Курс лекций по мат. анализу I
.pdfПример 7. Найти асимптоты графика функции f (x)= xe 1x .
☺ Сначала найдем ее наклонные асимптоты. Используя формулу Тейлора, представим функцию в виде
f (x)= xe |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
1 |
|
= x |
+1 + o(1). |
|
x = x 1 |
x |
+ o |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
Следовательно, прямая |
|
y = x +1 |
будет на- |
клонной асимптотой нашей функции. Вертикальные асимптоты следует ис-
кать там, где функция имеет разрыв, т.е. в
нашем случае в точке x = 0 . С помощью правила Лопиталя найдем предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e |
1 |
x |
|
|
x |
x |
2 |
|
|
1 |
+∞, |
x → 0 + 0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
xe |
|
x |
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= lim e |
|
x = |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
x → 0 −0. |
||||||||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, прямая |
|
|
x = 0 является |
правосторонней |
асимптотой графика |
|||||||||||||||
нашей функции. ☻ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример |
8. |
Найти асимптоты |
графика |
функции |
|
f (x)= x2 + x + 2 + x2 − x + 2 .
☺ Функция определена на всей вещественной оси и не имеет точек разрыва. Поэтому вертикальных асимптот нет.
Для нахождения наклонных асимптот используем формулу Тейлора:
f (x)= |
|
x |
|
1 + |
1 |
+ |
|
2 |
+ |
|
x |
|
1 − 1 + |
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
x |
|
1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ o |
+ 1 |
+ |
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
+ o |
= |
x |
|
2 |
+ o |
= |
||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
= 2 |
|
x |
|
+ o(1). |
Это |
означает, что функция |
имеет две |
наклонные |
асимптоты |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y = 2x , если x → +∞ и y = −2x , если x → −∞. ☻
Если угловой коэффициент наклонной асимптоты равен нулю, то получается горизонтальная асимптота, которую мы будем считать частным случа-
ем наклонной. В этой ситуации достаточно сразу искать b = lim f (x), если он
x→∞
конечен.
3 |
(x −3)2 |
|||
Например, функция, рассмотренная в примере 1, f (x)= |
|
|
|
имеет |
|
x2 |
|
||
|
|
− 4 |
3 (x −3)2
горизонтальную асимптоту y = 0 , так как k = lim ( )= 0 и
x→∞ x x2 − 4
170
3 |
(x −3)2 |
|||
b = lim |
|
|
|
= 0 . |
|
x2 |
|
||
x→∞ |
− 4 |
Очевидно, что асимптоты графика функции характеризуются следующим свойством: Расстояние от точки M (xM , yM ), лежащей на
графике до асимптоты стремится к нулю при условии, что точка графика уходит в бесконеч-
ность, т.е. xM2 + yM2 → ∞.
7.6.Исследование функции и построение графика
Изучение поведения функции целесообразно проводить по следующему
плану:
1.Найти область определения функции и ее точки разрыва.
2.Отметить такие свойства, как четность, нечетность, периодичность (если они есть).
3.Вычислить первую производную и найти промежутки возрастания и убывания функции, а также ее экстремумы.
4.Найти вторую производную и исследовать функцию на выпуклость. Найти точки перегиба функции.
5.Найти асимптоты графика функции.
6.Если надо, найти дополнительные точки, например, точки пересечения графика с координатными осями.
7.Построить график.
Пример 9. Исследовать функцию f (x)= |
x3 |
. |
|
(x −1)2 |
|||
|
|
☺1) Область определения этой функции D( f )= (−∞,1) (1, +∞). Точка
x=1 - точка разрыва функции.
2)Функция не является ни четной, ни нечетной.
3)Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Для этого найдем про-
изводную: f ′(x)= x2 (x −3) и исследуем ее знак.
Функция возрастает на промежутке (−∞,1) и на промежутке [3, +∞), и убывает на промежутке (1,3]. В точке x = 3 функция имеет минимум, причем f (3)= 278 .
171
4) |
Исследуем |
выпуклость этой функции. Найдем ее вторую производную: |
|||
|
′′ |
|
6x |
|
|
f |
(x)= (x −1)4 |
и исследуем ее знак. |
|||
|
Функция выпукла вверх на промежутке (−∞,0) и выпукла вниз на каждом из промежутков (0,1) и (1, +∞). Точка x = 0 - точка перегиба функции и f (0)= 0 .
5) Найдем асимптоты графика функции. Сначала возьмем точку разрыва функции и найдем предел функции при x , стремящемся к этой точке:
lim |
x3 |
|
|
= +∞, следовательно, прямая |
x =1 является вертикальной асимпто- |
||||||||
(x −1)2 |
|||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
той графика. Для нахождения наклонной |
|
|
|
||||||||||
асимптоты выделим целую часть из дро- |
|
|
|
||||||||||
би |
f (x)= |
|
x3 |
= x + 2 + |
3x + 2 |
. Так |
|
|
|
||||
(x −1)2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(x −1)2 |
|
|
|
|||||
как |
lim |
3x + 2 |
= 0 , то прямая y = x + 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
является наклонной асимптотой. |
|
|
|
||||||||||
6) Теперь можно построить график |
|
|
|
||||||||||
функции. ☻ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 10. |
Исследовать функцию f (x)= 3 |
x2 |
. |
||||||||||
x + 2 |
|||||||||||||
|
☺ 1) |
Область определения этой |
функции D( f ) = (−∞, −2) (−2,+∞). |
Точка x = −2 является точкой разрыва этой функции.
2)Функция не является ни четной, ни нечетной.
3)Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Найдем производную:
f |
′ |
(x)= |
x + 4 |
и исследуем ее знак. |
|
33 x(x + 2)4 |
|||||
|
Функция возрастает на промежутке (−∞, −4] и на промежутке [0, +∞), и убывает на промежутке [−4, −2) и на промежутке (−2,0]. Точка x = −4 - точка
172
максимума, причем |
f (−4) = −2 , а точка x = 0 - точка острого минимума. |
||||
f |
(0) = 0 . |
|
|
|
|
4) |
Исследуем функцию на выпуклость. Найдем вторую производную. |
||||
f ′′(x)= |
−2 |
(x + 4 − 2 3 )(x + 4 + 2 3 ) |
и исследуем ее знак |
||
|
93 x4 |
(x + 2)7 |
|||
|
|
|
|
Функция выпукла вниз на промежутке (−∞, −4 − 2 3 ) и на промежутке
(−2, −4 + 2 |
3 ), |
и |
|
выпукла |
вверх |
на |
каждом |
|
из |
промежутков |
||||||||||||
(−4 − 2 3, −2), (−4 + 2 |
3,0) и |
|
(0, +∞). Точки |
x = −4 ± 2 |
3 |
являются точками |
||||||||||||||||
перегиба. |
f |
(−4 + 2 |
3 )≈ 0,6 и |
|
f (−4 − 2 |
3 )≈ −2,1. |
|
|
|
|||||||||||||
5) Прямая |
x = −2 |
является вертикальной |
|
|
|
|
||||||||||||||||
асимптотой |
графика, |
|
так |
|
как |
|
|
|
|
|||||||||||||
lim 3 |
x2 |
|
= ∞. Для удобства построения |
|
|
|
|
|||||||||||||||
x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
графика, найдем односторонние пределы: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
3 |
|
x2 |
|
= −∞ |
и |
lim 3 |
|
|
x2 |
|
= +∞ . |
|
|
|
|
||||||
x + |
2 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→−2−0 |
|
|
|
|
x→−2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Наклонных |
|
асимптот |
нет, |
|
|
так |
|
как |
|
|
|
|
||||||||||
f (x) 3 x при x → ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) Построим график (отмечены точки пе- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
региба). ☻ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 11. Построить кривую, заданную параметрически: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t ) |
= |
t2 |
|
, |
y(t )= t2 −t +9 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t +1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t −1 |
|
|
|
|||
☺1) |
Кривая |
определена |
при |
|
t ≠ ±1, т.е. состоит |
из |
трех |
ветвей: для |
||||||||||||||
t (−∞,−1), для t |
(−1,1) |
и для t (1, +∞). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) Найдем сначала асимптоты кривой. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x → −∞, |
y → −5,5 при t → −1 −0 , и x → +∞, |
y → −5,5 при t → −1 + 0 , следова- |
||||||||||||||||||||
тельно, прямая y = −5,5 является горизонтальной асимптотой. |
|
|||||||||||||||||||||
Аналогично, |
если |
|
t →1 −0 , то |
x → |
1 , |
y → −∞, и, если |
t →1 + 0 , то x → 1 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
y → +∞, следовательно, прямая x = |
является вертикальной асимптотой. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
173 |
|
|
|
|
|
Обе переменные x и y |
стремятся к бесконечности только при t → ∞. По- |
|||||||||||||||||||
этому |
|
параметры |
наклонной |
|
асимптоты |
|
|
найдем |
при |
t →∞: |
|||||||||||
k = lim |
|
y(t ) |
= lim |
(t2 −t +9)(t +1) |
=1 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(t −1)t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
t→∞ x(t ) |
|
t→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
−t + |
9 |
|
t2 |
t2 |
+ |
8t +9 |
|
|
|
|
|||
b = lim |
(y(t )− kx(t ))= lim |
|
|
|
− |
|
|
= lim |
t2 |
|
=1. |
Отсюда, пря- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
t→∞ |
|
|
|
|
t→∞ |
t −1 |
|
|
|
t +1 |
t→∞ |
−1 |
|
|
|
|
|||||
мая y = x +1 - наклонная асимптота кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) Найдем |
производные от функций |
x(t ) и |
|
|
y(t ) |
по |
переменной |
t : |
|||||||||||||
x′(t )= |
t (t + 2) |
и |
y′(t )= |
(t − 4)(t + 2) |
, и две первые производные от |
y по |
x : |
||||||||||||||
(t +1)2 |
(t −1)2 |
|
|
||||||||||||||||||
y′x = |
(t − 4)(t +1)2 |
, при t ≠ −2 и y′′xx = |
(t +1)3 (16t − 4) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
t (t −1)2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
t3 (t + 2)(t −1)3 |
|
|
|
|
|
Исследуем функции x(t ) и y(t ) на монотонность.
Так как функции x(t ) |
и |
|
y(t ) |
определяют функцию |
y(x) |
на тех промежутках |
|||||||||
изменения переменной t , |
где x(t ) монотонна, то можно сказать, |
что в нашем |
|||||||||||||
случае |
мы |
|
имеем |
три |
функции: |
y1 (x) |
при |
t (−∞, −2], |
y2 (x) при |
||||||
t [−2, −1) (−1,0] и y3 (x) при t [0, +∞). |
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдем |
некоторые |
точки, |
|
лежащие |
на |
кривой: |
|||||||||
M1 (x(−2)= −4, y(−2)= −5); |
|
|
|
|
|
M2 (x(0)= 0, y(0)= −9), |
|||||||||
1 |
|
1 |
1 |
|
11 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
||
M3 x |
= |
|
|
, y = − |
|
, |
M4 x(4) |
= |
|
, y(4)= 7 . |
|
|
|||
20 |
|
5 |
|
|
|||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь составим сводную таблицу изменения параметров искомой кривой |
|||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
x(t ) |
|
|
|
|
|
y(t ) |
|
|
(−∞, −2) |
|
|
x(t ) возрастает от −∞ до −4 |
|
y(t ) |
возрастает от −∞ до −5 |
|||||||||
(−2, −1) |
|
|
x(t ) убывает от −4 до −∞ |
|
|
y(t )убывает от −5 до −5,5 |
|||||||||
(−1,0) |
|
|
x(t ) убывает от +∞ до 0 |
|
|
|
y(t ) |
убывает от −5,5 до −9 |
|||||||
(0,1) |
|
|
|
x(t ) возрастает от 0 до 12 |
|
|
y(t ) |
убывает от −9 до −∞ |
|||||||
(1,4) |
|
|
|
x(t ) возрастает от 12 до 16 5 |
|
y(t ) |
убывает от +∞ до 7 |
||||||||
(4, +∞) |
|
|
x(t ) возрастает от 16 5 до +∞ |
y(t ) |
возрастает от 7 до +∞ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
174 |
|
|
|
|
|
|
При t = 4 производная y′x = 0 и меняет знак с «-» на «+», поэтому соответствующая точка кривой является точкой минимума.
При t = 0 производная y′x = ∞, поэтому найдем x′y = (t − 4)(t +1)2 , t ≠ −2 . В точке t = 0 эта производная равна нулю и меняет знак с «-» на «+», поэтому эта часть кривой, рассматриваемая как функция x = x(y), имеет минимум в со-
ответствующей точке.
При t = −2 производной y′x не существует, но существуют ее предельные значения справа и слева, равные 13 .
4). Исследуем на знак вторую производную y′xx′ :
На промежутках (−∞, −2), (−1,0) и (14 ,1) кривая выпукла вверх, на про-
межутках (−2, −1), (0, 14) и (1, +∞) кривая выпукла вниз. При t = 14 вторая
производная y′′xx равна нулю и меняет знак, следовательно, в соответствующей точке кривая имеет перегиб. Строим график функции.☻
175
§8 Векторная функция скалярного аргумента
8.1.Определения
Определение 4.8.1. Если каждому значению t G , где G , ставится в соответствие вектор r (t ) трехмерного пространства, то будем говорить, что на
множестве G задана векторная функция r (t ) скалярного аргумента t или вектор-функция r (t ).
Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то задание векторной функции r (t ) равносильно заданию трех координатных функций
x(t ), y(t ) и z (t ). Это можно записать в виде r (t ) = (x(t ), y(t ), z (t )) или, используя координатные орты, r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z (t )k .
Если z (t ) = 0, t G , то функцию r (t ) называют двумерной.
Будем считать, что начало вектора r (t ) находится в начале координат, т.е. векторы r (t ) являются радиус-векторами. Тогда множество концов этих векторов называют годографом вектор-функции.
Символом r (t ) будем обозначать длину вектора r (t ), т.е. r (t ) = x2 (t )+ y2 (t )+ z2 (t ).
8.2.Предел и непрерывность
Определение 4.8.2. Вектор a |
называют пределом вектор-функции r (t ) при |
||||||||||||||||||||||
t →t0 , если lim |
|
r (t )− a |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Записывать этот факт будем следующим образом a = lim r (t ). |
|
||||||||||||||||||||||
Теорема 4.8.1. Вектор a = (a1, a2 , a3 ) |
|
|
|
|
t→t0 |
|
|||||||||||||||||
тогда и только тогда будет пределом |
|||||||||||||||||||||||
вектор-функции |
|
|
r (t ) |
|
|
|
при |
t →t0 , |
когда |
||||||||||||||
x(t ) →a , y |
(t ) →a |
2 |
, z (t ) →a . |
|
|
||||||||||||||||||
|
t→t0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
t→t0 |
3 |
|
|
|
|
||||
► Пусть |
a = lim r (t ), |
т.е. |
lim |
|
r (t )− a |
|
= 0 . |
Тогда |
x(t ) →a1 , |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
t→t0 |
||
y(t ) →a , z (t ) →a |
|
так как |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
t→t0 |
2 |
|
|
|
|
|
t→t0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x(t )− a1 |
|
|
|
|
|
≤ |
(x(t )− a1 )2 +(y(t )− a2 )2 + (z (t )− a3 )2 , |
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y(t )− a2 |
|
≤ |
(x(t )− a1 )2 +(y(t )− a2 )2 +(z (t )− a3 )2 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z (t )− a3 |
|
≤ |
(x(t )− a1 )2 +(y(t )− a2 )2 + (z (t )− a3 )2 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
176 |
|
|
|
|
|
|
Обратно, если x(t ) →a , y (t ) →a |
, |
z (t ) →a , то |
||||||
|
|
t→t0 |
1 |
t→t0 |
2 |
|
t→t0 |
3 |
r (t )− a |
|
= (x(t )− a1 )2 +(y(t )− a2 )2 +(z (t )− a3 )2 → 0 . ◄ |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t→t |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Очевидно, что для векторной функции выполнено утверждение: для того чтобы вектор a был пределом вектор-функции r (t ) при t →t0 необходимо и
достаточно, |
|
|
чтобы |
|
|
вектор-функцию |
|
можно |
|
было |
|
|
|
представить |
в |
виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r (t )= a +γ (t ), где γ (t ) → 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Свойства пределов вектор-функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Свойство 1. Если lim r (t )= a , то lim |
|
r (t ) |
|
= |
|
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
r (t )− a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Доказательство следует из неравенства |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
≤ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойство 2. Равенство lim r (t )= 0 равносильно равенству lim |
|
|
|
r (t ) |
|
= 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
В одну сторону это свойство следует из свойства 1, а в обратную из опре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
деления предела вектор-функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Свойство 3. Если r (t ) |
|
|
- векторная функция, а f (t ) - скалярная функция аргу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мента t G , причем |
t→t |
|
|
( |
t |
) |
= a |
t→t |
|
|
|
|
|
( |
t |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t |
( |
f |
( |
t |
) |
r |
( |
t |
)) |
= A |
a . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim r |
|
|
и lim f |
|
|
|
|
|
A, то lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t ), по- |
|||||||||||||
|
|
|
|
► По критерию того, что число A является пределом функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лучим f (t )= A + β (t ), где β (t )→ 0 при |
|
t →t0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Аналогично, r (t )= a +γ (t ), где |
|
|
lim γ (t )= 0 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f (t ) r (t )= (A + β (t ))(a +γ (t ))= A a +(β (t )a + Aγ (t )+ β (t )γ (t )), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
причем |
|
|
β (t )a + Aγ (t )+ β (t )γ (t ) |
|
≤ |
|
β (t ) |
|
|
|
a |
|
+ |
|
A |
|
|
|
γ (t ) |
|
+ |
|
β (t ) |
|
|
|
γ (t ) |
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так |
) |
как |
|
каждая |
|
) |
компонента |
правой |
|
|
|
|
|
части |
|
|
|
|
|
|
|
стремится |
|
( |
|
|
|
к нулю, |
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β |
( |
t |
a + Aγ |
( |
t |
) |
+ β |
( |
t |
γ |
( |
t |
) |
→ 0 , следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t0 ( |
|
f |
( |
t |
) |
r |
t |
)) |
. ◄ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A a = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойство 4. Если lim r |
|
(t )= a и |
lim r |
|
|
(t ) |
= a |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t→t 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) lim |
(r1 (t )+ r2 (t ))= a1 + a2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t→t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
(r1 (t ) r2 (t ))= a1 a2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t→t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim (r1 (t )×r2 (t ))= a1 ×a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
→t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
► Формула a) очевидно следует из того, что по условию можно записать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r1 (t )= a1 +γ |
1 |
(t ) и r2 (t ) |
= a2 |
+γ |
2 |
(t ), где lim γ |
1 |
|
(t )= lim γ |
2 |
(t )= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства формулы б) используем эти же представления векторных функций и свойства скалярного произведения:
177
r1 (t ) r2 (t )− a1 a2 = (a1 +γ1 (t ))(a2 +γ2 (t ))− a1 a2 =
= a1 γ2 (t )+ a2 γ1 (t )+γ1 (t ) γ2 (t )
Так как выполнено неравенство (a b ) ≤ a b , то правая часть разности стремится к нулю.
Формула в) доказывается аналогично, так как (a ×b ) ≤ ab . ◄
Определение 4.8.3. Вектор-функцию r (t ) будем называть непрерывной в
точке t = t0 , если lim r (t )= r (t0 ).
t→t0
Пусть дана вектор-функция r (t ), определенная в некоторой окрестности точки t = t0 . Разность ∆r (t0 )= r (t0 + ∆t )− r (t0 ) будем называть приращением вектор-функции r (t ) в точке t = t0 .
Очевидно, что вектор-функция непрерывна в точке t =t0 тогда и только
тогда, когда lim ∆r (t0 )= 0 .
∆t→0
Очевидно также, что непрерывность векторной функции в точке t =t0
равносильна непрерывности в этой точке координатных функций x(t ), y(t ), z (t ).
8.3. Производная и дифференциал
Определение 4.8.4. lim ∆r (t0 ), если он существует, называют производной
∆t→0 ∆t
вектор-функции r (t ) в точке t =t0 и обозначают r′(t0 ), ri (t0 ), или drdt(t0 ).
Таким образом, r′(t0 )= lim r (t0 + ∆∆tt)− r (t0 ).
∆t→0
Из свойств пределов следует, что r′(t0 )= (x′(t0 ), y′(t0 ), z′(t0 )).
Из определения производной получим ∆r (t0 )= r′(t0 )∆t +γ (∆t )∆t , где
lim γ (∆t )= 0 . Отсюда следует непрерывность векторной функции в каждой
∆t→0
точке, где эта функция имеет производную.
Произведение r′(t0 )∆t будем называть дифференциалом векторной
функции, а функцию, имеющую дифференциал, - дифференцируемой. Выясним геометрический смысл производной векторной функции. Пусть r (t ) векторная функция, дифференцируемая в точке t = t0 , причем
r′(t |
0 |
)≠ 0 . На |
годографе функции r (t ) |
построим |
точки M |
0 |
(x , y , z |
0 |
) и |
||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||
M1 (x1, y1, z1 ), где x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ), z0 = z (t0 ) и x1 = x(t0 + ∆t ), |
y1 = y(t0 + ∆t ), |
||||||||||
z1 = z (t0 + ∆t ). |
Тогда прямая M0M1 |
называется |
секущей, |
а |
вектор |
||||||
|
|
|
178 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆r (t0 )= r (t0 + ∆t )− r (t0 )= M0M1 - вектором секущей. Если r′(t0 ) ≠ 0 , то в некоторой окре-
стности точки |
t =t0 |
вектор |
∆r (t0 )≠ 0 |
и отно- |
|||
шение |
∆r (t0 ) |
≠ 0 . |
Тогда |
параметрическое |
|||
∆t |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
уравнение секущей |
можно |
записать |
в виде |
||||
r (λ)= r (t0 )+ |
∆r (t0 ) |
λ, λ . |
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
При ∆t → 0 точка M1 |
будет перемещать- |
ся по кривой и стремиться к точке M0 . При
этом секущая будет поворачиваться и стремится занять предельное положение, которое мы будем называть касательным. Таким образом, если существует
r′(t0 )≠ 0 , то, переходя к пределу в уравнении секущей, получим уравнение ка- |
|||||||
сательной r (λ)= r (t0 )+ r′(t0 )λ, λ |
|
или в канонической форме |
|||||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= |
z − z0 |
. |
|
x′(t0 ) |
y′(t0 ) |
|
||||
|
|
|
z′(t0 ) |
||||
Таким образом, мы доказали, что r′(t0 ) |
- вектор касательной к годогра- |
фу функции r (t ) в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) и, что этот вектор существует, если
r′(t0 )≠ 0 .
Замечание. Иногда под понятием «касательная» понимается касательный вектор. Так как график обычной функции можно понимать, как кривую, заданную параметрически (где в качесве параметра берется x ), то при таком подходе, то при таком подходе функция не будет иметь касательную в точках, где ее производная бесконечна, но знак этой бесконечности не определен.
Теорема 4.8.2. Если функции r1 (t ), r2 (t ) |
|
и |
f |
(t ) |
имеют производные в точке t , |
||||
то в этой точке справедливы формулы |
|
|
|
|
|
||||
a) (r |
+ r |
|
)′ = r′ + r ′; |
|
|
|
|||
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
||
б) ( f r )′ = f ′ r + f r′; |
|
||||||||
в) (r |
r )′ = r′ r + r |
r ′; |
|
||||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
г) (r |
×r |
)′ = r′ |
×r |
|
+ r |
×r |
′. |
||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
Доказательство теоремы легко следует из определения производной и свойств скалярного и векторного произведений, и предоставляются читателю.
179