- •(Алина) Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства).
- •(Карина) Интегрирование по частям и замена переменной.
- •(Геля) Интегрирование рациональных функций.
- •(Алина) Интегрирование иррациональных функций , биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
- •(Карина) Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
- •(Геля) Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Суммы Дарбу и их свойства.
- •(Карина) Критерий интегрируемости по Риману.
- •(Геля) Достаточные условия интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Свойства интеграла Римана.
- •(Карина) Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •(Карина) Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).
- •(Геля) Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •(Алина) Открытые и замкнутые множества в Rn.
- •(Карина) Предел функции.
- •(Геля) Повторные пределы.
- •(Алина) Непрерывность функции в точке.
- •(Карина) Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
- •(Геля) Компактность и теорема Вейерштрасса.
- •(Алина) Равномерная непрерывность.
- •(Карина) Частные производные, дифференцируемость, дифференциал.
- •(Геля) Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.
- •(Алина) Производная сложной функции.
- •(Карина) Производная по направлению и градиент.
- •(Геля) Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •(Алина) Дифференциалы высших порядков.
- •(Карина) Формула Тейлора.
- •(Геля) Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).
- •(Алина) Неявные функции, теорема об обратной функции.
- •(Карина) Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
Вопросы, выделенные курсивом, готовить без доказательств!!!
(Алина) Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства).
Пусть имеется функция 𝑓, определена на промежутке <а,𝑏>
Опр: дифференцируемая на <а,𝑏> функция 𝐹(𝑥) называется первообразной функции 𝑓(𝑥), если 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥).
Теорема 1:
1) Если функция 𝐹(𝑥) – первообразная для 𝑓(𝑥), то функция 𝐹(𝑥)+С – первообразная для 𝑓(𝑥)
2) Любые две первообразные одной функции отличаются на 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Док-во:
1) (𝐹(𝑥)+С)′= 𝑓(𝑥)
2) Пусть функции 𝐹1,𝐹2 – первообразные для функции 𝑓
Рассмотрим функцию 𝜑(𝑥)=𝐹1(𝑥)−𝐹2(𝑥)
𝜑′(𝑥)=𝐹1′(𝑥)−𝐹2′(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)=0 (для всех точек <а,𝑏>)
Пусть 𝑥1,𝑥2 ∈ <а,𝑏> (𝑥1<𝑥2 )
𝜑(𝑥2)−𝜑(𝑥1)=(по т.Лагранжа) 𝜑′(с)∗(𝑥2− 𝑥1)=0 с∈(𝑥1,𝑥2) ⇒ 𝜑(𝑥1)=𝜑(𝑥2) ⇒ 𝜑(𝑥)≡𝐶
⇒𝐹1(𝑥)=𝐹2(𝑥)+𝐶 ч.т.д.
Опр: Множество всех первообразных функции 𝑓 на <а,𝑏> называется неопределённым интегралом от функции 𝑓(𝑥) и обозначается ∫𝑓(𝑥) 𝑑(𝑥) (интеграл от 𝑓 от 𝑥 𝑑(𝑥))
Таким образом ∫𝑓(𝑥) 𝑑(𝑥)= 𝐹(𝑥)+С, С− произвольная постоянная, 𝑑(𝑥) – указывает по какой переменной берётся интеграл
(Карина) Интегрирование по частям и замена переменной.
Интегрирование по частям:
Теорема 1: Пусть функции дифференцируемы на , а функции имеется первообразная на этом промежутке. Тогда (формула интегрирования по частям)
Док – во:
(
ч.т.д
Замечание: Перепишем Т1 в виде: (правило интегрирования по частям)
Замена переменной:
Теорема 1: Пусть 1) функция имеет первообразную на
2) функция определена и дифференцируема на и (при чём, если подействуем функцией фи на промежуток (найдем образ под действием функции ), то этот образ обязан содержаться на промежутке , тогда
Док – во: Пусть – первообразная для функции , то есть
Рассмотрим сложную функцию ( – первообразная для функции . Ч.т.д.
Пример:
Замена: пусть
(Геля) Интегрирование рациональных функций.
Опр: Функция 𝑓(𝑥) называется интегрируемой в элементарных функциях, если её первообразная является элементарной функцией. Рациональная функция- функция равная, отношению двух многочленов
𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) интегрируема в элементарных функциях
𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥)-правильная дробь(т.е. числитель меньше знаменателя)
Всякая правильная дробь может быть представлена в виде простейших дробей.
К простейшим относятся дроби вида:
В 3 и 4 знаменатели не имеют корней
Вычисление 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥)dx сводиться к вычислению интегралов от функций 1-4
𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥)−неправильная дробь
𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥)=М(х)−остаток+𝑅(𝑥)/𝑄(𝑥) обе части интегрируются в элементарных функциях=> сама дробь будет интегрироваться в элементарных функциях
(Алина) Интегрирование иррациональных функций , биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
Идея: с помощью замены привести подынтегральную функцию к рациональной.
1. , где R(x,y) – рациональная функция,
Теорема 1: – вычисляется в элементарных функциях
Док – во:
Замена:
– рациональная функция
– рациональная функция
Интегрируема в элементарных функциях ч.т.д.
2. Биномиальный дифференциал (дифференциальный бином)
– вещественные
– рациональные
Теорема 2: Если выполняется одно из трёх условий:
1) – степень – целое число
2) – целое число
3) – целое число,
То вычисляется в элементарных функциях
Док – во:
Замена: об.:
=
Функция из 1) замена
2)
По 1) замена:
3)
По 1) замена:
ч.т.д.
Замечание 1: П.Л.Чебышёв доказал, что в других случаях биномиальный дифференциал не интегрируется в элементарных функциях (без доказательств)
Замечание 2: Из доказательства теоремы 2 следует
Замена: – знаменатель дроби , то есть дроби
2)
Замена: d – знаменатель дроби p
3)
Замена: – знаменатель дроби p
3. Подстановка Эйлера
(не имеет одинаковых корней)
Теорема: Если не выполняется хотя бы одно из условий: 1) 2) 3) , имеет два различных корня, то (1) будет вычисляться в элементарных функциях
Док – во: 1)
Замена: (знаки можно выбирать любые)
x=x (t) рац.
Интеграл от рациональной функции (1) вычисляется в элементарных функциях
2)
Замена:
Интеграл от рациональной функции (1) вычисляется в элементарных функциях
3)
– разные
Замена:
Интеграл от рациональной функции (1) вычисляется в элементарных функциях