Задачи.

9⁰. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, абсолютное величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время T окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

Отв.: а) P0,64; б) P0,36.

10⁰. Распределение случайной величины X дается следующей таблицей:

X	–1	0	2	4	6
P	0,2	0,4	0,3	0,05	0,05

Чему равна вероятность того, что |X–M[X]|<5? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.

Отв.: а) 0,95; б) P0,872.

11⁰. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время T лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, абсолютное величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время T окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.

Отв.: а) P0,64; б) P0,36.

12. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0,25 превысит 0,99.

Отв.: n6400.

13. Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 9. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,997?

Отв.: 0,18.

14*. Случайная величина X подчиняется показательно-степенному закону распределения

.

Доказать справедливость неравенства

.

3

Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным величинам.

Последовательность случайных величина на {X_n} сходится по вероятности к числу a, если для любого сколь угодно малого числа >0 вероятность неравенства |X_n–a| с увеличением n стремится к единице:

.

Подчеркнем различие между пределом, вводимым в математическом анализе, и пределом по вероятности. Если последовательность X_n стремится к a при n в смысле обычного анализа, то начиная с некоторого номера n для всех nN будет неуклонно выполняться неравенство |X_n–a|; если же X_n стремится к a при n по вероятности, то для отдельных значений n неравенство может и не выполняться.

Теорема Чебышева. Пусть X₁, X₂, …, X_n – какая-либо последовательность независимых случайных величин и их дисперсии удовлетворяют условию

. (8)

Тогда для всех >0:

, (9)

где

, .

Следствие 1. Пусть X₁, X₂, …, X_n – последовательность независимых случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями: D[X_n]<C, то справедлив закон больших чисел (7).

Следствие 2. Пусть X₁, X₂, …, X_n – последовательность независимых случайных величин, имеющие одинаковые математические ожидания (равные a), а дисперсии удовлетворяют условиям теоремы Чебышева, то

. (10)

Отметим также еще теорему Хинчина: для независимых одинаково распределенных X_n (или, как говорят, для независимых наблюдений над одной и той же случайной величиной X) закон больших чисел (9) выполняется в любом случае, когда существует конечное математическое ожидание M[X].

Пример 8. Последовательность независимых случайных величин X₁, X₂, …, X_n, … задана законом распределения

Xn	–n	0	n
P

Применим ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Решение. Для того чтобы к последовательности случайных величин можно было применить теорему Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были независимы и имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии. Поскольку

Таким образом, дисперсии случайных величин X_n равномерно ограничены числом ². Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются и, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.