- •(Алина) Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства).
- •(Карина) Интегрирование по частям и замена переменной.
- •(Геля) Интегрирование рациональных функций.
- •(Алина) Интегрирование иррациональных функций , биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
- •(Карина) Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
- •(Геля) Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Суммы Дарбу и их свойства.
- •(Карина) Критерий интегрируемости по Риману.
- •(Геля) Достаточные условия интегрируемости по Риману.
- •(Алина) Свойства интеграла Римана.
- •(Карина) Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •(Карина) Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).
- •(Геля) Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •(Алина) Открытые и замкнутые множества в Rn.
- •(Карина) Предел функции.
- •(Геля) Повторные пределы.
- •(Алина) Непрерывность функции в точке.
- •(Карина) Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
- •(Геля) Компактность и теорема Вейерштрасса.
- •(Алина) Равномерная непрерывность.
- •(Карина) Частные производные, дифференцируемость, дифференциал.
- •(Геля) Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.
- •(Алина) Производная сложной функции.
- •(Карина) Производная по направлению и градиент.
- •(Геля) Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •(Алина) Дифференциалы высших порядков.
- •(Карина) Формула Тейлора.
- •(Геля) Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).
- •(Алина) Неявные функции, теорема об обратной функции.
- •(Карина) Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
(Карина) Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
f( , …, ) определена в D
При этом m<n
Возьмем (.) x0 = ( D, удовлетворяющую (1)
Определение: x0 - (.) условного максимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
x0 - (.) условного минимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
Метод множителей Лагранжа
Функция L(x, ) = f(x) + - функция Лагранжа
x = (x1, …, xn)
= ( , …, ) - множители Лагранжа
Теорема 1: необходимое условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет условиям:
непрерывна в D
имеют непрерывные частные производные в D
0 в D, (Якобиан; берем последние n “иксов”)
x0 - (.) условного экстремума функции f
Тогда набор , …, ), так что все частные производные
= 0 (2)
Теорема 2: достаточное условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет тем же условиям, что и в первой теореме и они являются дважды непрерывно-дифференцируемы в U(x0), x0 удовлетворяет условию (2)
Если d2L(x0, ) > 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного минимума
Если d2L(x0, ) < 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного максимума
f( , …, ) определена в D
При этом m<n
Возьмем (.) x0 = ( D, удовлетворяющую (1)
Определение: x0 - (.) условного максимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
x0 - (.) условного минимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
Метод множителей Лагранжа
Функция L(x, ) = f(x) + - функция Лагранжа
x = (x1, …, xn)
= ( , …, ) - множители Лагранжа
Теорема 1: необходимое условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет условиям:
непрерывна в D
имеют непрерывные частные производные в D
0 в D, (Якобиан; берем последние n “иксов”)
x0 - (.) условного экстремума функции f
Тогда набор , …, ), так что все частные производные
= 0 (2)
Теорема 2: достаточное условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет тем же условиям, что и в первой теореме и они являются дважды непрерывно-дифференцируемы в U(x0), x0 удовлетворяет условию (2)
Если d2L(x0, ) > 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного минимума
Если d2L(x0, ) < 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного максимума