ЭПЮР 1,2,3

Задача 1 эпюра 2

Для плоскопараллельного перемещения справедливо утверждение, которое выражено в виде теоремы:

при параллельном перемещении геометрической фигуры относительно плоскости проекции, проекция фигуры на эту плоскость хотя и меняет свое положение, но остается конгруентной проекции фигуры в ее исходном положении.

Отметим еще свойства плоскопараллельного перемещения:

∙при всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции Н, ее фронтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х;

∙при всяком перемещении точки в плоскости, параллельной плоскости проекции V, ее горизонтальная проекция перемещается по прямой, параллельной оси х.

Пользуясь теоремой и отмеченными свойствами, не составляет труда построить новые проекции геометрической фигуры по заданным ее ортогональным проекциям, которые занимают частное положение по отношению к плоскости проекции.

Проследим на конкретных примерах использование способа плоскопараллельного перемещения для перевода произвольно расположенной геометрической фигуры в частное положение.

Задача 1(а). Отрезок АВ прямой общего положения а перевести в положение перпендикулярное фронтальной плоскости проекции (рис. 27).

Для перевода отрезка общего положения в положение, параллельное плоскости проекции (линии уровня) необходимо выполнить только одно перемещение. Для перевода отрезка из общего положения в проецирующее положение, необходимо последовательно выполнить два перемещения: вначале перевести его в положение параллельное плоскости Н (или V), затем переводят отрезок в положение перпендикулярное V (или Н).

Отрезок общего положения АВ необходимо перевести в положение параллельное горизонтальной плоскости проекции. Фронтальная проекция должна быть параллельна оси х. Поэтому переводим проекцию в новое положение А1''В1''. Перемещение отрезка в новое положение осуществляем так, чтобы любые его точки двигались в плоскостях, параллельных плоскости V. При таком перемещении новая фронтальная проекция конгруентна исходной проекции А1''В1''= А''B''. Горизонтальные проекции точек отрезка А'В' будут перемещаться в новое положение по прямым, параллельным оси х. Построения выполнены в следующей последовательности:

1. через произвольную точку А1'' проводим прямую а1'' параллельную оси х;

2.откладываем на ней от точки А1''отрезок А1''В1''= А''B'';

3.из точек А1''и В1'' проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А' и В'.

Полученные точки А1' и В1' являются концами горизонтальной проекции отрезка А1В1, параллельного плоскости Н.

Далее отрезок, расположенный параллельно плоскости Н (горизонталь) необходимо перевести в положение перпендикулярное фронтальной плоскости проекции. Горизонтальная проекция должна быть перпендику-

лярна оси х. Поэтому переводим проекцию в новое положение А2'В2'. Перемещение отрезка в новое положение осуществляем так, чтобы любые его точки двигались в плоскостях, параллельных плоскости Н. При таком перемещении новая горизонтальная проекция конгруентна исходной проек-

ции А2'В2' = А1'B1'. Фронтальные проекции точек отрезка А1''В1'' будут перемещаться в новое положение по прямым, параллельным оси х. Построения выполнены в следующей последовательности:

1.через произвольную точку В2' проводим прямую а2''перпендикулярную оси х;

2.откладываем на ней от точки В2' отрезок А2'В2' = А1'B1';

3.из точек А2' и В2' проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А1''и В1''.

B"

A"

a " A1 "

B "

A2 "ÙB2 "Ùa2 "

1

1

a"

x

x

B'

B1

'

B2

'

	A'
a'					A1 '
			a1	'

A2 '

a2 '

Рис. 27

Задача 1(б). Треугольник АВС, определяющий плоскость общего положения перевести в положение параллельное горизонтальной плоскости проекции (рис. 28).

Для перевода плоскости общего положения в положение, перпендикулярное плоскости проекции (проецирующее) необходимо выполнить только одно перемещение. Для перевода плоскости из общего положения в положение, параллельное плоскости проекции необходимо последовательно выполнить два перемещения: вначале перевести ее в положение перпендикулярное плоскости Н (или V), затем переводят плоскость в положение параллельное V (или Н).

Если плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции, то фронталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно горизонтальной плоскости.

Если плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости, то горизонталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно фронтальной плоскости.

Зная характер геометрических построений, которые необходимо выполнить для перемещения отрезка из линии уровня в проецирующее положение, можно легко перевести плоскость, произвольно расположенную в пространстве в положение перпендикулярное плоскости проекции. Построения выполнены в следующей последовательности:

1.через точку А проводим горизонталь h в плоскости треуголь-

ника АВС;

2.через произвольную точку А1' проводим прямую h1' перпендикулярную оси х;

3.откладываем на ней от точки А1' отрезок А1'D1' = А'D';

4.с помощью циркуля строим треугольник А1'В1'С1' = А'В'С';

5.из точек А1' и В1''и С1' проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А'', В''и С''.

Полученные точки А1'', В1'' и С1'' являются фронтальной проекцией плоскости А1В1С1, перпендикулярной плоскости V.

Далее плоскость, расположенную перпендикулярно плоскости V необходимо перевести в положение параллельное горизонтальной плоскости проекции. Фронтальная проекция должна быть параллельна оси х. Поэтому

переводим проекцию в новое положение А2''В2''С2''. Перемещение плоскости в новое положение осуществляем так, чтобы любые ее точки двигались

вплоскостях, параллельных плоскости V. При таком перемещении новая

фронтальная проекция конгруентна исходной проекции А2''В2''С2''=А''В''С''. Горизонтальные проекции точек плоскости А1'В1'С1' будут перемещаться в новое положение по прямым, параллельным оси х. Построения выполнены

вследующей последовательности:

1.через произвольную точку В2'' проводим прямую параллель-

ную оси х;

2.откладываем на ней от точки В2'' проекцию плоскости в виде отрезка А2''В2''С2''= А1''В1''С1'';

3.из точек А2'', В2''и С2''проводим линии связи и находим точки пересечения их с соответствующими горизонтальными прямыми, проведенными соответственно через точки А1', В1' и С1'.

	B"		B1 "
	h"	D"	A1 "ÙD1 "Ùh1 " B2 "		A	"	C "
A"					2		2
		C"		C1 "
x							x
	B'			C1 '
							C2 '
		D'	D1 '
	h'	C'	B1 '	B2 '
			h1 '
A'
			A	'		A2 '
			1
			Рис. 28
			Задача 2 эпюра 2

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций достигается путем замены системы плоскостей H и V. В дальнейшем такую систему будем

обозначать x			V	, новыми плоскостями Н1 и V1 и такие системы будем обо-
			H
значать x1	V		или x1		V 1	.Новые плоскости проекции выбираются перпенди-
	H 1
					H

кулярно к старым. Проецируемые геометрические фигуры при этом не меняют своего положения в пространстве.

При выборе положения новой плоскости проекции следует руководствоваться тем, чтобы по отношению к новой плоскости проецируемая фигура занимала частное положение, обеспечивающее получение проекций наиболее удобных для решения поставленной задачи.

В некоторых случаях бывает достаточно заменить только одну плоскость проекции H на H1 или V на V1. Иногда замена только одной плоскости проекции не обеспечивает получения требуемого вида вспомогательной проекции, поэтому приходится переходить к замене двух плоскостей.

При этом переход от исходной системы плоскостей проекций x V к новой

H

x2 V 1 может быть осуществлен по одной из следующих схем:

H 1

x

V

→ x1

V 1

→ x2

V 1

или x

V

→ x1

V

→ x2

V 1

.

H

H

H 1

H

H 1

H 1

Приведенные схемы показывают, что одновременно можно поменять только одну плоскость проекции, другая плоскость остается неизменной.

Рассмотрим замену одной и двух плоскостей проекций на примере

точки. Пусть в системе x V задана точка А проекциями А' и А''. Заменим

H

плоскость V новой плоскостью V1 (плоскость V1 принимается перпендикулярной к плоскости H). Горизонтальная плоскость проекции не меняет

своего положения, т.е. осуществляется переход от системы x V к новой

		H
системе x1	V 1	. Новая плоскость V1 пересекается с плоскостью H по оси х1.
	H

Положение горизонтальной проекции А' точки А остается без изменения, так как точка А и плоскость Н не меняли своего положения в пространстве

(рис. 29, а).

а

б

Рис. 29

Для нахождения фронтальной проекции А''достаточно ортогонально спроецировать точку А на новую плоскость V1.Расстояние новой фронтальной проекции А1'' от новой оси х1 равно расстоянию от старой фронтальной проекции А''до старой оси х (│А1''Ах1│ = │А''Ах│). Равенство аппликат у новой А1''и старой А''фронтальной проекции точки А и использование в обоих случаях прямоугольного проецирования делают построение новой фронтальной проекции чрезвычайно простым. Оно состоит в том,

что через старую горизонтальную проекцию точки проводят прямую, перпендикулярную к новой оси, и откладывают на ней, от точки пересечения с осью, отрезок, равный расстоянию старой фронтальной проекции от старой оси (рис. 29, б).

Часто при определении натуральной величины какой-либо геометрической фигуры замены одной плоскости проекции бывает недостаточно. В таких случаях приходится осуществлять замену двух плоскостей проекций.

Рассмотрим, как определяются новые ортогональные проекции точки

в новой системе плоскостей проекций x2 V 1 , если известны ее проекции в

H 1

старой системе плоскостей x V .

H

Пусть А' и А''– проекции точки А на исходных плоскостях проекций

x V (рис. 30). Для того чтобы определить положение новых проекций А1' и

H

А1'' в системе x2	V 1	заменяем вначале плоскость Н новой плоскостью Н1.
	H 1

Новая горизонтальная проекция А1' будет принадлежать одной линии связи, проходящей через старую фронтальную проекцию А'' и перпендикулярную к новой оси х1, и будет удалена от новой оси на такое же расстояние, на какое старая горизонтальная проекция точки была удалена от старой оси х. Поэтому для определения положения проекции А1' достаточно от точки Ах1 на линии связи отложить отрезок [Ах1А1'], равный отрезку [АхА']. Положение новой фронтальной проекции точки на плоскости V1 в

системе x2	V 1	определяется аналогично только что рассмотренному слу-
	H 1

чаю. Отличие будет состоять лишь в том, что теперь за исходную (старую)

систему будем принимать систему x1	V	и от нее переходить к системе
	H 1

x2 V 1 . В этом случае плоскость Н1 не меняет своего положения в простран-

H 1

стве, следовательно, не изменится положение и горизонтальной проекции А1'. Фронтальная проекция А1''будет определена, если из А1' провести линию связи перпендикулярно оси х2 и отложить на нем от точки Ах2 отрезок [Ах2 А1''], равный расстоянию от точки А''до оси х1 – отрезку [Ах1 А''].

Рис. 30

Зная правила построения новой проекции одной точки, можно построить новые проекции любого числа точек, следовательно, и любой геометрической фигуры.

Рассмотрим на конкретных примерах использование способа перемены плоскостей проекции для перевода произвольно расположенной геометрической фигуры в частное положение.

Задача 2(а). Отрезок АВ прямой общего положения а перевести в положение перпендикулярное горизонтальной плоскости проекции.

Для перевода отрезка общего положения в положение, параллельное плоскости проекции (линии уровня) необходимо выполнить замену только одной плоскости проекции. Для перевода отрезка из общего положения в проецирующее положение, необходимо последовательно выполнить две замены: вначале перевести его в положение параллельное плоскости V (или Н), затем переводят отрезок в положение перпендикулярное Н (или

V).

Построения выполнены в следующей последовательности (рис. 31):

1.проводим новую ось х1 таким образом, чтобы в новой системе

плоскостей проекции x1	V 1	отрезок АВ стал фронталью, т.е. х1 должна быть
	H

расположена параллельно А'В';

2.строим новые фронтальные проекции А1'' и В1'' откладывая на новых линиях связи отрезки А1''Ах1 = А''Ах и В1''Вх1 = В''Вх;

3.проводим новую ось х2 таким образом, чтобы в новой системе

плоскостей проекции x2 V 1 отрезок АВ стал горизонтально проецирующим,

H 1

т.е. х2 должна быть расположена перпендикулярно А1''В1''; 4. строим новые горизонтальные проекции А1' и В1' откладывая на

новой линии связи отрезок А1'Ах2 = А'Ах1 который совпадает с отрезком

В1'Вх2 = В'Вх1.

Рис. 31

Задача 2(б). Треугольник АВС, определяющий плоскость общего положения перевести в положение параллельное фронтальной плоскости проекции (рис. 32).

Для перевода плоскости общего положения в положение, перпендикулярное плоскости проекции (проецирующее) необходимо выполнить только одну замену плоскостей проекции. Для перевода плоскости из общего положения в положение, параллельное плоскости проекции необходимо последовательно выполнить две замены: вначале перевести ее в положение перпендикулярное плоскости Н (или V), затем переводят плоскость в положение параллельное V (или Н).

Если плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции, то фронталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно горизонтальной плоскости.

Если плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости, то горизонталь (линия уровня) этой плоскости расположена тоже перпендикулярно фронтальной плоскости.

Построения выполнены в следующей последовательности (рис. 32):

1.проводим новую ось х1 таким образом, чтобы в новой системе

плоскостей проекции x1	V	треугольник АВС стал горизонтально проеци-
	H 1

рующим, т.е. х1 должна быть расположена перпендикулярно f';

2.строим новые горизонтальные проекции А1', В1' и С1' отклады-

вая на новых линиях связи отрезки А1'Ах1=А'Ах, В1'Вх1=В'Вх и С1'Сх1=С'Сх;

3.проводим новую ось х2 таким образом, чтобы в новой системе

плоскостей проекции x2 V 1 треугольник АВС стал фронтальной плоскостью

H 1

уровня, т.е. х2 должна быть расположена параллельно А1'В1'С1'; 4. строим новые фронтальные проекции А1'', В1''и С1''откладывая

на новых линиях связи отрезки А1''Ах2=А''Ах1, В1''Вх2=В''Вх1 и С1''Сх2=С''Сх1.

Рис. 32