4.1. Вводные сведения

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ

МОДЕЛИРОВАНИЮ ЭЛЕКТРОННЫХ

УСТРОЙСТВ

Математическое моделирование — это использование вместо реального объекта его математической модели. В свою очередь математическая модель по существу является количественным описанием объекта. Слово «математичес­кая» в термине «математическая модель» подчеркивает тот факт, что это описание отличается строгим математиче­ским характером.

Для современного специалиста исключительно важно осознать следующий факт. К настоящему времени разви­тие науки достигло такого уровня и количественное опи­сание различных объектов является настолько точным, что очень многая отсутствующая информация об объекте мо­жет быть получена на основе только этого описания, без использования самого объекта.

В определенном смысле математическое моделирова­ние — это уровень развития науки в настоящее время. Особую роль при математическом моделировании играет ЭВМ, являющаяся инструментом моделирования. Мате­матическое моделирование радикально повышает эффек­тивность труда специалиста.

Особенно важную роль математическое моделирование играет в электронике. Здесь наиболее существенными яв­ляются следующие обстоятельства:

• большая сложность и большое разнообразие элект­ронных устройств; традиционные методы анализа и синтеза и тем более интуитивные представления о работе устройств часто оказываются бесполезными;

• особое значение электроники в современном мире, которое заставляет направлять большие усилия на ее развитие; так как это развитие возможно только при постоянном совершенствовании математического моделирования электронных схем, ему уделяется особое внимание и выделяются значительные силы и средства;

• необходимость резкого сокращения сроков разра­ботки и внедрения новых электронных устройств, что невозможно без математического моделирова­ния; например, в настоящее время на подготовку опытного образца электронного устройства с момен­та выдачи технического задания может отводиться 2—3 недели;

• сравнительно хорошая изученность физических процессов, происходящих в электронных приборах и устройствах, и наличие развитой теории, что является благодатной почвой для математического моделирования; ясность задачи моделирования электронных схем, прозрачность проблемы описа­ния устройств электроники средствами математики стимулирует применение математического модели­рования.

Математическое моделирование электронной схемы начинается с ввода в ЭВМ информации об электронных приборах (или элементах и компонентах интегральных схем) и способе их соединения.

При использовании современных систем схемотехни­ческого моделирования, оснащенных специальными про­граммами (так называемыми графическими редакторами), ввод указанной информации обеспечивается изображени­ем на экране ЭВМ электрической принципиальной схе­мы моделируемого устройства и указанием типов элект­ронных приборов.

На рис. 4.1 приведен пример электронной схемы (RC-усилителя на биполярном транзисторе), подготовленной

к моделированию с помощью пакета программ Micro-Cap-V.

По указанному типу прибора система моделирования обращается к соответствующей математической модели прибора и заменяет ей прибор, изображенный на схеме. Как уже отмечалось при рассмотрении отдельных прибо­ров, математическая модель прибора — это совокупность его эквивалентной схемы и математических выражений, описывающих элементы эквивалентной схемы. После заме­ны каждого прибора его эквивалентной .схемой образуется математическая модель всего электронного устройства, т. е. совокупность эквивалентной схемы устройства и математи­ческих выражений, описывающих элементы этой эквивален­тной схемы.

Достаточные для первого ознакомления представления об использующихся математических моделях приборов дают рассмотренные выше модели диодов и транзисторов.

4.2. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМОВ РАБОТЫ ЭЛЕКТРОННЫХ устройств

Современные программные системы (Micro-CapV, Design Center 6.2 и др.) позволяют автоматизированно мо­делировать практически все режимы работы электронного устройства, представляющие интерес для специалиста.

Рассмотрим особенности моделирования различных режимов, используя их наименования, характерные для математического моделирования.

Режим постоянного тока. Это режим покоя, начальный режим работы электронной схемы. При моделировании этого режима предполагается, что к электронному устрой­ству уже достаточно долго подключены только источни­ки постоянного напряжения и тока.

Моделирование рассматриваемого режима основано на использовании метода Ньютона (Ньютона—Рафсона) для решения систем нелинейных уравнений или модифика­ций данного метода. Этот метод является итерационным. Характерной его особенностью является линеаризация системы нелинейных уравнений на каждом этапе вычис­ления очередной итерации (приближения к решению).

Важно отметить, что в системах схемотехнического моделирования этот метод реализован не в классической форме, рассматриваемой в различных руководствах по вычислительным методам, а в оригинальной схемотехни­ческой форме, отличающейся логической красотой, совер­шенством и ориентированной именно на моделирование электронных схем. Моделирующая программа, фактиче­ски решая систему нелинейных уравнений, описывающую электронное устройство, не формирует эту систему. Вме­сто этого при вычислении очередной итерации каждый нелинейный элемент эквивалентной схемы электронно­го устройства заменяется линейной так называемой дис­кретной моделью, соответствующей методу Ньютона. В результате образуется линейная схема, анализ которой и приводит к определению очередной итерации.

Для полученной линейной схемы моделирующая про­грамма формирует систему линейных узловых уравнений, в которой неизвестными являются узловые напряжения (потенциалы). Затем эта программа решает полученную систему линейных алгебраических уравнений, используя LU-факторизацию. LU-факторизация выполняется на ос­нове метода исключения Гаусса для решения системы ли­нейных алгебраических уравнений или по алгоритму Кра-ута, который по существу является модификацией метода исключения Гаусса. Современные моделирующие про­граммы учитывают разреженность матрицы системы узло­вых уравнений. Это значительно сокращает затраты ма­шинного времени и памяти. По завершении решения системы узловых уравнений определяются все остальные искомые токи* и напряжения схемы.

После вычисления некоторого количества итераций (например, нескольких десятков) определяется решение, т. е. находится установившийся режим схемы.

На рис. 4.2 приведен график зависимости напряжения VCE(Ql) между коллектором и эмиттером транзистора от напряжения питания V(V2) для схемы рис. 4.1.

Этот график получен при анализе режима постоянно­го тока в результате многократного расчета установивше­гося режима.

На рис. 4.3 показано соответствующее окно для зада­ния параметров моделирования.

Динамический режим. Этим термином обозначают ре­жим работы электронного устройства, при котором могут иметь место различные переходные процессы. По суще­ству динамический режим — это реальный режим работы

электронной схемы во всем его многообразии, развиваю­щийся во времени. При моделировании динамического режима учитывается воздействие на схему самых разнооб­разных источников сигналов.

Моделирование динамического режима основано на использовании неявных методов решения систем обыкно­венных дифференциальных уравнений. Обычно использу­ются методы Гира (формулы дифференцирования назад).

В системах схемотехнического моделирования указан­ные методы также реализованы не в классической, а в специфической схемотехнической форме, в наивысшей степени соответствующей задаче моделирования переход­ных процессов в электронных схемах. Система моделиро­вания вьшолняет численный расчет переходных процессов без формирования соответствующей системы обыкновен­ных дифференциальных уравнений. Для определения токов и напряжений схемы в некоторый следующей момент времени все реактивные элементы (конденсаторы и ка­тушки индуктивности) заменяются дискретными моделя­ми, соответствующими используемому неявному методу. В результате образуется схема без реактивных элементов, анализ которой и приводит к определению указанных то­ков и напряжений. Многократное повторение описанных действий и обеспечивает анализ динамического режима в течение достаточно длительного отрезка времени.

На рис. 4.4 приведены временные диаграммы напряже­ний на входе (V(7)) и выходе (V(5)) схемы, полученные при анализе динамического режима.

На рис. 4.5 показано соответствующее окно для зада­ния параметров моделирования.

Режим переменного тока. Это установившийся режим работы схемы при воздействии на нее синусоидального входного сигнала настолько малой амплитуды, что нели-

нейности характеристик электронных приборов не прояв­ляются и схема может анализироваться как линейная. В рассматриваемом режиме определяют различные частот­ные характеристики электронных схем, наиболее употре­бительными из которых являются амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.

Моделирование режима переменного тока основано на использовании комплексного (символического) метода анализа электронных схем. При этом для каждой частоты входного сигнала формируется система линейных алгеб­раических уравнений, описывающая рассматриваемый режим и имеющая комплексную матрицу коэффициентов и комплексный столбец правых частей. Решение этой си­стемы позволяет определить переменные составляющие токов и напряжений и значения соответствующих пара­метров схемы. При этом используют те же указанные выше методы решения систем линейных алгебраических уравнений, которые применяются при анализе режима постоянного тока (для которого характерно применение вещественных матриц коэффициентов и столбцов правых частей). Повторение таких вычислений при различных частотах обеспечивает анализ рассматриваемого режима в требуемом диапазоне частот.

На рис. 4.6 приведены амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики схемы рис. 4.1, полученные при анализе режима переменного тока.

На рис. 4.7 показано соответствующее окно для зада­ния параметров моделирования.

4.3. УРОВЕНЬ СОВРЕМЕННЫХ СИСТЕМ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ

Системы математического моделирования устройств электроники на протяжении длительного времени посто­янно развиваются и совершенствуются. Укажем характер­ные возможности современных систем моделирования.

Моделирование смешанных аналого-цифровых устройств. Электронная схема, подлежащая моделированию, может состоять как из аналоговых, так и цифровых устройств. Важно отметить, что допускается использование обратных связей. Цифровые устройства моделируются на логичес­ком уровне. Система моделирования в автоматическом режиме обеспечивает взаимодействие аналоговых и циф­ровых устройств, поэтому математическая модель всего аналого-цифрового устройства электроники функциони­рует как единое целое, адекватно отражая особенности ра­боты реального устройства.

На рис. 4.8 приведен пример аналого-цифровой схемы, подготовленной к моделированию с помощью пакета Micro-Cap V. В этой схеме кроме аналоговых элементов используется JK-триггер.

Статистический анализ. Для оценки влияния измене­ния параметров элементов электронной схемы (в рамках их заданных допусков) на режим ее работы, определение чувствительности режима работы схемы к изменению па­раметров элементов система моделирования выполняет многократный анализ схемы, случайным образом изменяя требуемые параметры элементов. При этом изменения выполняются в соответствии с конкретными законами распределения.

Спектральный анализ. Сигналы, полученные при моде­лировании, можно подвергнуть спектральному анализу, разлагая в усеченный ряд Фурье. Могут учитываться бо­лее сотни гармоник.

Анализ шумов. При моделировании предусмотрено за­дание шумовых параметров элементов электронных схем.

Использование этих параметров дает возможность оцени­вать шумовые свойства электронных устройств.

Использование функциональных блоков. Отдельные узлы электронного устройства могут моделироваться как фун­кциональные блоки, описываемые передаточными функ­циями. Нелинейные передаточные функции могут зада­ваться как аналитически, так и в табличной форме.

Параметрический синтез (параметрическая оптимиза­ция). Для конкретной схемы электронного устройства про­граммная система может осуществить поиск наилучшего соотношения параметров элементов схемы в соответствии с заданной целевой функцией. Параметрический синтез позволяет создавать устройства электроники, обладающие наивысшими технико-экономическими показателями.

Структурный синтез. Схемы электронных устройств отдельных классов (в частности, активных фильтров) мо­гут создаваться в автоматизированном режиме в соответ­ствии с заданными требованиями.

Создание математических моделей элементов. Системы моделирования комплектуются программами, обеспечива­ющими получение в автоматизированном режиме матема­тических моделей элементов электронных схем. При этом используются справочные данные, характеризующие эти элементы.

На рис. 4.9 приведен пример графика зависимости ко­эффициента b транзистора от тока коллектора, который строится по точкам, задаваемым пользователем на осно­ве справочных данных.

Проектирование печатных плат. В последнее время появились программные системы (Design Center 6.2, Design Lab 8.0), обеспечивающие, кроме моделирования электромагнитных процессов, также и проектирование печатных плат электронных устройств. Ранее для этого проектирования использовались специализированные программы разработки печатных плат (P-CAD, OrCAD), которые не осуществляли моделирования этих процессов. Таким образом, в настоящее время в распоряжении раз­работчика имеются системы сквозного проектирования, обеспечивающие выполнение всех основных этапов раз­работки устройств электроники.