x2

¡ x3

x4

x5 = 0;

8: 8

2x1

+ 7x2

+ 2x3

+ 2x4

¡ 3x5 = 0;

<

¡

¡

¡

¡

¡3x1 + 2x2

4x3 ¡ 2x4 + x5 = 0:

:

4x1 + x2 +¡x3

+

4x4 + 3x5 = 0;

<

x1

+ 4x2

+ x3

x5

= 0:

9:

8

x1

+ x2

+

¡4x4 + 4x5

= 0;

:

8x2

¡

x3

¡

x4 + 2x5 = 0;

8

¡

10:

2x1 + 6x2

¡

2x3 + 4x4

¡

6x5 = 0;

<

¡2x1

2x2

3x3 + 3x4

4x5 = 0:

:

¡x1 +¡x2 +¡x3 + x4 +¡x5 = 0;

11:

8

2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ¡ x5 = 0;

:

5x1

+ 3x2

2x3

+ x4

2x5 = 0;

<

x1 + 2x2 + x3

+ 3x4

+ 2x5

= 0:

12:

8

55x1 + 33x2

¡

22x3 + 11x4

¡

22x5 = 0;

<

65x1 + 39x2

¡

26x3 + 13x4

¡

26x5 = 0:

:

¡

¡

x1 +

2x3 + x4

2x5

= 0;

13:

8

x1 ¡ x2 + 2x3 ¡ x4¡¡ 3x5 = 0;

<

2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 + 3x5 = 0:

:

2x1 + 6x2 ¡ 3x3 ¡ x4 ¡ 3x5 = 0;

14:

8

x1 + 4x2 + x3 + x4

¡

4x5 = 0;

<

¡x1

¡

3x2

¡

x3

¡

x4

x5 = 0:

:

¡

3x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4

= 0;

15:

8

3x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 + 4x5 = 0;

<

4x1 + 5x2 + 5x3 + 8x4 + 3x5 = 0:

:

x1 + 4x2 + x3 + x4

4x5

= 0;

16:

8

¡x1 + 9x2 ¡ 2x3 ¡

¡2x5

= 0;

:

4x1 + x2 + x3

4x4

+ 3x5

= 0;

<

¡2x1

+ 7x2

+ 2x3 + 2x4

¡ 3x5

= 0:

17:

8

x1 + x2 + 4x3

¡ 4x4

= 0;

<

x1 + 2x2 + 2x3

¡

x4

¡

x5 = 0:

:

¡

27

<

4x1 + 8x2 + 3x3 + 4x4

¡

x5

= 0;

2x1

+ 3x2

+ x3

+ x4

2x5

= 0:

18: 8

2x1

+ 4x2

+ x3

+ 2x4

¡

3x5

= 0;

:

¡

¡x1 + 2x2 ¡ 3x3 ¡ 4x4 ¡ 5x5 = 0;

19:

8

2x1 ¡ x2 ¡ 3x3 + x4 + x5 = 0;

<

4x1 + 3x2

9x3 ¡ 7x4 ¡ 9x5 = 0:

:

3x1

2x2

¡

x3 + 2x4

x5 = 0;

20: 8

5x1

+ x2

¡ x3 + x4

¡

3x5 = 0;

<

¡

¡

x1 + 5x2 + x3

3x4 ¡ x5 = 0:

:

¡2x1 ¡ 4x2 + x3

¡ 4x4

+ 2x5

= 0;

<

¡

¡

¡4x1

+ 8x2

¡ 2x3

¡ 2x4

+ x5

= 0:

21:

8

6x1

+ 12x2

3x3

+ 2x4

¡ x5

= 0;

:

¡ x1

¡

2x2

¡x3 + 5x4 + x5 = 0;

8

¡

22:

2x1 + 3x2 + 2x3 ¡ x4 ¡ 5x5 = 0;

<

¡ x1 + x2

+ x3 + 4x4

¡

4x5 = 0:

:

¡

x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0;

23:

8

3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 = 0;

:

x1

+ 2x2

+ x3

¡ 4x4

+ 5x5

= 0;

<

2x1

+ 2x2

¡ x3

+ 3x4

¡ 2x5

= 0:

24:

8

¡x1 +

x3 ¡ x4 + 2x5 = 0;

<

2x1 + x2 + x3 ¡ x4 + 2x5 = 0:

:

2x2 + 2x3

5x4 + 7x5

= 0;

25:

8

x1 + x2 + 2x3¡

2x4 + 4x5 = 0;

<

3x1 + 3x2 + 2x3

¡

5x4 + 7x5 = 0:

:

x1 + x2 + 2x3

¡ x4 + 2x5 = 0;

8

¡

26:

¡x1 ¡

x3 + x4 + 3x5 = 0;

<

2x1 + x2

x3 ¡ 2x4 ¡ x5 = 0:

:

x1 + 3x2 ¡

4x3 + x4

¡

x5 = 0;

27:

8

2x1 + 6x2

¡

5x3 + 2x4

x5 = 0;

<

4x1 + 9x2

¡

13x3 + 4x4

¡

3x5 = 0:

:

¡

¡

2x1

¡

x2 + 3x3 ¡ x4 + 2x5 = 0;

28:

8

6x1

3x2 + 3x3 + 4x4

x5 = 0;

<

4x1

¡

2x2 +

3x4

¡3x5 = 0:

:

x1

¡ x2 + x3

¡ x4

+ x5 = 0;

8

¡

¡

29:

3x1 + 3x2

4x3 + 5x4

¡

x5 = 0;

<

¡2x1 + 2x2

¡ 3x3 + 4x4

= 0:

:

¡

¡

28

	8	2x1	¡	x2 + x3	¡	4x4	¡	2x5	= 0;
30:		14x1		7x2 + 7x3		28x4		14x5	=	0;
	<	22x1	¡	11x2 + 11x3	¡	44x4	¡	22x5	=	0:
	:		¡		¡		¡

29

Список литературы

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.-

320 с.

2.Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.-320 с.

3.Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.- 384.

Учебное издание

Системы линейных уравнений

Методические указания

Составители: Гоголева Софья Юрьевна Прокофьев Леонтий Николаевич

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева.

443086 Самара, Московское шоссе, 34.

30