- •Новоселов о.В., Скиба л.П. Комбинаторика и вероятность
- •Предисловие
- •Введение
- •Принцип умножения
- •Принцип сложения
- •Факториал
- •Размещения
- •Перестановки
- •Свойства размещений и перестановок
- •Сочетания
- •Свойства сочетаний
- •Свойства биномиальных коэффициентов
- •Размещения с повторениями
- •Перестановки с повторениями
- •Сочетания с повторениями
- •Формула включений и исключений
- •Алгебра событий
- •Вероятность случайных событий
- •Умножение вероятностей
- •Сложение вероятностей
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •Варианты самостоятельных работ Вариант №1
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •Вариант №4
- •Вариант №5
- •Вариант №6
- •Вариант №7
- •Библиографический список
- •Оглавление
Вариант №3
Решить уравнение .
Ответ: x=9, x=10.
Раскрыть скобки в выражении .
Ответ: .
Сколькими способами можно составить шестизначное число, в запись которого входят четыре двойки и две пятёрки?
Ответ: .
На пять сотрудников университета выделены три путёвки на один курорт. Сколькими способами их можно распределить, если: а) все путёвки в различные санатории; б) все путёвки в один санаторий.
Ответ: а) , б).
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А ели среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.?
Ответ: Получаем размещения с повторениями из 13 карт по 4. Всего . Если среди карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений; их число.
Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов, если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различными)?
Ответ: Осуществляя выбор сверху вниз, получаем способов.
Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду в составе 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в неё вошло не более 3 юношей?
Ответ: .
Автобус должен сделать 8 остановок, в котором едут 5 пассажиров. Какова вероятность, что на каждой остановке выйдет не более одного пассажира, если предположить, что каждый пассажир имеет одинаковую вероятность выйти на любой остановке?
Ответ: .
На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос».
Ответ: .
Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.
Ответ: .
Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 0,6. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.
Ответ. 1–0,42=0,84.
Вариант №4
Решить уравнение .
Ответ: x=11.
Найти член разложения , содержащийx3 .
Ответ: .
Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Ответ: .
Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трёх гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ: .
На призывном пункте находится 15 призывников. Сколькими способами можно поставить в колонну по три человека?
Ответ: .
Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если определенные два человека из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
Ответ: .
В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Ответ: .
8 вариантов контрольной работы случайным образом распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 7 и 8 не будут использованы?
Ответ: .
В первой урне находятся 5 оранжевых и 4 фиолетовых шара, во второй – 3 оранжевых и 7 фиолетовых шара. Из каждой урны случайным образом вынули по три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.
Ответ: .
В журнале из 20 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом одинаковую рекламу некоторой фирмы. Какова вероятность, что эта реклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой?
Решение: В данной задаче порядок размещения рекламы неважен. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Общее число размещений рекламы в журнале . Еслиреклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой, то эти страницы можно считать за одну. Тогда число страниц будет равно 18, следовательно, и число благоприятствующих исходов будет равно m=18. Таким образом, .
В ОТК поступают 4 детали. Вероятность того, что деталь бракованная равна 0,1. Проверка производится последовательно до обнаружения бракованной детали. Найти вероятность того, что будут проверены все 4 детали.
Ответ. 0,90,90,9=0,729.