- •ВВЕДЕНИЕ
- •Теория
- •1. Свободные колебания в линейной рекурсивной системе первого порядка
- •2. Свободные колебания в нелинейной системе
- •Характеристика сумматора с насыщением
- •Пилообразная характеристика сумматора
- •Содержание лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №2
- •Теория
- •1. Линейная система
- •2. Нелинейная система
- •Содержание лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №3
- •Теория
- •1. Исходные положения
- •Содержание лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •1. Исходные положения
- •2. Затухающие колебания
- •3. Свободные колебания с периодом Т = 1
- •4. Свободные колебания с периодом Т = 2
- •5. Свободные колебания с периодами Т = 1 или Т = 2
- •6. Свободные колебания с периодом Т = 4
- •7. Сложные свободные периодические колебания
- •8. Бифуркационная диаграмма периодов колебаний
- •Содержание лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •1. Исходные положения
- •2. Затухающие колебания
- •3. Свободные колебания с периодом T=1
- •4. Свободные колебания с периодом T=2
- •5. Свободные колебания с периодом T=3
- •Содержание лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Теория
- •1. Исходные положения
- •2. Свободные колебания
- •3. Колебания при постоянном входном воздействии
- •Содержание лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •СОДЕРЖАНИЕ
- •Учебное пособие
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
M |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
1 |
A |
I |
|
|
|
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y1 |
|
|
|
|
N |
|
III |
C |
-1 |
B |
II |
|
|
|
||||
|
|
-2 |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
1 |
|
-2 |
|
|
0 |
|
b1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
3. Свободные колебания с периодом Т = 1 |
|
1. Пусть b1 =1, b2 =12 . Уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид y2 = −12 y1 1. Расположение областей I–III на плоскости (y1, y2 ) изображено на рис. 6 а.
69
|
|
y2 |
|
|
|
|
P |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
1 |
A |
III |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y1 |
|
|
|
|
|
G |
I |
C |
-1 |
B |
II |
|
|
|
||||
|
|
-2 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
b1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
|
|
|
При старте из точек |
A или C , |
в силу уравнений движения в |
|||
этих областях (5) или (3) соответственно, система сохраняет |
|||||
начальное состояние и на выходе ее имеем колебания с периодом T=1 |
|||||
и мгновенными значениями соответственно +1 или -1, которые будем |
70
обозначать T =1(1) или T =1(−1) соответственно. При старте из
точек, принадлежащих областям III или I, изображающая точка переходит в точку A или C соответственно не позднее, чем на втором шаге.
Поскольку коэффициенты b1 , b2 выбраны за пределами
треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III.
Последующий процесс описан выше. Следовательно, динамическая |
|||||
система имеет 2 суперустойчивых состояния равновесия в точках A |
|||||
илиC , а на выходе ее в установившемся режиме существуют |
|||||
колебания с |
периодом |
T = 1 вида |
T =1(1) |
или |
T =1(−1) |
соответственно. |
|
|
|
|
(b1 , b2 ), |
Определим |
область |
значений |
параметров |
||
соответствующую данному расположению областей I–III на |
|||||
плоскости (y1, y2 ). Для точки A имеем |
|
|
|
||
т.е. |
|
b1 +b2 ≥1, |
|
|
|
|
b2 ≥ −b1 +1, |
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
а для точки B выполняются условия (7). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 6 б.
2. Пусть b1 = 32, b2 = 0 . В этом случае уравнения прямых MN и PG имеют вид соответственно y2 = 23. Расположение областей I–III на плоскости (y1 , y2 ) изображено на рис. 7 а.
При таком разбиении плоскости состояний закономерности движений изображающей точки совпадают с приведенными в п. 1. Следовательно, динамическая система имеет 2 суперустойчивых состояния равновесия в точках A или C , а на выходе ее в установившемся режиме существуют колебания с периодом T = 1вида T =1(1) или T =1(−1) соответственно.
Определим область значений параметров (b1 , b2 ),
соответствующую данному расположению областей I-III на плоскости (y1 , y2 ). Для точки A выполняется условие (10), а для точки B –
условие (8). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 7б.
71
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
2 |
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P |
1 |
A |
G |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
- |
|
2 |
-1 |
0 |
1 |
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M |
C |
-1 |
B |
N |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I
-2
а)
b2
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1
б)
Рис. 7
4.Свободные колебания с периодом Т = 2
1.Пусть b1 = −1, b2 =12 . В этом случае уравнения прямых MN
и PG имеют соответственно вид y2 =12 y1 ±1. Расположение
областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 8а. Пусть изображающая точка стартует из точки B , тогда
y1 (0)=1y2 (0)= −1.
72
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
D |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
G |
-2 |
|
-1 |
0 |
1 |
|
2 |
y1 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
C |
-1 |
B |
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
1 |
|
b1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
Поскольку эта точка принадлежит области III, согласно (5) получим |
73
y1 (1)= y2 (0)= −1y2 (1)=1.
Изображающая точка переместилась в принадлежащую области I точку D . Далее на основании (3) получим
y1 (2)= y2 (1)=1y2 (2)= −1.
Следовательно, изображающая точка снова оказалась в точке B . Далее процесс повторяется. Это колебательный процесс с периодом T = 2 вида → B → D →.
При старте из других точек, принадлежащих областям I или III, изображающая точка переходит в точку B или D не позднее, чем на втором шаге. Поскольку коэффициенты b1 , b2 выбраны за пределами
треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III. Последующий процесс описан выше. Таким образом, при выбранных коэффициентах b1 , b2 динамический режим характеризуется двумя
суперустойчивыми инвариантными точками B и D . На выходе системы после окончания переходных процессов имеем колебания с периодом T = 2 вида →1 → −1 →.
Определим область значений параметров
соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A выполняются условия (6), а для точки B имеем
−b1 +b2 ≥1, |
|
т.е. |
|
b2 ≥ b1 +1. |
(11) |
Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная |
область на |
рис. 8б. |
|
2.Пусть b1 = −32, b2 = 0 . В этом случае уравнения прямых MN
иPG соответственно имеют вид y2 = ±23. Расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 9а.
74
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
D |
I |
|
|
|
|
|
M |
1 |
A |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
P |
C |
-1 |
B |
|
G |
|
|
|
III |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-2 |
-1 |
|
0 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
При |
таком |
разбиении |
плоскости |
(y1, |
y2 ) |
закономерности |
движений изображающей точки совпадают с приведенными в п. 1. Следовательно, динамический режим характеризуется двумя
75