Курс лекций по мат. анализу I
.pdfПример 3. Найти lim an (a > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n→∞ n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
☺Докажем, что эта последовательность убывает, начиная с некоторого |
||||||||||||
номера. Существует натуральное число n0 такое, |
что |
a < n0 . |
Тогда a < n для |
|||||||||
всех n ≥ n |
и для этих номеров будет верно неравенство a |
<1. Следовательно, |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
an+1 |
|
|
an |
|
|
an |
|
||
для этих n |
выполнено неравенство x |
= |
= |
a |
|
< |
= x , т.е. по- |
|||||
(n +1)! |
n! (n + |
1) |
n! |
|||||||||
|
n+1 |
|
|
|
n |
следовательность убывает. Очевидно, что все члены последовательности неотрицательны, значит, последовательность ограничена снизу. По теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел. Обозначим его через l .
|
Члены |
последовательности связаны рекуррентным соотношением |
||||
x |
= x |
|
a |
|
. Переходя к пределу в этом соотношении, получим l = l 0 , т.е. |
|
n +1 |
||||||
n+1 |
n |
|
|
l = 0 .☻
3.3.Число e
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим последовательность x |
= |
1 |
+ 1 n |
|
и докажем, |
что она имеет |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
►Для этого воспользуемся биномом Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
( |
|
n −1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
( |
n −1 ... |
( |
n − k +1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
n! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 + |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
nk |
n! nn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
n −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 + |
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
1 |
− |
n |
... 1 |
− |
|
n |
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
1 |
− |
n |
1 |
− |
n |
... 1 |
− |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
С увеличением n увеличивается каждая скобка вида 1 − m |
, что означает, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что в последней сумме увеличивается каждое слагаемое. Кроме того, увеличи- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вается количество слагаемых. Следовательно, |
|
xn+1 > xn , т.е. последовательность |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{x |
} |
|
|
возрастает. Докажем, |
что она ограничена сверху. Так как 1 − m <1, то |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 + |
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
1 − |
|
1 |
− |
|
... 1 − |
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
|
1 − |
|
|
1 |
− |
|
|
... 1 |
− |
|
< |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
< 2 + |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+... + |
|
|
|
< |
2 + |
+ |
|
+ |
|
+... + |
|
|
|
|
|
< |
2 + |
|
|
|
|
2n−1 |
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
3! |
|
|
4! |
|
n! |
2 |
22 |
|
23 |
|
|
2n−1 |
2 |
|
|
|
1 − |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 +1 − |
1 |
< 3 . Следовательно, эта последовательность имеет предел. ◄ |
|
2n−1 |
|||
|
|
Этот предел назовем числом e. Из неравенств, приведенных выше следует, что 2 < e < 3 . В дальнейшем мы докажем, что это число иррационально. Беря достаточно большие значения n и подставляя их в выражение для общего члена последовательности, мы можем вычислить предел этой последовательности приближенно с любой степенью точности. Но делать такие вычисления с помощью последовательности {xn} довольно сложно. В дальнейшем мы получим
еще одну последовательность, предел которой равен числу e и которая удобнее для вычисления этого числа. Сейчас напишем только несколько первых цифр:
e 2,71828182845904592.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 + 1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
Рассмотрим последовательность yn |
+ |
+ |
|
+... + |
|
. Докажем, что |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n! |
|||||||||||||||||||||||||||
lim yn = e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
3! |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn возрастает и ограничена сверху. |
||||||||||||||
Очевидно, что последовательность |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Значит, она имеет предел. Обозначим его через l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Неравенство |
x < 2 |
+ |
1 |
|
|
+ |
1 |
+ |
1 |
+... |
+ |
1 |
, доказанное выше, означает, что |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
2! |
3! |
4! |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
xn < yn , откуда e ≤ l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
фиксируем некоторое натуральное число m и рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||
С другой стороны, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
смотрим последовательность при n > m |
|
|
|
|
|
|
|
2 ... 1 − k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
= 2 + |
1 |
|
1 − |
1 +... + |
1 |
1 − |
1 1 − |
−1 |
+... + |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
2! |
|
n |
|
|
k! |
|
|
|
n |
n |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
m −1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 − |
|
1 − |
n |
... 1 − |
|
n |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Очевидно, что выполняется неравенство |
ym < xn,m < xn . Отсюда следует, |
||||||||||||||||||||||||||||||
что при каждом значении m справедливо неравенство |
|
ym < e , |
следовательно, |
l ≤ e .
Из двух полученных неравенств, следует равенство l = e .
§4 Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса
4.1.Частичные пределы
Определение 2.4.1. Пусть дана последовательность {xn} и строго возрас-
тающая последовательность {n |
}∞ |
, значениями которой являются нату- |
|||||||
k |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ральные числа. Тогда последовательность {y |
k |
}∞ |
, где |
y |
k |
= x |
называется |
||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
nk |
подпоследовательностью последовательности {xn} и обозначается {xnk }∞k=1 .
61
Определение 2.4.2. Если {xnk } - подпоследовательность последовательности
{xn} и существует lim xn = A (конечный или бесконечный), то A будем назы- |
|
k→∞ |
k |
вать частичным пределом последовательности {xn}.
Упражнение. Докажите, что A является частичным пределом последовательности {xn} тогда и только тогда, когда A является предельной точкой множества
значений последовательности {xn}.
Определение 2.4.3. Обозначим через E множество частичных пределов числовой последовательности {xn}. Тогда sup E будем называть верхним преде-
лом последовательности {xn}, а inf E ее нижним пределом и обозначать со-
ответственно lim xn и lim xn .
n→∞ n→∞
Пример 1. xn =1 +(−1)n . Очевидно, что можно выделить две сходящиеся под-
последовательности: x2k |
=1 и x2k−1 = 0, и множество E состоит из двух чисел 0 |
||||||||||
и 1. Поэтому |
|
x |
|
=1 и lim x |
|
= 0 . |
|
|
|||
lim |
n |
n |
|
|
|||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
||||
Пример 2. xn = (1 +(−1)n )n . Здесь также можно выделить две сходящиеся под- |
|||||||||||
последовательности x2k |
= 2k и x2k−1 = 0 . Множество E также состоит из двух |
||||||||||
элементов 0 и +∞ . |
|
x |
|
= +∞ и lim x |
|
= 0 . |
|||||
lim |
n |
n |
|||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|||
Пример 3. {xn} - последовательность всех рациональных чисел. Как уже гово- |
рилось (гл.1 §8), каждое вещественное число является предельной точкой множества рациональных чисел, следовательно, оно является частичным пределом
этой последовательности, т.е. E = . |
lim |
x |
n |
= +∞ , |
lim x |
n |
= −∞. |
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|||
Используя тот факт, что если |
lim x |
n |
= A, |
то любой частичный предел |
||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
этой последовательности тоже равен A, получим важный для нас результат, который является продолжением результатов предыдущего параграфа.
Теорема 2.4.1. Если αk - бесконечно малая последовательность, то
|
lim |
(1 +αk ) |
1αk |
= e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k→∞ |
► Сначала предположим, что αn > 0 (будем считать, что αn <1), тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
→ +∞. Положим n |
= |
|
1 |
, так что n ≤ |
|
1 |
< n |
+1 |
и |
1 |
≥α |
|
> |
1 |
|
. Тогда |
||||||||||||
α |
|
|
α |
|
α |
|
|
|
|
n +1 |
||||||||||||||||||||
n |
|
|
k |
|
k |
|
k |
k |
k |
|
|
|
n |
|
|
k |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
||||||||
выполнено неравенство |
|
|
|
|
|
nk +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
≥ (1 +αk ) |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
αk |
> 1 |
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
nk |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
nk +1 |
|
|||
Последовательности sk = 1 |
+ |
|
|
и |
tk |
= |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
являются под- |
|
n |
n |
|
+1 |
|
|||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||
последовательностями последовательности |
x |
= |
1 |
+ 1 |
n |
, |
|
которая сходится к |
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
числу e , следовательно, lim s |
k |
|
= lim t |
k |
|
= e . Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
k→∞ |
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
nk +1 |
|
= lim sk |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= e |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
lim 1 + |
|
|
|
|
|
|
lim |
1 + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
k→∞ |
|
|
nk |
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
|
lim t |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
= e . |
|
|
|
||||||||||||||||
и |
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
nk +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
nk +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда, по теореме о сжатой переменной, lim |
(1 + |
αk ) |
1αk |
= e . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теперь рассмотрим случай, когда αk |
< 0 , |
|
(будем считать, |
что αk > −1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим βk = −αk .Тогда последовательность |
|
|
βk |
|
|
|
|
бесконечно малая и все |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − βk |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ее члены положительны. Следовательно, для нее выполнено неравенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−βk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βk |
|
|
|
|
|
|
|
|
βk |
|
|
= e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
lim 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
1 − βk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда |
|
|
|
lim (1 +αk ) |
1 |
|
|
|
|
|
= lim (1 − βk ) |
− 1 |
β |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
α |
k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
βk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−βk |
βk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βk |
= e . |
|||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
k→∞ |
1 − βk |
|
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
1 |
− βk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − βk |
|
||||||||||||||||||||||
Наконец, если в последовательности αk |
найдется бесконечно много чле- |
нов с положительными знаками и бесконечно много с отрицательными, то образуем из них две подпоследовательности αkm и αkl . Тогда, по доказанному
выше lim 1 +α |
|
1αk |
|
= lim 1 +α |
|
1αk |
= e . Следовательно, |
|||
|
|
m |
|
l |
||||||
|
m→∞( |
|
|
km ) |
|
l→∞( |
kl ) |
|
||
|
1αk |
|
|
|
|
|
||||
lim |
(1 +αk ) |
= e . ◄ |
|
|
|
|
||||
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2.4.2. Множество частичных пределов E замкнуто.
►Докажем, что каждая предельная точка множества E содержится в E , т.е. является частичным пределом последовательности {xn}. Пусть с - предель-
ная точка множества E . Тогда, какое бы ε > 0 |
мы ни взяли, можно найти точку |
||
o |
|
(c) или 0 < ρ(A,c)< |
ε . |
A E такую, что A U ε |
2 |
||
|
63 |
2 |
|
|
|
|
Так как A - частичный предел последовательности {xn}, то A - предельная
точка множества значений последовательности, т.е. существует элемент последовательности xn0 , для которого выполняется неравенство
0 < ρ(xn0 , A)< ρ(A,c)< |
ε . |
Отсюда |
следует, |
что |
xn0 ≠ c |
и |
|
2 |
|
|
|
|
|
ρ(xn0 ,c)< ρ(xn0 , A)+ ρ(A,c)<ε , т.е. c – предельная точка множества значений
{xn}. ◄
{xn} - числовая последовательность, E - множество ееТеорема
частичных пределов и A* = lim xn . Тогда
n→∞
a) A* E ;
б) если A* - конечное число и ε > 0 , то существует номер n0 такой, что для всех n ≥ n0 выполняется неравенство xn < A* +ε ;
в) A* - единственное число, обладающее свойствами a) и b).
►Если A* = +∞, то последовательность {xn} неограниченна сверху и это
значит, что можно выбрать подпоследовательность, которая будет стремиться к
+∞ .
Если A* - число, то последовательность ограничена и утверждение a) следует из теоремы 2.4.2 и теоремы 1.8.5.
Если A* = −∞, то множество E содержит только один элемент (−∞) и ни одного конечного частичного предела не существует. А это означает, что
lim xn = −∞.
n→∞
Докажем утверждение б). Возьмем ε > 0 и предположим, что существует бесконечно много номеров nk таких, что xnk ≥ A* +ε . Тогда из последователь-
ности {xnk } можно выбрать подпоследовательность, которая будет иметь пре-
дел l , удовлетворяющий неравенству l ≥ A* +ε , а это будет означать, что A* не является супремумом множества E .
Теперь докажем, что число, удовлетворяющее свойствам a) и б) единственно. Предположим, что найдется два таких числа A* и A′, и предположим, что A* < A′. Возьмем какое-нибудь число y , лежащее между ними: A* < y < A′. Тогда, согласно утверждению б), найдется номер n0 , начиная с которого выполняется неравенство xn < y . Но тогда точка A′ не может быть предельной
точкой множества E , что противоречит условию а).◄
Упражнение. Пусть n xn ≤ yn . Докажите, что выполнены неравенства
1. |
|
lim xn ≤ lim yn ; |
|||||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|||
2. |
|
|
x |
|
≤ |
|
y |
|
. |
|
lim |
n |
lim |
n |
|||||
|
n→∞ |
n→∞ |
|
64
4.2.Теорема Больцано-Вейерштрасса
Теорема 2.4.4 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
►Пусть последовательность {xn} - ограничена, т.е. все члены последовательности лежат на промежутке [a,b]. Разделим этот промежуток пополам. То-
гда, по крайней мере на одной половине находится бесконечно много членов данной последовательности. Обозначим эту половину через [a1,b1]. Отрезок
[a1,b1] разделим пополам и опять выберем ту половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности. Обозначим ее через [a2 ,b2 ]. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков, при-
чем lim |
(b − a |
n |
)= lim |
b − a |
= 0 . Следовательно, существует точка c , принад- |
|
|
||||||
n→∞ |
n |
n→∞ 2n |
|
|||
лежащая каждому из промежутков [an ,bn ]. |
||||||
Выберем подпоследовательность последовательности {xn}, сходящуюся |
||||||
к c . Для этого возьмем за xn |
- какой-нибудь элемент последовательности, ле- |
|||||
|
|
|
1 |
|
||
жащий на промежутке [a1,b1], за xn - какой-нибудь элемент последовательно- |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
сти, лежащий на промежутке [a2 ,b2 ] и такой, что n2 > n1 и т.д. Получим после- |
||||||
довательность |
{xnk }, которая |
является подпоследовательностью последова- |
||||
тельности {xn} |
и такую, что xn |
[ak ,bk ]. |
||||
|
|
|
|
|
k |
|
Докажем, |
что эта подпоследовательность сходится к c . Возьмем некото- |
рое число ε > 0 и найдем номер k0 такой, что для всех k ≥ k0 будет выполнять-
ся неравенство |
b − a |
<ε . Тогда для этих значений k будет верным неравенство |
|||||||
2k |
|||||||||
|
|
|
|
< b − a |
|
|
|
||
|
x |
−c |
|
<ε , следовательно, c = lim |
x .◄ |
||||
|
nk |
|
|
2k |
|
|
k→∞ |
nk |
|
|
|
|
|
4.3.Критерий Коши
Определение 2.4.4. Последовательность {xn} называется фундаментальной, если для любого ε > 0 можно найти номер n0 , начиная с которого для всех натуральных чисел p будет выполняться неравенство ρ(xn , xn+p )<ε .
Про такую последовательность говорят еще, что она сходится в себе. Очевидно, что это определение дано для последовательности из произ-
вольного метрического пространства. Для числовой последовательности неравенство ρ(xn , xn+p )<ε заменяется неравенством xn+p − xn <ε .
65
Теорема 2.4.5. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то она фундаментальна.
►Пусть lim xn = A. Тогда по ε > 0 можно найти номер n0 такой, что для
n→∞
всех n ≥ n0 будет выполнено неравенство ρ(xn , A)< ε2 . Тогда для таких же но-
меров n и для всех p выполняется неравенство ρ(xn+p , A)< ε2 .
Используя |
неравенство |
треугольника, |
получим |
ρ(xn , xn+p )≤ ρ(xn , A)+ ρ(A, xn+p )<ε , что и требовалось доказать. ◄ |
|
Обратная теорема не будет верной в произвольном метрическом пространстве.
Пример 4. Пусть X - пространство, элементами которого являются рациональные числа, расстояние между которыми задается формулой
ρ(x, y)= x − y . Возьмем последовательность {xn}1∞ - рациональных приближе-
ний какого-нибудь иррационального числа, например, 2 . Существование такой последовательности доказано в 4.1, пример 3. Предел такой последовательности является иррациональным числом, поэтому эта последовательность не имеет предела в данном пространстве.
Определение 2.4.5. Пространство, в котором каждая фундаментальная по-
следовательность сходится, называется полным. |
|
|
|
||||||
Докажем, что пространство |
полное. |
|
|
|
|||||
Теорема 2.4.6. Если числовая последовательность (в |
) |
фундаментальна, то |
|||||||
она имеет конечный предел. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
►Пусть числовая последовательность {xn} |
фундаментальна. Докажем, |
||||||||
что она ограничена. Возьмем ε =1 |
и найдем номер n0 такой, что для n ≥ n0 и |
||||||||
для всех |
p будет выполняться неравенство |
|
xn+p − xn |
<1. В частности для |
|||||
|
|||||||||
всех p |
будет выполнено неравенство |
|
xn +p − xn |
|
откуда следует, что |
||||
|
<1, |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
xn0 −1 < xm <1 + xn0 для всех номеров m > n0 . Это означает, что множество зна-
чений последовательности {xn}∞n=n0 +1 ограничено. Множество значений {xn}nn==1n0
конечно и потому тоже ограничено (например, своими наибольшим и наименьшим значениями). Положим, что для 1 ≤ n ≤ n0 выполняется неравенство
L ≤ xn ≤ K . |
Тогда, |
полагая m = min (L, xn0 −1) и M = max (K, xn0 +1), получим |
m ≤ xn ≤ M , |
n |
, т.е. последовательность ограничена. |
66
По теореме Больцано-Вейерштрасса из данной последовательности мож-
но выделить сходящуюся подпоследовательность: |
xn |
→ A. |
Докажем, что |
||||||||||||
A = lim x . |
|
|
|
|
|
|
|
k k→∞ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возьмем ε > 0 и найдем номер k0 , начиная с которого выполняется нера- |
|||||||||||||||
венство |
|
x |
− A |
|
< ε . По этому же ε найдем номер n |
такой, что для всех номе- |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ров n и m, |
начиная с n , выполняется неравенство |
|
x |
n |
− x |
|
< ε |
. Тогда оба эти |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неравенства будут выполняться для всех n ≥ n0 = max (nk0 , n1 ), и для этих значе-
ний n выполнено |
|
xn − A |
|
≤ |
xn − xn |
+ |
xn − A |
<ε . ◄ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
Объединяя эти теоремы, получим теорему, которая называется критери-
ем Коши в пространстве :
Теорема 2.4.7. Для того чтобы числовая последовательность {xn} имела предел необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0 можно было
найти номер n |
такой, что для всех n ≥ n и для любого p выполнялось не- |
0 |
0 |
равенство xn+p − xn <ε .
Пример 5. Будет ли сходиться последовательность, заданная рекуррентно фор-
мулой |
x |
= x |
+ n −1 |
|
1 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
n−1 |
n +1 |
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
☺Допустим для определенности, что n > m и запишем цепочку равенств |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − x |
= n −1 |
1 |
|
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n |
n−1 |
|
n +1 3n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
− x |
|
= n − 2 |
|
1 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n−1 |
n−2 |
n |
|
3n−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
− x |
|
= n −3 |
|
1 |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n−2 |
n−3 |
n −1 |
|
3n−2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.....
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− x |
m |
= |
|
|
m |
|
1 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m+1 |
|
|
|
|
m + 2 |
|
3m+1 |
|||||||
Складывая эти равенства, получим |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x − x = n −1 |
1 |
|
+ n − 2 |
1 |
|
|
+ n −3 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
n |
m |
n +1 3n |
|
n 3n−1 |
n −1 3n−2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Откуда |
|
x |
− x |
|
|
= n −1 |
1 |
|
+ n − 2 |
|
1 |
|
|
+ n −3 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
m |
|
n +1 3n |
|
n 3n−1 |
|
n −1 3n−2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
m |
|
|
1 |
|
, |
|
|
m + 2 |
m+1 |
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||
+... + |
|
m |
|
|
1 |
≤ |
||
m + 2 |
|
m+1 |
||||||
|
|
3 |
|
|
67
≤ |
1 |
+ |
1 |
|
+... + |
1 |
= |
|
|
13n (1 − 13m−n+2 ) |
≤ |
|
13n |
= |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
3n |
3n−1 |
|
3m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3n−1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Очевидно, что для каждого ε > 0 можно найти номер n0 , начиная с кото- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рого выполняется неравенство |
|
|
|
1 |
|
|
<ε , следовательно, |
критерий Коши вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
полнен и последовательность сходится. ☻ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Будет ли сходиться последовательность с общим членом |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
= |
1 |
+ |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+... + |
|
|
1 |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
☺Возьмем n = 2m . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x − x |
= |
|
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
+... + |
|
|
|
1 |
|
> |
|
m |
|
= |
|
m |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
m |
m +1 |
|
|
|
m + 2 |
|
2m 2m 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда следует, что какой бы большой номер n0 |
мы ни взяли, найдутся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения m ≥ n0 и n > n0 , при которых |
|
xn − xm |
|
>ε0 |
(в качетве ε0 |
можно взять, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
например, единицу). Следовательно, последовательность не имеет предела. ☻
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Докажите, что |
lim x |
n |
= A тогда и только тогда, |
когда все частичные |
|||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределы последовательности |
{xn} равны A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Привести пример последовательности, для которой выполнено усло- |
||||||||||||||
вие: |
p |
, ε > 0 n0 n ≥ n0 |
xn+p − xn |
< ε , |
||||||||||
но последовательность {xn} не имеет конечного предела. Объяснить различие |
||||||||||||||
между данным условием и условием критерия Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Указание. Рассмотрите последовательность x = |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+... + |
1 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5 Понятие о числовом ряде
5.1.Основные понятия
Важным примером применения теории пределов числовой последовательности является понятие числового ряда.
Определение 2.5.1. Пусть дана числовая последовательность {an}. Числовым
рядом называется символ
a1 + a2 + a3 +....
Нужно понимать, что написанная сумма является символом, потому что мы не знаем, как найти сумму бесконечного числа слагаемых. Это требует специального определения. Отсутствие этого определения легло в основу парадок-
68
са, описанного греческим философом Зеноном, доказывающего, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Допустим, что Ахиллес и черепаха движутся по одной дороге в одном направлении и в начальный момент времени расстояние между ними таково, что Ахиллес может его пробежать за время, равное T часов. Допустим также, что Ахиллес бежит со скоростью, которая в 5 раз больше скорости черепахи. Тогда через T часов Ахиллес окажется в точке, где в начальный момент находилась черепаха. Но черепаха за это время доберется до точки, расстояние до
которой Ахиллес преодолеет за T5 часов, и через T5 часов, когда Ахиллес до-
бежит до этой точки, черепаха опять уползет вперед и уже будет в точке, до ко-
торой Ахиллес доберется только через 5T2 часов. Продолжая рассуждать таким
же образом, придем к выводу, что, сколько бы ни бежал Ахиллес, черепаха буде впереди него и он никогда ее не догонит.
Чтобы понять ошибку в этом рассуждении, нужно попытаться подсчитать время, которое Ахиллес догоняет черепаху. Очевидно, это будет бесконечная сумма
t =T + T5 + 5T2 + 5T3 +....
Зенон считал, что сумма бесконечного числа слагаемых всегда бесконечна, однако, это предположение оказывается неразумным и данная сумма конечна (см. пример 2 ниже). Дадим определение такой суммы.
Определение 2.5.2. Пусть дан ряд a1 + a2 + a3 +.... Обозначим через Sn сумму
первых n членов этого ряда, которую будем называть частной суммой этого ряда. Тогда суммой ряда будем называть предел последовательности частных сумм при n → ∞. (Если этот предел существует)
Таким образом, если сумму ряда обозначить через S , то S = lim Sn .
n→∞
Если lim Sn существует и конечен, то будем говорить, что ряд сходится,
n→∞
если он не существует, то ряд расходится.
Общий член последовательности {an}, из которой составлен ряд, будем называть общим членом ряда. Ряды будем записывать сокращенно в виде
∞ |
∞ |
∑an , таким образом, если ряд сходится, то ∑an = S . |
|
n=1 |
n=1 |
Замечание. Нумерация членов ряда может начинаться с любого номера.
В следующих примерах требуется найти сумму ряда или доказать, что ряд расходится.
69