Slinkina_Mekh_i_mol_fiz_2

отсюда

m1

m2

+

µ

µ

2

RT

V =

1

,

и тогда

pсм

(m1 +m2 )pсм

(4 10−3

10−3 )9,31 104

+32

3

ρсм

=

=

= 0,48

кг/м

.

m m

4 10−3

32

10−3

1

+

2

+

8,31 280

µ1

RT

2 10

−3

32

10

−3

µ2

Задача 3 . Дан график зависимости объема идеального газа от температуры. По этой известной зависимости построить графики в осях

р – Т.

Расшифруем, графики каких процессов показаны на осях: 1—2 – изобарический процесс (р1 = const);

2—3 – изотермический процесс;

3—4 – изобарический процесс (р2 = const, но р2 < p1). Вычертим графики этих же процессов на других осях:

	4
V	p	1	2
	3
1	2		3	4	T
	T

Задача 4 . Открытый сосуд с газом нагрели от 27 °С до 127 °С. Определить, как изменилась масса газа в сосуде. Изменением размеров сосуда при нагревании пренебречь.

Дано:

Т1 = 300 °К

Т2 = 400 °К

V1 = V2 = V0

m2 =? m1

Решение

При нагревании открытого сосуда с газом в сосуде остаются постоянными давление и объем сосуда. Процесс перехода газа из одного состояния в другое является изобарным, но воспользоваться уравнением ГейЛюссака нельзя, так как меняется масса газа. Поэтому запишем уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение

76

состояния) для двух состояний газа:

p V = m1				RT ,		p V =			m2	RT .
0	0		µ	1		0	0	µ		2
откуда							T1
m2	=	T1	,	m	= m			= 0,75 m .
m		T		2		1	T			1
1		2					2

Задача 5 . В закрытом баллоне объема V1 = 2 л находится воздух, давление которого р1 = 0,53·105 Па при комнатной температуре. Затем баллон опускают в воду той же температуры и на глубине h = 1,2 м открывают. Какой объем воды V войдет в баллон, если атмосферное давле-

ние р0 = 0,99·105 Па?

Дано:

Решение

р1 = 0,53·105 Па

Здесь имеет место изотермический процесс

V1 = 2 л = 2–3 м3

сжатия воздуха в баллоне. По закону Бойля-

р0 = 0,99·105 Па

Мариотта

h = 1,2 м

p1V1 = p2V2 ,

ρ = 103 кг/м3

V = ?

где р2 – давление на глубине h.

p

2

= p +ρgh =1,10 105 Па.

0

p1V1

−3

3

p1

V =V1 −V2 =V1

−

=V1 1−

=1,045 10

м =1,045 дм

.

p2

p2

3 . 2 . ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n = n0e−UkT ,

где п – концентрация частиц;

U – их потенциальная энергия;

п0 – концентрация частиц в точках поля, где U = 0; k – постоянная Больцмана;

77

T – термодинамическая температура;

е– основание натуральных логарифмов.

2.Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

p = p e−mgh /(kT ), или	p = h e−µgh /(RT ),
0	0

где р – давление газа; т – масса частицы; µ – молярная масса;

h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 – давление на этом уровне;

g – ускорение свободного падения;

R– универсальная газовая постоянная.

3.Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до х + dх, равна

dW (x)= f (x)dx,

где f (х) – функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до х + dх,

dN = NdW (x)= N f (x)dx.

5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до

v + dv,

	m 3/ 2			−mv2 /(2kT )		2
dN(v)= N f (v)dv = 4πN			e		v		dv,
	2πkT

где f (v) – функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v + dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале;

N – общее число молекул; т – масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от и до и + dи,

dN(u)= N f (u)du =	4	Ne−u2 u2du,
	π
78

где u = v / vв – относительная скорость, равная отношению скорости v к

наивероятнейшей скорости vв;

f (и) – функция распределения по относительным скоростям.

6.Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа

вединицу времени,

z = 2 πd 2n v ,

где d – эффективный диаметр молекулы; п – концентрация молекул;

v – средняя арифметическая скорость молекул.

7. Средняя длина свободного пробега молекул газа

l =	1
	2 πd 2n .

8. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

dp = η(dv / dz)∆ S dt,

где η – динамическая вязкость газа;

dv / dz – градиент (поперечный) скорости течения его слоев; ∆S – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.

9. Динамическая вязкость

η=1 3ρ v l ,

где ρ – плотность газа (жидкости);

v – средняя скорость хаотического движения его молекул;l – их средняя длина свободного пробега.

10. Закон Ньютона

F = dp / dt = η(dv / dz)∆S,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. 11. Закон Фурье

∆Q = −K (dT / dx)S ∆t,

где ∆Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S – за время ∆t;

К – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры.

79

12. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа

K =1 3cV ρ v l , или K =1 6 kn v l ,

где сV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа;

v – средняя арифметическая скорость его молекулы;l – средняя длина свободного пробега молекул.

13. Закон Фука

∆m = −D (dndx)m1S ∆t ,

где ∆т – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время ∆t;

D – коэффициент диффузии;

dndx – градиент концентрации молекул; т1 – масса одной молекулы.

14. Коэффициент диффузии

D = 13 v l .

80

Примеры решения задач

Задача 1 . Какая часть молекул кислорода, находящегося при температуре Т = 300 °К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше, чем на 4 м/с.

Дано:								Решение
∆v = 8 м/с				Закон распределения молекул по скоростям (закон
Т = 300 °К			Максвелла): число молекул ∆N, относительные скорости
			которых лежат в интервале от u до u + ∆u, равно
∆N	=?
								∆N = N f (u) ∆u.
N									(1)
	Здесь N	– полное число молекул газа,
			4	e	−u2	u	2	– функция распределения Максвелла,
	f (u)=
			π

u = vvв,

где v – данная скорость;

vв – наиболее вероятная скорость.

Уравнение (1) справедливо при условии ∆u << u. По условию задачи v = vв, следовательно, u = vvв =1 и уравнение (1) примет вид

∆N			=			4			∆u.
N						π e

Сначала убедимся, что ∆u << u. Так как u = vvв, то

∆u =	∆v .	(2)
	vв
81

Определим теперь наиболее вероятную скорость

vв =	2RT	= 3,95 102 м/с.
	µ

Подставляя это значение vв в (2) и имея ввиду, что ∆v = 8 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежащих в интервале от

(vв – 4) м/с до (vв + 4) м/с, получим

		∆u =	8		= 2,02 10−2	,
			3,95 102
т. е. ∆u << u.
∆N	=	4	∆u =	4 2,02 10−2
N					= 0,017.
		π e			3,14 2,7

Задача 2 . Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при давлении 2 мм рт. ст и температуре 27 °С.

	Дано:		Решение
р = 2 мм рт. ст. = 266 Па			Средняя продолжительность свобод-
Т = 300 °К			ного пробега молекул равна отношению
µ = 32 ·10–3 кг/моль			l
–10		м (из таблицы)
σ = 2,9 ·10			v ,
τ = ?

где l – средняя длина свободного пробега молекул;v – средняя арифметическая скорость молекул.

Среднюю длину свободного пробега молекул газа можно вычислить по формуле

l =	kT	,
	2πσ2 p

где σ – эффективный диаметр молекул; k – постоянная Больцмана.

Средняя арифметическая скорость формуле

v = 8πµRT

молекул газа вычисляется по

.

82

Тогда

τ =	kT πµ	=	1,39 10−23 300 3,14 32 10−3		−8	c.
	2πσ2 p 8RT		16 8,31 300 3,14 266 (2,9 10−10 )2	= 9,3 10

Ответ: τ = 9,3 ·10–8 с.

Задача 3 . Пространство между двумя большими параллельными пластинами заполнено гелием. Расстояние между пластинами ∆l = 50 мм. Одна пластина поддерживается при температуре Т1 = 293 °К, другая при температуре Т2 = 313 К. Вычислить поток тепла q, приходящейся на единицу площади пластин, если давление в газе 760 мм рт.ст.

Дано:

∆l = 5 ·10–2 м

T1 = 293 °К

T2 = 313 К р = 105 Па

∆qS = ?

Решение

Из закона Фурье количество теплоты, прошедшее посредством теплопроводности через площадь ∆S за время ∆t, равно

Q= −K ∆T ∆S ∆t.

∆l

Поток тепла представляет собой количество тепла, прошедшее через площадь ∆S за единицу времени, поэтому

q		Q		− K	∆T	∆S ∆t		ДT
					∆l		= −K
	=		=						.
∆S		∆S ∆t			∆S ∆t			Дl

Коэффициент теплопроводности

K = 1	v l ρ c ,
3	V

где ρ – плотность гелия;

v =	8RT	;	l =	kT	; cV = iR .
	πµ			2πσ2 p	2µ

Плотность гелия при данных условиях можно найти, пользуясь уравнением Менделеева–Клапейрона

83

pV = mµ RT,

откуда

Vm =ρ = RTpµ .

Подставив выражения для v , l , cV и ρ выразим К:

							iR		RT	iR
K =	1	8RT		RT		pµ		=	πµ	,
	3	πµ		2 πσ2 pN A		RT	2µ	3	πσ2 N A

где T =T1 +T2 2.

Тогда поток тепла через единичную площадь будет равен

		iR	RT	(T −T )
q	=		πµ	2	1	= 20	Bт	.
			3 πσ2 N A ∆l
∆S							м2

84

4. ТЕРМОДИНАМИКА

4 . 1 . ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Основные формулы

1. Связь между молярной (Сµ) и удельной (с) теплоемкостями газа

Cµ = cµ,

где µ – молярная масса газа.

2. Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны

CV = iR / 2, Cp = (i + 2)R / 2,

где i – число степеней свободы;

R– универсальная газовая постоянная.

3.Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны:

cV = 12 µR , cp = i +22 µR .

4.	Уравнение Р. Майера
				Cp −CV		= R.
5.	Показатель адиабаты
	γ = c	p	c , или	г =C	p	C , или	γ = i +2 .
			V			V	i

6. Внутренняя энергия идеального газа

U = N ε , или U = нCV T,

где ε – средняя кинетическая энергия молекулы; N – число молекул газа;

ν – количество вещества.

∆U = 2i mµ R (T2 −T1 ) – изменение внутренней энергии.

85