алг 1.2. Обратная матрица
.docxОбратная матрица
Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если
.
Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда
Обратная матрица может быть найдена по формуле = ,
где - присоединенная матрица:
= , т.е. матрица, элементы которой есть алгебраические дополнения элементов матрицы, транспонированной к А.
Пример: Найти обратную матрицу для матрицы
Последовательность действий удобно разложить по пунктам.
Сначала находим определитель матрицы.
В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.
Находим - присоединенную матрицу, составленную из алгебраических дополнений А, (алгебраические дополнения строк записываются в столбцы ).
Имеем
Вспоминаем формулу = Таким образом, обратная матрица:
Проверка:
Получена единичная матрица .
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Пример: Найдем матрицу, обратную к данной матрице А= .
5, 0, -10,
5, 3, -8,
-5, -1, 11.
, = = .
Свойства обратной матрицы:
1) , 2) , 3) , 4) , 5) .
Матричные уравнения.
Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.
Простейшие уравнения имеют вид:
либо , где – известные матрицы.
.
Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):
Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.
, поэтому:
Имеем
.
Умножаем обе части уравнения на справа:
, получаем:
Пример: Решить матричное уравнение, выполнить проверку
Уравнение уже имеет вид
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы мы не знаем. Придётся её найти. Обратную матрицу найдем по формуле =
Таким образом, обратная матрица:
На финише проводим матричное умножение и получаем решение:
Ответ:
Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применяется для решения систем линейных уравнений, в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.
Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида где x1, x2, …, xn – неизвестные переменные, ai j , i = 1, 2, …, n,
j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b1, b2, …, bn - свободные члены.
В матричной форме система имеет вид АХ=В, где
А= ; Х= ; В= .
Матричный метод решения системы линейных уравнений:
Если система квадратная и , то система имеет единственное решение .
Пример: Решим систему линейных уравнений
матричным методом
А= ; Х= ; В= .
= =-2;
-11, -13, -19,
-8, -10, -14,
7, 9, 13.
;
= = ,
т.е.
Ответ: ( 5, 6, 10 )
Дома: № 862, 864