3.5. Формула Байеса

Во многих приложениях теории вероятностей встречается следующая задача. Перед началом эксперимента имеется несколько предположений (несовместных гипотез) для объяснения некоторого опыта. Вероятности этих гипотез могут быть определены приблизительно, исходя из каких-либо соображений, порой даже интуитивных. После эксперимента получают дополнительную информацию, на основании которой производят переоценку первоначальных гипотез.

При выводе полной вероятности предполагалось, что событие А, вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий B₁, B₂, ... , B_n, образующих полную группу несовместных событий (гипотез), при этом вероятности указанных событий известны заранее. Предположим, что проведен опыт и событие А наступило. Установим, как изменятся после этого вероятности гипотез, т.е. найдем условную вероятность P_A(B_i) для каждой из гипотез. По теореме умножения вероятностей можно написать

P(AB_i) = P(A)P_A(B_i) = .

Из последнего равенства получим

. (3.12)

Применяя для P(A) формулу полной вероятности, получим

. (3.13)

Полученная формула называется формулой Байеса, или теоремой переоценки гипотез. В настоящее время, эпоху компьютеризации, формула Байеса находит широкое применение при решение проблем управления в экономике и промышленности, связанных с недостаточной информацией. По мере поступления информации и ее накопления проводится корректировка различных решений и планов.

Пример 3.12. Двое стрелков произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,4. Мишень поражена одним попаданием. Определить вероятность того, что в мишень попал первый стрелок?

Решение. До стрельбы возможны следующие предположения (гипотезы):

B1 = {оба стрелка не попали}, B2 = {оба стрелка попали}, B3 = {попал только первый стрелок}, B4 = {попал только второй стрелок},

P(B1) = 0,20,6 = 0,12, P(B1) = 0,80,4 = 0,32, P(B1) = 0,80,6 = 0,48, P(B1) = 0,20,4 = 0,08.

Эти события образуют полную группу несовместных событий. Пусть А – поражение мишени одним попаданием, тогда ее вероятность можно найти по формуле полной вероятности:

= 0,120+ 0,320+ 0,481+ 0,081 = 0,56.

Здесь учтено, что при осуществлении событий В₁ и В₂ событие А – невозможно, при осуществлении событий В₃ и В₄ событие А – достоверное. В результате, по формуле Байеса находим:

.