МИНОБРНАУКИ РОССИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ
ОТЧЕТ
по практической работе №3
по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»
Тема: Частотный анализ полиномиальных приближений
Студент гр. 0303 |
|
Архипов В.А. |
Студент гр. 0303 |
|
Болкунов В.О. |
Студент гр. 0303 |
|
Калмак Д.А. |
Преподаватель |
|
Середа А.-В.И. |
Санкт-Петербург
2023
Цель работы.
Провести анализ частотных характеристик известных формул полиномиального сглаживания временных рядов.
Основные теоретические положения.
Дискретный нерекурсивный фильтр
Для заданного дискретного сигнала последовательность описывающая выходной сигнал нерекурсивного фильтра в общем случае выглядит следующим образом: , где M - размер окна в котором производится сглаживание.
Передаточная функция
Для дискретного сигнала передаточная функция рекурсивного фильтра вычисляется следующим образом:
Применяя к данному равенству формулу последовательности выходного сигнала дискретного нерекурсивного фильтра получаем:
В случае гармонического дискретного сигнала передаточная функция будет иметь следующий вид:
Связь передаточной функции для круговой частоты и циклической.
Постановка задачи.
Получить формулы для передаточных функций нерекурсивных фильтров, соответствующих полиномиальному сглаживанию дискретного сигнала для полиномов различного порядка и построить графики . Проинтерпретировать частотные свойства передаточных функций. Провести сопоставительный анализ частотных характеристик передаточных функций для различных степеней полиномов.
Выполнение работы. Сглаживание прямой линией
Выходной сигнал для фильтра сглаживания полиномом 1-ой степени можно записать как:
Рассмотрим приближение по трём точкам.
Для нахождения коэффициентов полинома для наилучшего приближения воспользуемся формулой МНК:
Взяв частные производные по A и B получим следующую систему уравнений
Итого получаем или в общем случае
Взяв в качестве входного сигнала некоторый дискретный гармонический сигнал получим формулу для выражения передаточной функции.
Тогда
Аналогично выведем формулы выходных сигналов для сглаживания по 5, 7 и 9 точкам соответственно.
Графики передаточной функции нерекурсивного фильтра, соответствующего сглаживанию прямой линией по 3, 5, 7 и 9 точкам представлены на рис. 1.
Рисунок 1 - Графики передаточной функции нерекурсивного фильтра, соответствующего сглаживанию прямой линией по 3, 5, 7 и 9 точкам
Как видно из графиков передаточных функций, при увеличении количества точек передаточная функция становится более крутой, то есть быстрее переходит в полосу подавления.
Сглаживание полиномом 2-ой степени
Рассмотрим случай для 13 точек:
Домножим первое уравнение на 25 и вычтем из него третье:
Аналогичными преобразованиями получим и для 7, 9, 11 точек соответственно:
Графики передаточной функции нерекурсивного фильтра, соответствующего сглаживанию полиномом второй степени по 7, 9, 11 и 13 точкам представлены на рис. 2.
Рисунок 2 - Графики передаточной функции нерекурсивного фильтра, соответствующего сглаживанию полиномом второй степени по 7, 9, 11 и 13 точкам
Из данных графиков можно заметить что как и в случае с приближением прямой линией передаточные функции становятся более крутыми при увеличении количества точек.
Сглаживание полиномом 4-ой степени
Рассмотрим случай для 9 точек:
Решив систему уравнений для А, получаем:
Аналогичными преобразованиями получим и для 11, 13, 15 точек соответственно
Графики передаточной функции нерекурсивного фильтра, соответствующего сглаживанию полиномом четвёртой степени по 9, 11, 13 и 15 точкам представлены на рис. 3.
Рисунок 3 - Графики передаточной функции нерекурсивного фильтра, соответствующего сглаживанию полиномом четвёртой степени по 9, 11, 13 и 15 точкам
Аналогично для передаточных функций фильтра приближением полиномом 4-ой степени, можно заметить что при увеличении количества точек функции значительно быстрее приближаются к полосе подавления и начинают колебаться.