- •Тема 4. Средние величины
- •4. 1. Содержание задания и требования к нему
- •4.2. Методические указания к выполнению задания по теме 4
- •Заработная плата рабочих цеха
- •Пример расчета средней арифметической взвешенной в дискретном вариационном ряду
- •Пример расчета средней арифметической способом моментов
- •Пример расчета средней гармонической взвешенной
- •Пример расчета средней квадратической взвешенной
- •Пример расчета средней геометрической
4.2. Методические указания к выполнению задания по теме 4
Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика уровня варьирующего признака по однородной совокупности. Средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения.
В зависимости от характера изучаемых явлений, от конкретных задач и целей статистического исследования применяются четыре вида средних:
– арифметическая;
– гармоническая;
– геометрическая;
– квадратическая.
Наиболее широкое применение и, следовательно, распространение имеет средняя арифметическая.
Средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Средняя арифметическая простая равна сумме произведений значений признака, деленной на их количество.
,
где – значение признака у i-ой единицы совокупности; – число единиц наблюдения в исследуемой совокупности.
Пример. По данным табл. 4.1 определить среднюю заработную плату рабочего бригады.
Т а б л и ц а 4.1
Заработная плата рабочих цеха
-
Рабочие
Месячная заработная плата (руб.)
1
15360
2
16840
3
16500
4
16840
5
16500
6
16840
ИТОГО:
98880
Для этого просуммируем зарплату всех рабочих (значение признака) и разделим на количество рабочих (число значений признака):
руб.
Если одно и то же значение признака встречается несколько раз, то рассчитывается средняя арифметическая взвешенная по формуле:
,
где – частота, т. е. число случаев возникновения i-го значения признака.
Пример. По исходным данным, приведенным в табл. 4.1, построим вариационный ряд (см. табл. 4.2).
Т а б л и ц а 4.2
Пример расчета средней арифметической взвешенной в дискретном вариационном ряду
Месячная заработная плата (), руб. |
Число рабочих () |
|
15360 |
1 |
15360 |
16500 |
2 |
33000 |
16840 |
3 |
50520 |
ИТОГО |
6 |
98880 |
руб.
Средняя арифметическая обладает рядом свойств [2], позволяющих во многих случаях упростить ее расчет. Одним из таких упрощенных методов расчета является способ моментов:
,
где – значение признака имеющего максимальную частоту (условная средняя); – величины отклонения среднеарифметической от условной средней, которая определяется по формуле:
.
Пример. По исходным данным, приведенным в табл. 4.1, построим таблицу для вычисления средней арифметической методом моментов (табл. 4.3).
Т а б л и ц а 4.3
Пример расчета средней арифметической способом моментов
-
Месячная заработная плата (), руб.
Число рабочих ()
15360
1
–1480
–1480
16500
2
–340
–680
16840
3
0
0
ИТОГО
6
–2160
руб.
Средняя гармоническая простая вычисляется в случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, т.е. когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:
Средняя гармоническая простая рассчитывается по следующей формуле:
В тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной:
.
Пример. По данным табл. 4.4 определить среднюю трудоемкость.
Т а б л и ц а 4.4