Slinkina_Mekh_i_mol_fiz_2

x = A + B t +C t2				и x	2	= A + B t +C			t2 ,
1	1	1	1			2	2	2

где А1 = 20 м; В1 = 2 м/с; С1 = –4 м/с2; А2 = 2 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,5 м/с2.

В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения этих точек в этот момент?

7.Скорость поезда между двумя пунктами v1 = 80 км/ч, средняя скорость на всем пути v2 = 60 км/ч, причем остановки занимают время tост = 1 ч. Найти расстояние между этими пунктами.

8.Тело, двигаясь равноускоренно, прошло некоторый путь за 12 с. За какое время оно прошло последнюю треть пути?

9.Тело, двигаясь равноускоренно, прошло за 10 с путь 150 м, причем за десятую секунду оно прошло путь 24 м. Найти начальную скорость

иускорение тела.

10.Движение материальной точки задано уравнениями:

x =8t2 +4; y = 6t2 −3; z = 0.

Определить модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 2 c.

11.С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м

от основания вышки. Определить начальную скорость v0 и конечную v скорости камня.

12.Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность S полета тела в четыре раза больше максимальной высоты Н траектории.

13.Миномет установлен под углом α = 60° к горизонту на крыше

здания, высота которого h = 40 м. Начальная скорость v0 мины равна 50 м/с. Определить время полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность S полета, скорость v в момент падения мины на Землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

14.Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 30° к горизонту,

дважды был на одной и той же высоте h: спустя t1 = 10 с и t2 = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость v0 и высоту h.

15.Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с на-

чальной скоростью v0 = 30 м/с. Определить его скорость в конце второй секунды после начала движения.

16.Тело падает с высоты 4 м. На высоте 2 м оно упруго ударяется

озакрепленную площадку, расположенную под углом 30° к горизонту. Найти полное время движения тела и дальность его полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

17.Как изменяются время и дальность полета тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты, если скорость бросания увеличить в два раза?

66

18.Самолет летит горизонтально со скоростью 360 км/ч на высоте 490 м. Когда он пролетает над точкой А, с него сбрасывают пакет. На каком расстоянии от точки А пакет упадет на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

19.Тело брошено с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту. Найти скорость тела в высшей точке подъема и в точке его падения.

20.Тело брошено со стола горизонтально. При падении на пол его скорость равна 7,8 м/с. Высота стола Н = 1,5 м. Чему равна начальная скорость тела v0?

21.Диск радиусом 15 м, находившимся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное, нормальное ускорения точек на окружности в конце второй секунды после начала вращения.

22.Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с2. Через 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равно

а= 13,6 см/с2. Найти радиус колеса.

23.Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением x = ct3, где с = 0,1 м/с3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна v = 0,3 м/с.

24. Диск радиусом r = 20 см вращается согласно уравнению ϕ = A + Bt +C t3 , где А = 3 рад; В = –1 рад/с; С = 0,1 рад/с3. Определить

тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

25.Велосипедное колесо вращается с частотой ν = 5 с–1. Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени 1 мин. Определить угловое ускорение и число оборотов, которое сделает колесо за это время.

26.Маховое колесо, спустя 1 мин после начала вращения, приобретает скорость, соответствующую частоте ν = 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение равноускоренное.

27.Точка движется по окружности радиусом 10 см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала v = 79,2 см/с.

28.Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

67

29.Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ϕ = A + Вt + Ct2 + Dt3, где В = 1 рад/с,

С= 1 рад/с2 и D = 1 рад/с3. Найти радиус колеса, если известно, что к кон-

цу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, равно 3,46 см/с2.

30.Тело брошено со скоростью v0 = 10 м/с под углом α = 45° к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через t = 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

31.Под действием постоянной силы F = 20 Н тело двигается пря-

молинейно так, что зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = A – Bt + Ct2. Найти массу тела, если С = 1 м/с2.

32.Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с гори-

зонтом угол 45°. Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = Ct2, где С = 1,73 м/с2. Найти коэффициент трения тела о плоскость.

33.Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением 0,2 м/с2. Найдитесилутяги, еслиуклонравен0,02 икоэффициентсопротивления0,04.

3

34.С какой горизонтальной силой надо действовать на брусок массой 2 кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона 30°, чтобы он двигался равноускоренно вверх по наклонной плоскости? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,3.

35.Два бруска массой 100 г каждый, связанные невесомой нитью, соскальзывают с наклонной плоскости с углом 30°. Коэффициент трения нижнего бруска о плоскость равен 0,2, верхнего – 0,5. Определить силу натяжения нити.

36.Груз массой 50 кг равноускоренно поднимают с помощью каната вертикально вверх в течение 2 с на высоту 10 м. Определить силу натяжения каната.

37.Груз массой 50 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 300 Н, направленной под углом 30° к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.

38.Три груза массой по 1 кг связаны нитью и движутся по горизонтальной плоскости под действием силы 10 Н, направленной под углом

30° к горизонту. Определить ускорение системы и силы натяжения нити, если коэффициент трения 0,1.

39. На горизонтальной вращающейся платформе лежит груз на расстоянии 75 см от оси вращения. Каков должен быть коэффициент трения, чтобы груз не скользил, если платформа вращается с частотой 12 об/мин?

68

40. С какой максимальной скоростью может двигаться велосипедист на закруглении радиуса 25 м, если коэффициент трения между дорогой и колесами велосипеда 0,15? Какой при этом будет угол наклона велосипедиста к вертикали?

41. Движение материальной точки описывается уравнением х = 20 + 2t – t2. Приняв ее массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и 5 с после начала движения. Найдите модуль и направление силы, вызвавшей это изменение.

42.Стоящий на льду человек массой 60 кг ловит мяч массой 0,5 кг, который летит горизонтально со скоростью 20 м/с. На какое расстояние откатится человек с мячом по горизонтальной поверхности льда, если коэффициент трения равен 0,05?

43.Ящик с песком, имеющий массу М, подвешен на тросе длиной l. Длина троса значительно больше линейных размеров ящика. Пуля, масса которой m, летит в горизонтальном направлении и попадает в ящик, застревая в нем. Трос после попадания пули отклоняется от вертикали на

угол α. Определить скорость пули.

44.Снаряд, выпущенный из пушки, установленный под углом 45°

кгоризонту на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает прямо под точкой разрыва снаряда спустя 20 с после разрыва. На каком расстоянии упадет второй осколок, если разрыв произошел на высоте 2 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.

45.Граната, летевшая в горизонтальном направлении со скоростью 10 м/с, разорвалась на два осколка массами 1,0 кг и 1,5 кг. Скорость большего осколка осталась после разрыва горизонтальной и возросла до 25 м/с. Определить скорость и направление движения меньшего осколка.

46.Ракета, поднимающаяся вертикально вверх со скоростью 100 м/с, разрывается на три части. Две части по 0,5 кг каждая разлетаются горизонтально: одна на восток, другая – на запад. Чему равна скорость третьей части, масса которой равна 1 кг?

47.Шарик массой 200 г упал с высоты 5 м на горизонтальную плиту и отскочил от нее на высоту 3 м. Определить модуль изменения импульса шарика в результате удара.

48.Мяч, летящий со скоростью v1 = 15 м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью v2 = 20 м/с. Найти, чему равно изменение импульса мяча, если известно, что изменение его кинетической энергии при этом равно 8,75 Дж.

49.Из орудия массой 5·103 кг вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете равна 7,5·106 Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

69

50.Тело массой в 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией в 5 Дж. Считая удар центральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.

51.На невесомом стержне весит груз массой m. Груз отклоняют на 90° и отпускают. Найти натяжение стержня при прохождении им положения равновесия.

52.Две пружины жесткостью k1 = 103 Н/м и k2 = 3·103 Н/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию данной системы

при абсолютной деформации ∆l = 5 см.

53.С какой скоростью вылетит из пружинного пистолета шарик массой т = 10 г, если пружина была сжата на ∆х = 5 см и жесткость пружины k = 200 Н/м?

54.Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 103 кг, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,07.

55.По наклонной плоскости высотой 0,5 м и длиною склона 1 м скользит тело массой в 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,45 м/с. Найти: 1) коэффициент трения тела о плоскость; 2) количество тепла, выделенного при трении. Начальная скорость тела равна нулю.

56.Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол α = 10° с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти, чему равен коэффициент трения, если известно, что тело проходит по горизонтали такое же расстояние, как и по наклонной плоскости.

57.Тело массой 100 кг поднимают с ускорением 2 м/с2 на высоту 25 м. Какая работа совершается при подъеме тела?

58.Тело движется вдоль оси ОХ, направленной горизонтально. Проекция скорости этого тела на эту ось изменяется со временем по закону vх = 10 + 2t. Какую работу совершает сила, действующая на это тело, в

течение 10 с, если она составляет угол 60° с направлением движения тела?

59. Равнодействующая сил, действующих на тело, равна 50 Н и направлена горизонтально. Координата тела изменяется по закону х = 24 + 10t – t2. Какую работу совершает сила за 5 с?

60 Камень бросили под углом α = 60° к горизонту со скоростью v0 = 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса камня т = 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

70

61.Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 км/ч. На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горы равен 10 м на каждые 100 м пути.

62.Шар диаметром 10 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 об/с. Масса шара 0,25 кг. Найти кинетическую энергию шара.

63.Маховик радиусом R = 10 см насажен на горизонтальную ось.

На обод маховика намотан шнур, к которому привязан груз массой т = 100 г. Опускаясь равноускоренно, груз прошел расстояние 160 см за

2с. Определить момент инерции маховика.

64.Тонкий стержень длиной 50 см и массой 0,6 кг вращается около оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине.

Уравнение вращения стержня ϕ = At + Bt3, где А = 1 рад/с; В = 0,1 рад/с3. Определить момент силы m в момент времени t = 2 с.

65.Через блок радиусом 3 см перекинули шнур, к концам которого привязаны грузы массами т1 = 100 г и т2 = 120 г. При этом грузы пришли

вдвижение с ускорением а = 3 м/с2. Определить момент инерции блока. Трение при вращении не учитывать.

66.На скамейке Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамейка

с человеком вращается с угловой скоростью ω1 = 1 рад/с. С какой угловой скоростью ω2 будут вращаться скамейка с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамейки 6 кг · м2. Длина стержня 2,4 м, его масса 8 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы.

67.Диск радиусом 20 см и массой 5 кг вращается с частотой 8 об/с. При торможении он остановится через время t = 4 с. Определить тормозящий момент М.

68.Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой 0,1 об/с. На краю платформы стоит человек, масса которого рав-

на 80 кг. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции платформы равен 120 кг · м2. Момент инерции человека рассматривать как для материальной точки.

69.Якорь мотора вращается с частотой 25 об/с. Определить вращающий момент М, если мотор развивает мощность 500 Вт.

70.Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую и линейную скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его конец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

71

71.Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость равна 20 см/с. Найти циклическую частоту колебаний и максимальное ускорение точки.

72.Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с2. Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю.

73.Колебания точки происходят по закону х = А cos (ωt + ϕ). В не-

который момент времени смещение точки х равно 5 см, ее скорость равна 20 см/с и ускорение а = –80 см/с2. Найти амплитуду А, циклическую час-

тоту ω, период Т колебаний и фазу (ωt + ϕ) в рассматриваемый момент времени.

74. Точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях:

х1 = A1 sin ωt и x2 = A2 cos ωt,

где А1 = 1 см; А2 = 2 см; ω = 1 с–1.

Определить амплитуду А результирующего колебания, его частоту ν, начальную фазу ϕ. Найти уравнение этого движения.

75. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями

х = A1 sin ωt и у = A2 cos ωt,

где А1 = 0,5 см; А2 = 2 см.

Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения.

76. Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить частоту ν колебаний такого физического маятника.

77.Период обращения искусственного спутника Земли Т = 50 мин. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте над поверхностью Земли движется спутник.

78.Математический маятник длиной 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением а = 2,5 м/с2. Определить период Т колебаний маятника.

79.За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания.

2

80. Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

72

3 . МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

3 . 1 . ЗАКОНЫ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ. МОЛЕКУЛЯРНОКИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ

Основные формулы

1. Количество вещества

н= m	, или	н=	N	,
µ			NA

где N – число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т. д.);

NА – постоянная Авогадро;

µ– молекулярная масса.

2.Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Менделеева– Клапейрона)

pV = mµ RT,

где т – масса газа; µ – молярная масса газа;

R – универсальная газовая постоянная;

Т– термодинамическая температура.

3.Закон Дальтона

p = p1 + p2 +... + pn ,

где р – давление смеси газов;

рi – парциальное давление i-го компонента смеси; п – число компонентов смеси.

4. Молярная масса смеси газов

µ	cм	= m1 +m2 +... +mn .
			н	+ н	2	+... + н	n
		1

5. Концентрация частиц(молекул, атомов ит. п.) однороднойсистемы

n = N V = N A ρ µ.

где V – объем системы;

ρ – плотность вещества.

73

6. Основное уравнение кинетической теории газов

p = 23 n εn ,

гдеεn – средняякинетическаяэнергияпоступательногодвижениямолекулы.

7. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

ε1 = 12 kT ,

а приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы) –

ε = 2i kT.

где k – постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

εn = 32 kT.

8.Зависимостьдавления газаотконцентрациимолекулитемпературы

p = nkT.

vкв	=		3k T m1 ,	или	vкв		=	3RT µ;
средняя арифметическая:
v =		8k T (πm1 ),		или	v =			8RT (πµ);
наиболее вероятная:
v	в	=	2k T m ,	или	v	в	=	2RT ,
			1
9. Скорость молекул:
средняя квадратичная:

µ

где т1 – масса одной молекулы.

74

Примеры решения задач

Задача 1 . Сколько молекул содержится в 1 м3 водорода при нормальных условиях? Какова масса одной молекулы водорода?

Дано:	Решение
V = 1 м3	Число молекул в одном моле любого газа
T = 273 °К	(число Авогадро) NА = 6,02·1023 1/моль. Объем од-
р = 1·105 Па	ного моля любого газа (в том числе и водорода)
µ = 2·10–3 кг/моль	при нормальных условиях V0 = 22,4 л/моль =
	= 22,4·10–3 м3/моль. Следовательно, число молекул
п0 = ?	водорода, содержащихся в 1 м3 при нормальных
т = ?	условиях, определяется соотношением

n = N A = 2,69 1025 1/моль.
0	V0
Эта величина одинакова для любого газа и называется числом
Лошмидта. Масса одной молекулы водорода m =		µ =3,3 10−27 кг.
		NA

Задача 2 . Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7 °С и давлении 700 мм рт.ст.

Дано:

m1 = 4 г = 0,004 кг µ1 = 2·10–3 кг/моль m2 = 32 г = 0,032 кг µ2 = 32·10–3 кг/моль

T = 280 °К

рсм = 700 мм рт. ст. = = 700·133 = 9,31·104 Па

ρсм = ?

Решение

Чтобы найти плотность смеси, необходимо знать ее массу и объем, тогда

ρcм = mVсм ; mсм = m1 +m2.

Объем смеси можно найти, используя уравнение Менделеева–Клапейрона:

p = p + p	; p V = m1 RT; p V = m2									RT;
см 1 2	1		µ1					2	µ2
				m2			RT
	m1
pсм =		µ	+	µ	2		V	,
		1
			75