Глава 4. ГИДРОДИНАМИКА

4.1.Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера

Впотоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку с координатами x, y, z и выделим элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям

исоответственно равны dx, dy, dz. Составим уравнения движения

выделенного элемента жидкости, масса которого равна ρdxdydz в проекции на оси координат. При этом используем принцип Д’Аламбера: силы, действующие на элемент жидкости в каждый момент времени, уравновешиваются силами инерции.

Рис. 4.1. Элементарный объем

На элемент жидкости действуют массовые и поверхностные силы. Положительное направление сил совпадает с положительным направлением осей координат. На выделенный элементарный объем жидкости действует результирующая массовая сила, составляющие напряжения которой равны X, Y, Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направления координатных осей, будут соответственно равны: Xρdxdydz; Yρdxdydz; Zρdxdydz. Из поверхностных сил, которые заменяет собой действие окружающей среды на выделенный элемент, нужно учитывать только

50

нормальные силы давления, так как жидкость идеальная. При вычислении сил давления, действующих на отдельные грани параллелепипеда, следует иметь в виду, что давления по трем взаимно ортогональным бесконечно малым площадкам, проходящим через одну и ту же точку М, равны p1 = p2 = p3 = p. Тогда на противоположные грани действуют давления, отличающиеся на величину приращения давления вдоль соответствующей координатной оси. Так, например, поскольку

ð2 = ð + ∂∂ðx dx ,

тогда разность сил давления на левую и правую грань (вдоль оси Ox) равна

( ð1 − ð2 )dzdy = − ∂∂ðx dxdzdy .

Аналогично находим результирующие силы давления на оси y и z. Они будут соответственно равны

− ∂∂ðy dydzdx ; − ∂∂ðz dzdydx .

Скорость движения жидкости c = f(x, y, z, t) в точке М и ее компоненты cx, cy, cz изменяются с изменением координат и времени. Тогда проекции ускорения выделенного объема жидкости рав-

ны dcx , dcy , dcz , а силы инерции определятся как произведения dt dt dt

этих ускорений на массу параллелепипеда:

dcdtx ρdxdydz; dcdty ρdxdydz; dcdtz ρdxdydz .

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде:

ρdxdydz dcdtx = X ρdxdydz − dðdx dxdydz ;

51

ρdxdydz dcdty = Y ρdxdydz − dðdy dydzdx ;

ρdxdydz dcdtz = Z ρdxdydz − dðdz dzdxdy .

Разделив эти уравнения почленно на массу элемента ρdxdydz , получим уравнения движения жидкости, отнесенные к

единице массы:

dcx	= X −	1 dP ;
dt		ρ	dx

	dcy	= Y −	1 dP		;	(4.1)
	dt		ρ dy
	dcz	= Z −	1 dP .
	dt		ρ	dz

Полученная система дифференциальных уравнений носит название уравнений движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения. Смысл каждого из уравнений заключается в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления. Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, то есть газа, а также для случая установившегося движения. Уравнения движения в форме Эйлера недостаточны для решения гидродинамических задач, так как число уравнений три, а число неизвестных – пять (cx, cy, cz, p, ρ). К этим уравнениям необходимо добавить уравнение неразрывности движения

1 d ρ		∂c	x		∂cy		∂c	z		(4.2)
ρ dt +		∂x		+ ∂y +			∂z		= 0

и так называемое характеристическое уравнение, которое устанавливает зависимость между плотностью жидкости, давлением и

52

температурой: ρ = f(p, T) для случая несжимаемой жидкости ρ = const.

Для случая газообразной идеальной жидкости характеристическим уравнением является уравнение: ρ = ð gRT .

Для некоторых случаев движения предполагают, что плотность рассматриваемой среды зависит только от давленая и не зависит от температуры ρ = f(p), такая среда называется баротропной.

Граничные и начальные условия

При решении конкретных задач гидрогазодинамики приходится интегрировать дифференциальные уравнения движения (4.1). Этим уравнениям удовлетворяет бесчисленное множество искомых функций c = f(x, y, z, t) и постоянных интегрирования. Чтобы выбрать из них те, которые соответствуют конкретной задаче, необходимо знать начальные и граничные условия.

Начальные условия заключаются в том, что задается состояние движения, т.е. поле скоростей и давлений, в начальный момент времени t = t0. Начальные условия имеют значение лишь при решении задач, относящихся к неустановившемуся движению.

Граничные условия могут быть весьма разнообразными и необходимы при решении задач с установившимся и неустановившимся движением. Граничные условия делятся на кинематические и динамические.

Кинематические граничные условия сводятся к заданию скорости (по величине или направлению) или ее производных на внешней границе рассматриваемого объема жидкости.

Динамические граничные условия сводятся к заданию давлений на внешней границе рассматриваемого движущегося объема жидкости (газа). В частности, если жидкость имеет свободную поверхность раздела в атмосфере, то во всех точках свободной поверхности давление должно равняться атмосферному. Это условие служит для определения формы свободной поверхности жидкости.

53

4.2.Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости

вформе Навье–Стокса

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости значительно сложнее уравнений движения идеальной жидкости, так как влияние вязкости сказывается не только в появлении касательных напряжении, но и в изменении величины нормального давления. Для их составления выделим в прямоугольной системе координат в потоке жидкости у точки M(x, y, z) элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин.

Рис. 4.2. Элементарный объем

Выражения для массы элемента, проекций его ускорения на оси координат, проекций объемных сил запишутся здесь так же, как и при выводе уравнений движения идеальной жидкости в форме Эйлера (см. рис. 4.2). Отличие будет только в выражениях для поверхностных сих. В случае вязкой жидкости на грани параллелепипеда будут действовать не только нормальные напряжения давления px, py, pz, но и касательные, потому что поверхностные силы в вязкой жидкости не ортогональны к рассматриваемой поверхности. В уравнения движения вязкой жидкости, помимо ускорений, учитываемых при движении идеальной жидкости, должны войти

54

еще и ускорения от сил трения. Посмотрим сначала, как следует учитывать ускорения от сил трения при плоскопараллельном движении жидкости вдоль оси x с градиентом скорости только в направлении оси y.

Согласно гипотезе Ньютона, при слоистом (ламинарном) течении жидкости сила трения между ее слоями равна

Fò ð = −μS dydc .

Напряжение трения

τ =	Fò ð	dc	.
	S	= −μ dy

При наличии градиента скорости вдоль оси y силы трения на верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда действуют в противоположных направлениях. Сила трения на нижней грани элемента определяется как

dFò ð.í = −τ xdS = −τ xdxdz ;

на верхней грани элемента, где напряжение трения τ x получило

приращение ∂τ x dy , она равна

∂y

dF	=	τ	x	+	∂τ x	dy	dxdz .
ò ð.â					∂y

Равнодействующая силы трения, действующая на жидкий элемент в направлении оси x, будет определяться разностью сил, действующих на нижнюю и верхнюю грани элемента:

d (Fò ð ) = dFò ð.â − dFò ð.í = −	∂τ x		dxdydz .
x	∂y
Так как согласно гипотезе Ньютона τ		= μ dcx		и	∂τ x	= μ	∂2cx ,
	x		dy		∂y		∂y2

то

55

d (F	)	x	= μ	∂2cx dxdydz .
ò ð				∂y	2

Соответствующее ускорение, т.е. силу трения, приходящуюся на единицу массы элемента dm = ρdxdydz , можно выразить как

d (Fò ð )	x	=	μ ∂2c	x	=ν	∂2c	x .
dm			ρ ∂y2			∂y2

В трехмерном потоке, когда градиенты скорости могут существовать в направлении всех трех координатных осей, ускорение от сил трения в проекциях на оси x, y, z, выражается следующим образом:

d (Fò ð )

x

2

2

2

=ν

∂

c2x +

∂

c2x +

∂

c2x

;

dm

∂x

∂y

∂z

d (Fò ð )

y

∂2c

y

∂2c

y

∂2c

y

=ν

+

+

;

2

2

2

dm

∂x

∂y

∂z

d (Fò ð )

z

2

2

2

=ν

∂

c2z +

∂

c2z +

∂

c2z .

dm

∂x

∂y

∂z

Эти проекции ускорений от сил трения следует ввести в дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости помимо ускорений, действующих на частицу идеальной жидкости. Тогда дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости запишутся в виде:

dcx		= X −		1 dð				∂2cx
							+ν		2
dt				ρ dx				∂x
dcy		= Y −	1 dð					∂2cy
							+ν
									2
dt			ρ dy					∂x
dcz		= Z −		1 dð				∂2cz
							+ν		2
dt				ρ dz				∂x

+∂2cx ∂y2

+∂2cy ∂y2

+∂2cz ∂y2

+∂2cx ,

∂z2

+	∂2c				,	(4.3)
			y
	∂z	2

+∂2cz .

∂z2

56