2.3. Признак Коши

Теорема 3.1 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд

∞

∑an , an

> 0, n =1, 2, .

(3.1)

n=1

Если существует конечный предел lim n

= ρ , то

an

n→∞

1. при 0 ≤ ρ <1 ряд сходится;

2. при ρ >1 ряд расходится.

▲ 1. Пусть 0 ≤ ρ <1. Так как существует

предел

lim n

= ρ , то для любого

ε > 0

an

n→∞

найдется такой номер N, начиная с которого будет выполняться неравенство

− ρ

<ε или ρ −ε < n

< ρ +ε .

n

an

an

Выберем ε так, чтобы ρ +ε <1. Обозначим ρ +ε = q , тогда q <1. Из двойного нера-

венства следует, что nan < q, an < qn (q <1, n ≥ N) .

Итак, все члены ряда, начиная с aN +1 , меньше соответствующих членов сходящегося

∞			∞
ряда ∑qn . По признаку сравнения ряд			∑an	сходится, а значит, сходится и ряд (3.1).
n=1			n=N +1
2. Пусть ρ >1. Выберем ε > 0 так, чтобы ρ −ε >1, тогда q = ρ −ε >1. Из двойного не-
равенства следует, что q < n		, qn < an	(q >1,	n ≥ N) .
	an

В этом случае an	>1.	Следовательно, lim an ≠ 0 и ряд расходится (не выполняется не-
		n→∞

обходимый признак сходимости ряда).

Замечание. Если ρ =1, то ряд (3.1) может, как сходиться, так и расходиться. ▼

Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд ∑∞ 1 n . n=1 (ln n)

▲ Имеем

a

=

1

, n

=

1

; lim n

= lim

1

= 0 <1.

n

a

n

a

n

(ln n)n

ln n

n→∞

n→∞ ln n

Ряд сходится. ▲

Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд ∑∞ 1 n +1 n2 .

n=1 2n n

▲ Здесь

1

n +1

n2

1

n +

1 n

a

n

=

, n

a

n

=

;

2n

n

2

n

1 n +1 n

1

1

n

e

lim n an

= lim

2

=

lim 1

+

=

>1.

n

n

2

n→∞

n→∞

2 n→∞

Ряд расходится. ▼

2.4. Интегральный признак сходимости ряда

Приведем признак сходимости рядов, основанный на сравнении рядов с несобственными интегралами. Введем следующее понятие. Функция f, определенная на промежутке

16

∞

[1; +∞], называется производящей функцией ряда

∑an , если ее значения в целых точках

n=1

совпадают с соответствующими членами ряда, т. е.

f (n) = an (n =1, 2, ) .

Например, функция

x является производящей для гармонического ряда

1

1+

1

+

1

+ +

1

+ .

2

3

n

∞

Теорема 4.1 (интегральный признак Коши). Пусть положительный ряд ∑an

имеет не-

n=1

прерывную, положительную и убывающую производящую функцию f (x) на луче x ≥1.

Тогда:

∞

∞

1.

числовой ряд ∑an =

∑ f (n) сходится, если сходится несобственный интеграл

n=1

n=1

+∞∫ f (x)dx ;

(4.1)

1

∞

2.

ряд ∑ f (n) расходится, если расходится несобственный интеграл (4.1).

n=1

▲Рассмотрим ряд

∫2

f (x)dx + ∫3

f (x)dx + +n∫+1 f (x)dx + .

(4.2)

1

2

n

его n-й частичной суммой будет

Sn = ∫2

f (x)dx + ∫3

f (x)dx + +n∫+1 f (x)dx = n∫+1 f (x)dx .

(4.3)

1

2

n

1

Сходимость ряда (4.2) означает существование предела последовательности его ча-

стичных сумм (4.3), т. е. сходимость несобственного интеграла ∞∫ f (x)dx , поскольку

1

n+1

∞

lim

S

n

= lim

∫

f (x)dx

=

∫

f (x)dx .

n→∞

n→∞

1

1

В силу монотонности функции

f (x)

на любом отрезке [n; n +1]

f (n) ≥ f (x) ≥ f (n +1)

или, учитывая

f (n) = an , , an ≥ f (x) ≥ an+1 .

(4.4)

f (1) = a1, f (2) = a2 , ,

n

+1

n+1

n+1

Интегрируя (4.4) на отрезке [n; n +1], получим

∫an dx ≥ ∫ f (x)dx ≥

∫an+1dx , откуда

n

n

n

an ≥ n∫+1 f (x)dx ≥ an+1 .

(4.5)

n

∞
Если ряд ∑an	сходится, то по признаку сравнения рядов в силу левого неравенства
n=1

(4.5) должен сходиться ряд (4.2), а значит и несобственный интеграл ∞∫ f (x)dx . Обратно, если

1

сходится ∞∫ f (x)dx , т. е. ряд (4.2), то согласно тому же признаку сравнения на основании пра-

1

вого неравенства (4.5) будет сходиться ряд

17

∞ dx

∫1 xα .

	∞
	∑an+1 = a2 +a3 + +an +an+1 + ,
	n=1
	∞
	а, следовательно, и данный ряд ∑an = a1 +a2 +a3 + +an	+	. ▼
	n=1
		∞	1
	Пример 4.1. Исследовать на сходимость ряд Дирихле	∑		(α > 0) .
			α
		n=1	n

▲ Чтобы составить производящую функцию, достаточно заменить n в выражении общего члена ряда на x . Получим f (x) = x1α . Ясно, что на промежутке [1; + ∞] эта функция удовле-

творяет всем условиям теоремы (4.1) (Функция f (x) при x > 0 (а значит и при x ≥1) положительная и убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственно-

го интеграла

Если α =1, то

∞ dx

= lim

b dx

b

= lim(ln | b

|

−ln1)= ∞ .

∫1

x

∫1

x

= lim ln | x |

b→∞

b→∞

1

b→∞

∞

b

b

dx

dx

x

−α+1

1

1−α

Если 0 <α <1, то

∫

= lim

∫

= lim

=

lim(b

−1)= ∞.

x

α

b→∞

x

α

b→∞

−α +1

1−α

b→∞

1

1

1

Таким образом, при 0 <α ≤1 ряд Дирихле расходится.

∞

dx

b

dx

x

−α+1

b

1

1−α

1

Если α >1,

то

∫

= lim

=

lim(b

−1)=

. Следовательно,

= lim

x

α

b→∞ ∫

x

α

b→∞

−α +1

1−α

b→∞

α −1

1

1

1

при α >1 ряд Дирихле сходится. ▼

∞

2

Пример 4.2. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

3 + n

2

n=1

▲ В данном случае производящая функция

f (x) =

2

удовлетворяет условиям теоремы

3 + x2

4.1 на промежутке [1; ∞]

и можно воспользоваться интегральным признаком Коши.

∞ 2dx

b 2dx

x

b

lim(arctg

)=

(π

− π )=

2

π ,

= lim

= lim

2

arctg

=

2

b

−arctg

1

2

∫1 3 + x2

∫1 3 + x2

b→∞

b→∞

3

3

1

3

b→∞

3

3

3

2

6

3 3

т. е. несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и ряд. ▼

∞

n

Пример 4.3. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

2

1

n

+1

n

▲ Так как общий член данного ряда имеет вид a

n

= f (n) =

, то выбираем производя-

n2 +1

x

щую функцию f (x) =

,

которая

удовлетворяет условиям теоремы 4.1 на промежутке

x2 +1

[1; ∞] . Несобственный интеграл

∞

xdx

= lim b

xdx

= lim

1

ln(x2 +1)

b

=

1

lim(ln(b2 +1) −ln 2)= ∞

∫1 x2 +1

b→∞

∫1 x2 +1

b→∞

2

1

2 b→∞

расходится, следовательно, ряд тоже расходится. ▼

18

Замечание. Нижний предел интегрирования в несобственном интеграле +∞∫ f (x)dx

можно взять

произвольным, например, равным a, где a ≥1− любое число.

1

∞

1

Пример 4.4. Исследовать на сходимость ряд ∑

.

(n − 2) ln

2

(n − 2)

1

4

▲ Так как общий член ряда

an =

,

то в качестве производящей функции

(n − 2) ln2 (n − 2)

возьмем f (x) =

1

,

которая

удовлетворяет условиям теоремы 4.1

на проме-

(x − 2) ln2 (x − 2)

жутке [4; ∞] . Тогда

∞

dx

= lim

b

d

(ln(x −2) = lim −

1

b

= lim 1

−

1

=

1 .

∫

∫

2

b→∞

b→∞

(x −2) ln

2

(x −2)

b→∞

ln

4

4

(x −2)

ln(x −2)

4

ln 2

ln(b −2)

ln 2

∞

dx

Т. к. несобственный интеграл ∫

сходится, то сходится и исходный ряд. ▼

(x − 2) ln2 (x − 2)

4

В случае сходимости ряда

∞

∑ f (n)

n=1

метод, примененный при доказательстве интегрального признака сходимости, позволяет получить оценку погрешности, возникающей при замене суммы ряда частичной суммой.

										∞
Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы 4.1, ряд										∑ f (n) сходится и
										1
его сумма равна S. Можно показать, что в этом случае будет сходиться и несобственный ин-
теграл +∞∫ f (x)dx .
1
Пользуясь неравенством	f (k) ≤ ∫k	f (x)dx , оценим остаток Rn заданного ряда. Имеем
	k−1
	∞		∞	k					+∞
Rn = S	− S = ∑ f (k) ≤ ∑			∫ f (x)dx =					∫ f (x)dx .
	k=n+1		k=n+1 k−1						n
Итак, 0 < Rn ≤ +∞∫ f (x)dx .
n
Таким образом, погрешность, получаемая				при замене суммы						S сходящегося ряда
∞									+∞
∑ f (n) его n-й частичной суммой Sn , не превосходит интеграла ∫ f (x)dx .
n=1									n
				∞		n
Пример 4.5. Установить сходимость ряда ∑									и оценить погрешность при за-
						2	2
			n=1 (n			+1)
мене его суммы S частичной суммой S5 .
▲ Здесь производящая функция f (x)		=	x	удовлетворяет условиям теоремы 4.1 на
			(x2 +1)2

промежутке [1; ∞] . Имеем

19