- •Аннотация
- •Содержание
- •Введение
- •1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
- •Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии
- •3. Качественный анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.
- •4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии
- •Список использованных источников
Введение
Целью курсовой работы является практическое освоение современных методов количественного и качественного анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях в переходных и установившемся режимах.
По сути, данная курсовая работа состоит из двух частей: определение характеристик электрической цепи (собственные частоты колебаний, передаточная функция, импульсная и переходная характеристики цепи) и анализ выходного сигнала, полученного исходя из характеристик цепи, при воздействии периодического и апериодического сигналов определённой формы. Передаточная функция определяется по схеме замещения (операторным методом) как: HU(s) = Uн(s) / U0(s) – необходима для определения амплитудного и фазового спектров входного сигнала, по виду функции определяется характер пропускания частотного спектра.
Амплитудный и фазовый спектры входного сигнала строятся на основании определения:
где ω1 = 2𝜋
𝑇
Для определения приблизительной формы (аппроксимации отрезком ряда Фурье) выходного сигнала при периодическом воздействии можно рассчитать приближённо амплитуды Akвых и фазы Фkвых :
и представить выходной сигнал в виде ряда Фурье:
1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
1.1. Составление уравнений состояния цепи для t ≥ 0
Нормировка параметров цепи:
Пусть Rб = 103 и Сб = 10-8. Тогда Lб = Сб * Rб2 = 10-2, Tб = Сб * Rб = 10-5,
Iб = 10-3, Uб = Iб * Rб = 1.
Rн* = Rн / Rб = 103 / 103 = 1;
R1* = R1 / Rб = 0.5 ‧ 103 / 103 = 0.5;
R3* = R3 / Rб = 2 ‧ 103 /103 = 2;
С* = C / Cб = 0,033 ‧ 10-6 /10-8 = 3,3;
L* = L / Lб = 0,03 / 10-2 = 3;
U0* = U0 / Uб = 6 / 1 = 6;
tи* = tи / Tб = 6 ‧ 10-5 / 10-5 = 6;
T* = T / Tб = 12 ‧ 10-5 / 10-5 = 12;
I0* = I0 / Iб = 4 ‧ 10-3 / 10-3 = 4;
Um = 10;
В дальнейшем индекс «*» будет опущен.
Для цепи, изображенной на рис 1.1, нормированные параметры:
R1 = 0.5; R3 = 2, Rн = 1, L = 3, C = 3.3
Рис. 1.1
Для формирования уравнений состояния заменим все L-элементы источниками тока с токами IL(t) и все С-элементы – источниками напряжения с напряжениями UC (t). Воспользуемся методом контурных токов. Тогда цепь будет иметь вид, показанный на рис. 1.2.
Рис. 1.2
U4У = 0; U3У = UC(t)
МУН:
ЗТК и ЗНК:
1.2. Нахождение аналитических решений уравнений состояния
ННУ: t < 0
Рис. 1.3
UC (0-) = 0 = UC (0+)
При 0+:
1.3. Нахождение решения уравнений состояния, используя метод Эйлера
;
Решение уравнение состояний методом Эйлера будет производится в вычислительной системе Mathcad:
Значения IL, UC, рассчитанные методом Эйлера и значения, рассчитанные аналитическим методом, представлены в таблицах 1.1 и 1.2 соответственно:
Таблица 1.1
t |
IL (Эйлер) |
IL (Аналит.) |
Относ. погр. |
0 |
2 |
2 |
0,00% |
0.15 |
2,047 |
2,047 |
0,00% |
0.3 |
2,093 |
2,093 |
0,00% |
0.45 |
2,139 |
2,138 |
0,05% |
0.6 |
2,184 |
2,182 |
0,09% |
0.75 |
2,228 |
2,226 |
0,09% |
0.9 |
2,271 |
2,269 |
0,09% |
1.05 |
2,314 |
2,311 |
0,13% |
1.2 |
2,355 |
2,352 |
0,13% |
1.35 |
2,396 |
2,393 |
0,13% |
1.5 |
2,437 |
2,433 |
0,16% |
1.65 |
2,476 |
2,472 |
0,16% |
1.8 |
2,515 |
2,511 |
0,16% |
1.95 |
2,554 |
2,549 |
0,20% |
Таблица 1.2
t |
UC (Эйлер) |
UC (Аналит.) |
Относ. погр. |
0 |
0 |
0 |
- |
0.15 |
-0,018 |
-0,018 |
0,00% |
0.3 |
-0,036 |
-0,036 |
0,00% |
0.45 |
-0,054 |
-0,055 |
1,85% |
0.6 |
-0,073 |
-0,074 |
1,37% |
0.75 |
-0,092 |
-0,093 |
1,09% |
0.9 |
-0,112 |
-0,113 |
0,89% |
1.05 |
-0,132 |
-0,133 |
0,76% |
1.2 |
-0,152 |
-0,154 |
1,32% |
1.35 |
-0,173 |
-0,175 |
1,16% |
1.5 |
-0,194 |
-0,196 |
1,03% |
1.65 |
-0,216 |
-0,218 |
0,93% |
1.8 |
-0,237 |
-0,24 |
1,27% |
1.95 |
-0,259 |
-0,262 |
1,16% |
Как видно из погрешностей, метод Эйлера довольно точно аппроксимирует аналитическое решение.
Графики численного и аналитического решений IL и UC представлены на рисунках 1.4 и 1.5 соответственно:
Рис. 1.4 – Численное (UCn) и аналитическое (U_c(t)) решения UC
Рис. 1.5 - Численное (ILn) и аналитическое (I_l(t)) решения IL