- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
- •ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
- •ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ
- •ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
- •ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
- •ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
- •ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
- •ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC
- •ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
- •ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ
- •ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M
- •ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ
- •ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
- •ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
- •ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ
- •ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Бруне. Примеры реализации RLC-двухполюсников.
ОбщийметодсинтезадвухполюсниковспотерямипоО. Бруне.
Рассмотренные выше методы реализации цепей с двумя типами элементов практически неприменимы в случае положительных вещественных функций с комплексными нулями и полюсами, так как в разложении на простые дроби положительность и вещественность вычетов не гарантируется.
Общий метод синтеза, разработанный О. Бруне, завершает доказательство основной теоремы синтеза демонстрацией того, что если рациональная функция является положительной и вещественной, то всегда существует линейный пассивный с сосредоточенными и неизменными во времени параметрами двухполюсник, сопротивлением (или проводимостью) которого эта функция является.
Метод Бруне состоит из нескольких этапов, последовательно снижающих порядок заданной входной функции.
1. Поскольку полюсы положительной вещественной функции на мнимой оси простые, а вычеты в них вещественные и положительные, то соответствующие члены в разложении ее на элементарные дроби всегда могут быть реализованы одной из схем Фостера. Таким образом, при выделении из положительной вещественной функции полюсов на мнимой оси, включая p = 0 и p = ∞, достигается частичная реализация и упрощение данной функции.
После выделения полюсов оставшаяся функция проверяется на наличие нулей на мнимой оси и, если такие нули появляются, то берется обратная функция от оставшейся и выделяются получающиеся при обращении полюсы на оси jω. В результате остается функция, являющаяся положительной вещественной и не имеющая полюсов и нулей на мнимой оси, она называется функцией минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости F(p).
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-398- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее
Re F(jω)
|
|
min Re F(jω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
0 |
|
|
|
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 39.1 |
2. Полученная функция минимальной реактивности может быть упрощена выделением минимального значения вещественной составляющей этой функции на мнимой оси (рис. 39.1).
Выделение minReF(jω) соответствует реализации последовательного сопротивления R1, если F(p) − входное сопротивление, или параллельного (шунтирующего) сопротивления, если F(p) − входная проводимость двухполюсника (рис. 39.2).
Оставшаяся функция F1(p) = F(p) – minReF(jω) является положительной вещественной, не имеет полюсов и нулей на мнимой оси и ее вещественная часть равна нулю при p = jω1(ReF(jω1) = 0), ее называют минимальной функцией.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y(p) |
|
|
|
|
|
|
|
Y1(p) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 39.2
Частичная реализация заданной функции, вплоть до момента получения минимальной функции, приводит к цепи, состоящей из реактивных элементов L и C и активных сопротивлений R1 (рис. 39.2), которая называется
предварительной цепью Фостера.
3. Очевидно, если минимум R1 выделяется на конечной частоте jω1, то оставшаяся после его выделения минимальная функция F1(jω1) является чисто мнимой величиной.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-399- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее
Предположим F1(p) = Z1(p) − минимальное сопротивление двух-
полюсника |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
(p)= |
M (p) |
= |
an pn + an−1 pn−1 +…+ a1 p + a0 |
. |
||
|
|
||||||
1 |
|
|
|
N (p) |
bm pm +bm−1 pm−1 +…+b1 p +b0 |
||
|
|
|
|
||||
При p = jω1, |
ReF(jω1) = 0, |
Z1(jω1) = ±jx1, т. е. Z1(jω1) чисто реактивное. |
|||||
Возможно два случая Z1(jω1) = –jx1 и Z1(jω1) = +jx2. |
|||||||
В первом случае |
Z1(jω1) = –jx1 можно представить отрицательной ин- |
||||||
дуктивностью L = − |
x1 |
|
(рис. 39.3). |
||||
|
|||||||
1 |
|
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 < 0
Z1(jω1)
|
|
|
Рис. 39.3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 < 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
Y3(p) |
|||
Z1(p) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
C
Рис. 39.4
Выделив из сопротивления Z1(p) сопротивление индуктивности pL1, получим Z2(p) = Z1(p) – pL1, которое имеет нуль на мнимой оси при p = +jω1 (действительно, Z2(jω1) имеет ReZ1(jω1) = 0 и при выделении индуктивности
L1 Z2(jω1) = 0).
Z2 (p)= Z1 (p)− pL1 = MN2((pp)).
Степень полинома M2(p) на единицу больше степени полинома M(p) (числителя функции Z1(p)).
4. Функция Y2(p) = 1/Z2(p) имеет полюс при p = +jω1, вычет в котором вещественный положительный. Выделение из функции Y2(p) полюса при
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-400- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее
p2 = −ω12 дает последовательный колебательный контур (рис. 39.4) с положи-
тельными L2 и C.
Из рис. 39.4 видно, что на частоте ω1 возникает последовательный резонанс контура L2C и правая часть схемы оказывается короткозамкнутой.
L = |
1 |
|
, |
C = |
1 |
|
, |
2k |
|
= |
lim |
Y2 |
(p)(p2 + ω12 ) |
. |
2k |
|
ω2L |
|
|
p |
|||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
p2 →−ω12 |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Оставшаяся после выделения контура L2C-функция
Y |
( p) =Y |
( p) − |
2k2 p |
= |
M3 ( p) |
|||
p2 +ω2 |
||||||||
3 |
2 |
|
|
N |
3 |
( p) |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
имеет степень числителя M3(p), равную n – 2, а степень знаменателя n – 1, а значит, имеет нуль в бесконечности. Положительная вещественная функция Z3(p) = 1/Y3(p) имеет полюс при p = ∞ с положительным вещественным вычетом, который выделяется и реализуется индуктивностью L3 > 0 (рис. 39.5).
|
L1 < 0 |
|
|
L3 < 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z4(p) |
|||
Z1(p) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C
Рис. 39.5
Функция Z4 (p)= Z3 (p)− pL3 = MN44 ((pp)) является положительной веще-
ственной функцией со степенями полиномов M4(p) и N4(p), равными n – 2. На этом завершается один цикл синтеза по Бруне, к оставшейся после него функции Z4(p) также может быть применен следующий цикл Бруне до полной реализации двухполюсника.
Полученные три индуктивности, одна из которых отрицательна, могут быть заменены трансформатором (рис. 39.6).
I2′
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-401- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее
|
|
|
L1 |
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2′ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|||||||||
I1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
U2 |
|
U1 |
|
LP |
|
|
|
LS |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
Рис. 39.6
Условием эквивалентности цепей (рис. 39.6, а, б) является равенство их параметров:
U1 = Z11I1 + Z12I2′ .
U2 = Z21I1 + Z22I2′
Для Т-образного четырехполюсника (рис. 39.6, а) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Z = |
U1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
U1 |
|
= p(L + L ), |
Z = |
U1 |
|
= pL |
||||||||||
|
|
U1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11 |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
12 |
I′ |
|
2 |
|||||
|
|
|
1 |
I′ =0 |
|
|
|
(pL1 + pL2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
I =0 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Z |
22 |
= |
U2 |
|
|
= p(L |
+ L ), |
Z |
21 |
= |
U2 |
|
|
|
= pL . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
I2′ |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
I1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I′ |
=0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Для трансформатора (рис. 39.6, б) справедлива система уравнений:
U1 = pLP I1 + pM I2′,
U2 = pM I1 + pLS I2′,
откуда Z11 = pLp, Z22 = pLS, Z12 = pM. |
|
|
|
|
|
|
|
L1 + L2 |
|
L2 |
|
|
LP |
M |
|
[ZT ]= p |
L |
L |
+ |
L |
|
= M L . |
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
S |
Таким образом, для цикла Бруне Lp = L1 + L2, |
LS = L2 + L3, M = L2. |
|||||||
Коэффициент связи трансформатора |
|
|
|
|||||
kCB = |
M |
= |
|
L2 |
|
. |
||
LP LS |
(L |
+ L |
)(L + L ) |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
2 |
3 |
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-402- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее
Если kCB = 1, то трансформатор называется совершенным, практически можно реализовать трансформатор, близкий к совершенному (kCB = 0,99).
Тогда
|
|
L2 |
|
|
L L + L L + L L |
|
|||
|
|
2 |
|
=1− |
1 2 |
1 3 |
2 3 |
=1, |
|
(L |
+ L |
)(L |
+ L ) |
|
)(L |
+ L ) |
|||
|
(L |
+ L |
|
||||||
1 |
2 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
2 |
3 |
|
откуда
L1L2 + L1L3 + L2L3 = 0.
Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы одна из индуктивностей была отрицательной.
ПримерыреализацииRLC-двухполюсников.
Пример 1. Методом Бруне реализовать входную функцию
Z (p) |
= |
p5 +3 103 p4 + 7 106 p3 +12 109 p2 +11 1012 p + 6 1015 |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 p5 +103 p4 +107 p3 + 4 109 p2 +8 1012 p |
|
||||||
Решение. 1. Разложим функцию Z(p) на множители |
|
|||||||||||||
Z(p)= |
103 |
(p2 +3 106 )(2p2 +103 p+2 106 )+(p2 +4 106 )(p2 +103 p+2 106 )p |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
p(p2 |
+4 106 )(2p2 |
+103 p+2 106 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
103 (p |
2 +3 106 ) |
+ |
p2 +103 p + |
2 106 |
= ZP (p)+ Z1′(p). |
|
||||||
|
|
|
p(p2 |
+ 4 106 ) |
2 p2 +103 p + 2 106 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zp(p) является входным сопротивлением реактивного двухполюсника.
Нули Zp(p) при p = ± j 3 103 , p = ∞; полюсы при p = 0, p = ±j2·103.
Zp(p) реализуется первой схемой Фостера, представленной на рис. 39.7.
L2′
Ca
ZP(p) С2′
Рис. 39.7
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-403- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Примеры реализации RLC-двухполюсников
Элементы схемы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
= k |
0 |
|
= lim |
pZ |
P |
(p) = 3 |
103 |
, |
C |
0 |
=1,33 10−3 |
Ф, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
C0 |
|
|
|
p→0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2k2′ |
= |
1 |
|
= |
|
|
lim |
ZP (p)(p2 + 4 106 ) |
= |
103 |
, |
C2′ = 4 |
10 |
−3 |
Ф, |
||||||||||
|
C2′ |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
p2 |
→−4106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
L2′ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
= 62,5 10−6 Гн. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ω2C2′ |
4 106 4 10−3 |
|
|
|
Оставшаяся функция Z1′(p) является положительной вещественной и не имеет полюсов и нулей на мнимой оси, Z1′(p) − функция минимального
реактивного сопротивления.
2. Выделим из функции Z1′(p) минимальное значение вещественной
составляющей на мнимой оси. Для p = jω
Z1′( jω)= −−ω22+ j1033ω+ 2 1066 . 2ω + j10 ω+ 2 10
Разделяя вещественную и мнимую составляющие, получим
Z1′( jω)= |
2ω4 −5 106 ω2 + 4 1012 |
− j |
103 ω3 |
|
. |
|
4ω4 −7 106 ω2 + 4 1012 |
4ω4 −7 106 ω2 |
+ 4 1012 |
||||
|
|
|
Вещественная составляющая имеет минимум в одной из точек, где производная ddω(Re Z1′( jω))= 0. Определим значения ω и min Re Z1′( jω) из этого условия:
|
2ω4 |
−5 106 |
ω2 + 4 1012 ′ |
5 |
|
6 3 |
12 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
0, 3ω −8 |
10 |
ω + 4 10 |
ω= 0, |
|
||
4 |
|
6 |
2 |
12 |
|
|||||||||
4ω −7 10 |
|
ω + 4 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда ω1 = 0, |
ω2 = |
8 106 ± |
64 1012 − 48 1012 |
, ω2 = 2 |
106 , |
ω2 |
= 2 |
106 . |
||||||
|
|
2,3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-404- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Примеры реализации RLC-двухполюсников
При полученных ω вещественная составляющая принимает следующие значения:
|
|
Re Z1′(ω= |
|
2 |
|
6 |
)= |
1 |
|
|
2 |
= |
2 |
10 |
6 |
|
7 |
. |
|
|||
|
|
0)=1, Re Z1′(ω2 = 2 10 |
|
3 |
, Re Z1′ |
ω3 |
3 |
|
= |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Очевидно, |
вещественная часть |
Z |
′ |
(p) |
принимает минимальное значе- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние |
R = 1 |
при |
ω = |
2 103 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделив R1, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z1 (p) |
= Z1′(p)− R1 |
= |
p2 +103 p + 2 106 |
|
− 1 = |
p2 + 2 103 p + 4 106 |
|
, |
|||||||||||||
|
2 p2 +103 p + 2 106 |
|
3(2 p2 +103 p + 2 106 ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
которая является минимальной функцией.
Частичная реализация входной функции дает предварительную цепь Фостера (рис. 39.8).
|
|
|
|
|
|
L2′ |
|
|
|
|
|
|
|
Ca |
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2′ |
|
|
|
|
|
|
|||
Z(p) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Z1(p) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 39.8
3. Определим значения вещественной и мнимой частей Z1(p) при
ω2 = 2 103 .
|
Z |
( jω)= |
−ω2 + j2 103 ω+ 4 106 |
= |
|
||
|
3(−2ω2 + j103 ω+ 2 106 ) |
||||||
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
2ω4 −8 106 ω2 +8 1012 |
103 ω3 |
|||||
= |
|
− j |
|
. |
|||
3(4ω4 −7 106 ω2 + 4 1012 ) |
4ω4 −7 106 ω2 + 4 1012 |
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-405- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Примеры реализации RLC-двухполюсников
Re Z1 (p)ω2 = 2 103 = 0 , что и следовало ожидать, поскольку Z1(jω) − минимальная функция.
|
|
|
|
Im Z ( jω) |
|
|
|
3 = − |
|
|
2 |
= −x = ωL , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ω2 = 2 10 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
L = − |
|
|
= − |
|
2 |
|
|
|
|
|
= −110−3 Гн. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
ω |
3 |
2 103 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Выделив индуктивность L1 из Z1(p), получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
(p)= Z |
(p)− pL |
= |
|
|
p2 + 2 103 p + 4 106 |
|
+10−3 p = |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3(2 p2 +103 p + 2 106 ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
3 |
|
) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 106 |
) |
|
|
|
|
|
( |
p2 + 2 106 |
)( |
|
|||||||||
= |
|
2 10−3 p3 + p2 + 2 103 p + |
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
10−3 p +1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
3(2 p2 +103 p + 2 106 ) |
|
|
|
|
|
|
|
3(2 p2 +103 p + 2 106 ) |
|||||||||||||||||||||||
Функция Z2(p) имеет степень числителя на единицу выше степени |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функции Z1(p), а также имеет нуль на мнимой оси при p = ± j |
2 103 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
L = 1 10−3 Гн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y3(p) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 39.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Функция Y2(p) = 1/Z2(p) имеет полюс при ω = |
2 103 . Выделение |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
этого полюса дает последовательный колебательный контур L2C (рис. 39.9).
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-406- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Примеры реализации RLC-двухполюсников
2k |
2 |
= |
|
lim |
|
Y2 (p)(p2 + 2 106 ) |
=1500, L |
|
= 0,67 10−3 Гн, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
p2 →−2106 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
C = |
1 |
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,75 10−3 Ф. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
10 |
6 |
0,67 10 |
−3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ω L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Определим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y3 (p) |
=Y2 (p)− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
+ 2 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
3(2 p2 +103 p + 2 106 ) |
− |
|
|
|
3 |
103 p |
|
|
|
= |
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
−3 |
|
|
) |
|
( |
|
2 |
|
|
|
6 |
) |
|
|
|
( |
−3 |
|
) |
||||||
|
2 |
|
p |
+ 2 10 |
)(10 |
p +1 |
2 |
|
|
p |
|
+ 2 10 |
|
|
|
2 10 |
p +1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Положительная вещественная функция Z3 (p) |
= |
|
|
1 |
|
= |
2(10−3 p +1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
Y3 |
(p) |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет полюс при p = ∞, который реализуется индуктивностью L3.
Z3 (p)= 3210−3 p + 32 = L3 p + R,
L = 0,67 |
10−3 Гн, |
R = 0,67 Ом. |
3 |
|
|
Полная и эквивалентная схемы, реализующие входную функцию, пока-
заны на рис. 39.10, рис. 39.11.
|
С0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
|
|||
|
L2′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
С2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||
Z(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z′ |
(p) |
Z1(p) |
|
|
|
|
|
|
Z3(p) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2(p) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 39.10
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-407- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Примеры реализации RLC-двухполюсников
|
С0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LP = L1 + L2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
LP |
|
|
|
|
|
LS |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LS = L2 + L3 |
|
|||||||
Z(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 39.11
Во втором случае Z1(jω1) = + jx1 можно представить индуктивностью
L = |
x1 |
> 0 и выделить pL1 из Z1(p). Функция Z2(p) = Z1(p) – pL1 не будет по- |
|||||
ω |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ложительной |
вещественной, |
поскольку |
при |
вычитании |
Z1 (p)− pL1 = MN1((pp)) − pL1 получим в числителе Z2(p) члены с отрицательны-
ми коэффициентами. Однако функция Z2(p) имеет нуль при p = ±jω1, и если из обратной функции Y2(p) = 1/Z2(p) выделить полюс при p = ±jω1, в котором положительный вещественный вычет, то получится параллельная ветвь из L2
и C (рис. 39.9).
Оставшаяся функция Z3(p) = 1/Y3(p), где Y3 (p)=Y2 (p)− |
2k2 p |
, имеет |
p2 + ω2 |
||
1 |
|
полюс в бесконечности с отрицательным вычетом, выделяя который, можно получить L3 < 0 (рис. 39.12).
|
L1 > 0 |
|
|
|
|
|
L3 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
||||
Z1(p) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z4(p) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2(p) Z3(p)
Рис. 39.12
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-408- |
ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Примеры реализации RLC-двухполюсников
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LP |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
LS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z4(p) |
|||
Z1(p) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
Рис. 39.13
После выделения L3 остается положительная вещественная функция Z4(p), к которой может быть применен следующий цикл Бруне. Полученные три индуктивности, как и в первом случае, могут быть заменены совершенным трансформатором (рис. 39.13).
Контрольныевопросы
1.Из каких этапов синтеза состоит метод Бруне?
2.Какая функция называется функцией минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости?
3.Какую функцию называют минимальной функцией?
4.Что называется предварительной цепью Фостера?
5.При каких условиях трансформатор называется совершенным?
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-409- |