ЭПЮР 1,2,3

∙отложить на полученной НВ отрезок заданной длины и построить его проекции (рис. 10, б).

а

б

Рис. 10

Задача 1 эпюра 1

Задача 1(а). Построить плоскость, параллельно плоскости, заданной треугольником АВС, так, чтобы отрезок заданной прямой EF, заключенный между плоскостями, имел длину, равную 50 мм (рис. 11, а).

Искомая плоскость должна проходить через некоторую точку М на отрезке ЕF таким образом, чтобы отрезок МК, заключенный между плоскостью треугольника АВС и построенной плоскостью был равен 50 мм. Соответственно точка К должна быть общей точкой для плоскости АВС и прямой EF. Наглядное изображение решения задачи представлено на рис. 11, б. Задача имеет два решения – плоскость, параллельная заданной плоскости треугольника АВС с одной стороны и с другой. На эпюре можно показать только одно решение из двух.

а

б

Рис. 11

Алгоритм решения задачи:

∙отрезок EF расположен не параллельно плоскости треугольника АВС, следовательно, он пересекает его в точке К, которую можно определить, выполнив дополнительные построения (рис. 12, а);

∙на отрезке EF от точки К отложить длину, равную 50 мм и получить точку М (рис. 12, б);

∙через построенную точку М провести плоскость параллельно заданному треугольнику АВС (рис. 12, в).

а	б	в
	Рис. 12

Задача 1(б). Через точку К провести прямую параллельно плоскости, заданной треугольником АВС и пересекающую прямую EF (рис. 13, а).

Искомая прямая должна лежать в плоскости α, расположенной параллельно заданной плоскости треугольника АВС. Чтобы искомая прямая еще и пересекала заданную прямую EF, она должна проходить через точку М, общую для плоскости α и прямой EF (рис. 13, б).

а

б

Рис. 13

Алгоритм решения задачи:

∙через точку К провести плоскость α, параллельно плоскости треугольника АВС (рис. 14, а);

∙найти точку М пересечения заданной прямой EF и построенной плоскости α, выполнив дополнительные построения (рис. 14, б);

∙соединить заданную точку К и построенную точку М (рис. 14, в). Задача имеет единственное решение.

а	б	в
	Рис. 14

Задача 2 эпюра 1

Задача 2(а). Построить прямую призму, в основании которой лежит треугольник АВС, принадлежащий плоскости, заданной двумя параллельными прямыми m и n, высотой 50 мм (рис. 15, а).

У прямой призмы ребра располагаются перпендикулярно основанию, поэтому направление ребер искомой призмы необходимо строить перпендикулярно плоскости, заданной двумя параллельными прямыми m и n, в которой лежит основание призмы (рис. 15, б).

а

б

Рис. 15

Алгоритм решения задачи:

∙найти горизонтальные проекции вершин треугольника АВС, принадлежащего плоскости, заданной двумя параллельными прямыми m и n (рис. 16, а);

∙восстановить из точки А перпендикуляр к заданной плоскости

(рис. 16, б);

∙отложить на построенном перпендикуляре отрезок АА1=50 мм

(рис. 16, в);

а

б

в

Рис. 16

∙построить призму АВСА1В1С1 (рис. 17, а);

∙определить видимость ребер с помощью конкурирующих точек (см. рис. 7, б) построенной призмы АВСА1В1С1 (рис. 17, б).

а

б

Рис. 17

Задача имеет два решения. На эпюре можно показать только одно решение из двух. Обязательно показать на эпюре конкурирующие точки для определения видимости ребер призмы (см. приложение).

Задача 2(б). Построить пирамиду, в основании которой лежит треугольник АВС, принадлежащий плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми h и f, высотой SA 50 мм (рис. 18, а).

У пирамиды высота располагается перпендикулярно основанию, поэтому направление высоты искомой пирамиды необходимо строить перпендикулярно плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми h и f, в которой лежит основание пирамиды (рис. 18, б).

а

б

Рис. 18

Алгоритм решения задачи:

∙найти фронтальные проекции вершин основания пирамиды SАВС, принадлежащих плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми h и f (рис. 19, а);

∙восстановить из точки А перпендикуляр к заданной плоскости

(рис. 19, б);

∙ отложить на построенном перпендикуляре отрезок SА=50 мм

(рис. 19, в);

а

б

в

Рис. 19

∙построить пирамиду SАВС (рис. 20, а);

∙определить видимость ребер с помощью конкурирующих точек (см. рис. 7, б) построенной пирамиды SАВС (рис. 20, б).

а

б

Рис. 20

Задача имеет два решения. На эпюре показать только одно решение из двух.

Задача 2(в). Построить сферу R=25 мм, касательную к плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми m и n в точке К (дана фронтальная проекция точки касания) (рис. 21, а).

У сферы радиус, проведенный в точку касания, расположен перпендикулярно касательной плоскости, поэтому направление радиуса искомой сферы необходимо строить из точки касания К, перпендикулярно плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми m и n (рис. 21, б).

m"

B"

K"

n"

x		x

m'

B'

n'

а

б

Рис. 21

Алгоритм решения задачи:

∙найти горизонтальную проекцию точки касания К, принадлежащей плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми m и n

(рис. 22, а);

∙в плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми m и n провести линии уровня (рис. 22, б);

		m"				m"
							f"
		B"				B"
						3"
K"	1"	2"	h"	K"	1"	2"	h"
		n"				n"
x		x	x				x
K'				K'
		m'				m'
		B'				B'
					1'	3'	f'
	1'

	2'	h'	2'	h'
			n'
	n'
	а		б

Рис. 22

∙из точки К восстановить перпендикуляр к плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми m и n, отложить на построенном перпендикуляре отрезок KO=25 мм (рис. 23, а);

∙из найденного центра O построить сферу R=25 мм (рис. 23, б).

m"

O*

f"

O"	L*25 ìì		B"
	L"		3"
			2"
	K"	1"		h"
			n"
x				x
	K'
	L'		m'
O'
			B'
		1'	3'	f'

2'n' h'

а

				m"
	O*					f"
O"	L*25 ìì		B"
	L"		3"
				2"
	K"	1"				h"
					n"
x						x
	K'
	L'			m'
O'
			B'
		1'	3'			f'
			2'		h'
			n'
		б

Рис. 23

Задача имеет два решения. На эпюре показать только одно решение из двух.

Задача 2(г). Построить сферу минимального радиуса с центром в точке О, касательную к плоскости, заданной треугольником АВС

(рис. 24, а).

У сферы радиус, проведенный из центра в точку касания, расположен перпендикулярно касательной плоскости, поэтому направление радиуса искомой сферы необходимо строить из центра O, перпендикулярно плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 24, б).

B"

Ñ"

O"

A"

x

x

O

B

B'

O'

Ê

Ñ

A'

	A
	Ñ'
а	б
	Рис. 24

Алгоритм решения задачи:

∙в плоскости, заданной треугольником АВС провести линии уровня

(рис. 25, а);

∙из центра O опустить перпендикуляр на плоскость треугольника

АВС (рис. 25, б);

а

б

Рис. 25

∙построить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника АВС – точка касания К (рис. 26, а);

∙определить НВ отрезка ОК (радиус сферы), из центра O построить сферу (рис. 26, б).

а

б

Рис. 26

Задача имеет единственное решение.

2. ЭПЮР 2

Эпюр 2 состоит из двух задач. Задачи данного эпюра решаются с применением методов преобразования чертежа – плоскопараллельного перемещения (первая задача) и перемены плоскостей проекций (вторая задача).

Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических фигур. В связи с этим все многообразие задач может быть отнесено к двум группам:

1.задачи позиционные – решение которых должно дать ответ на вопрос о взаимном расположении геометрических фигур как по отношению друг к другу, так и относительно системы координатных плоскостей проекций;

2.задачи метрические – при решении задач этой группы появляется возможность ответить на вопросы, касающиеся как внутренней метрики заданных геометрических фигур (определение расстояний между различными точками фигуры и нахождение величин углов между линиями и поверхностями, принадлежащими этой фигуре), так и определения расстояний между точками и величин углов.

Проецируемая фигура может занимать по отношению к плоскости проекции различное положение. Решение задачи значительно упрощается

вслучае частного положения геометрической фигуры относительно плоскости проекции. При этом наиболее выгодным частным положением проецируемой фигуры следует считать:

∙положение, перпендикулярное к плоскости проекции для решения позиционных задач;

∙положение, параллельное по отношению к плоскости проекции при решении метрических задач.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:

1.перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве;

2.перемещением плоскостей проекций в новое положение, по отношению к которому проецируемая фигура (которая не меняет своего положения в пространстве) окажется в частном положении.

Первый путь лежит в основе метода плоскопараллельного пере-

мещения; второй составляет теоретическую базу метода перемены плос-

костей проекций.