4.2. Функция распределения случайной величины

Пусть X – случайная величина и x – некоторое действительное число. Рассмотрим вероятность события X<x, состоящего в том, что в результате испытания случайная величина X приняла значение, которое оказалось меньше некоторого фиксированного числа x. Поскольку x может меняться произвольно, то и вероятность события X<x тоже будет меняться, т.е. она будет функцией величины x:

F(x) = P(X<x). (4.1)

Эта функция и называется функцией распределения случайной величины X.

Функция распределения является своеобразным "мостом" между математическим анализом и теорией вероятностей, между функциями действительной переменной и случайными величинами. Эта функция дает возможность использовать аппарат математического анализа для решения теоретико-вероятностных задач.

Рассмотрим общие свойства функции распределения.

Свойство 1. Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

0  F(X)  1.

Данное свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности, а вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающая единицы.

Свойство 2. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(aX<b) = F(b) – F(a).

Введем следующие события: A={X<a}, B={X<b}, C={aX<b}. Очевидно, что имеет место равенство B=A+C. Так как события A и C несовместны, то P(B)=P(A)+P(C), или F(b)=F(a)+P(aX<b). Отсюда и следует искомое равенство.

Свойство 3. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция:

b>a  F(b)  F(a).

Данное свойство вытекает из свойства 2. Действительно, поскольку вероятность есть число неотрицательное, то F(b)–F(a)0, или F(b)F(a), что и требовалось доказать.

Свойство 4. Функция распределения F(x) изменяется от 0 до 1 при изменении x от– до +:

, .

Так как F(x) – монотонная (свойство 3) и ограниченная (свойство 1), то, по известной теореме из математического анализа, рассматриваемые пределы существуют. Поскольку событие X<– является невозможным, то F(–)=P(X<–)=0; поскольку событие X>+ является достоверным, то F(+)=P(X>+)=1.

а б

Рис. 4.1

График функции распределения ДСВ представляет собой разрывную ступенчатую линию (см. ниже рис. 4.1а). По мере возрастания числа возможных значений случайной величины с одновременным уменьшением величины интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше. Вследствие чего ступенчатая линия становится более плавной (см. ниже рис. 4.1б). В этом случае ДСВ постепенно приближается к НСВ, а ее функция распределения – к непрерывной функции.

4.3. Закон распределения дискретной случайной величины

Пусть X – ДСВ, принимающая в результате испытаний следующие возможные значения: x₁, x₂, ..., x_n. Появление тех или иных значений случайной величины можно рассматривать как случайные события, которым, в общем случае, соответствуют различные вероятности. Обозначим вероятности этих событий через p с соответствующими индексами:

P(X=x₁)=p₁, P(X=x₂)=p₂, ..., P(X=x_n)=p_n.

Поскольку в результате испытания случайная величина X примет одно и только одно из перечисленных значений, т.е. произойдет одно из совместных событий, образующих полную группу, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины X равна единице:

.

Если же множество значений ДСВ образует бесконечное множество, то ряд сходится к единице. Определив все возможные значения случайной величиныX и правило, по которому каждому событию X=x_i ставится в соответствие вероятность p_i, можно получить полное представление о случайной величине.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями ДСВ и вероятностями этих значений, называют законом распределения ДСВ.

Закон распределения можно задать так же, как и функцию одной переменной в математическом анализе, используя табличный, графический и аналитический способы задания. Таблица, содержащая возможные значения ДСВ и соответствующие вероятности, является простейшей и наиболее распространенной формой задания закона распределения ДСВ и часто называется рядом распределения:

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

При графическом изображении закона распределения по оси абсцисс откладываю возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Соединив точки (x_i,p_i) отрезками, получим ломаную линию, которая называется многоугольником распределения. Аналитический способ задания закона распределения ДСВ применяется довольно редко.

Пример 4.1. Монета брошена 3 раза. Случайная величина X – число появлений "орла". Составить ряд распределения, построить многоугольник распределения и найти функцию распределения случайной величины X.

Решение. Вероятность появления герба в каждом испытании равна p=1/2, а противоположного события – q=1/2. Возможные значения случайной величины X: x₀=0, x₁=1, x₂=2, x₃=3. По формуле Бернулли найдем вероятности этих возможных значений:

,

,

,

.

Таким образом, закон распределения случайной величины X можно записать в виде следующего ряда распределения:

X	0	1	2	3
P	1/8	3/8	3/8	1/8

П

Рис. 4.2

роверка:. Многоугольник распределения имеет вид:

Определим теперь, как выглядит функция распределения. Если задан закон распределения ДСВ, то функция распределения будет иметь вид

.

Действительно, пусть аргумент x принял значение x_i < x  x_i+1. Тогда левее числа x на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1,2, ..., i. Поэтому событие X<x наступит, если произойдет любое, неважно какое, из событий X=x₁, X=x₂, ..., X=x_i. Так как эти события несовместны, то по теоремы сложения вероятностей получим

P(X<x) = P(X=x₁) + P(X=x₂) + ... + P(X=x_i) = .

Построим теперь функцию распределения для рассматриваемого примера.

Если x0, то левее этого значения нет ни одного возможного значения случайной величины X. Следовательно, F(x)=0.

Если 0<x1, то левее этого значения есть одно возможное значение случайной величины: X=0. Следовательно, F(x)=P(X=0)= =p₀=1/8.

Если 1<x2, то F(x)=p₀+p₁=1/8+3/8=1/2.

Если 2<x3, то F(x)=p₀+p₁+p₂=1/8+3/8+3/8=7/8.

Если x>3, то F(x)=1.

График функции F(x) будет иметь вид