2О. Прямая сумма подпространств

Пусть и – два подпространства линейного пространства .

Определение 4. Будем говорить, что векторное пространство представляет собой прямую сумму подпространств и , если может быть единственным образом представлен в виде суммы , где , .

Обозначение. .

В этом случае говорят, что разложимо в прямую сумму подпространств.

Обобщение. Если – подпространства мжет быть единственным образом представлен в виде , где , то сумма называется прямой суммой и обозначается .

Пример. Пусть – –мерное линейное пространство с базисом . Пусть , т.е. – линейная оболочка, натянутая на вектор :.Тогда .

Возможность других представлений следует из

Теорема 1. Для того, чтобы пространство было прямой суммой своих подпространст и достаточно, чтобы .

Доказательство. Пусть – базис и – базис в и . Докажем, что – базис в . Так как по условию , то достаточно показать, что – линейно независимы. Рассмотрим линейную комбинацию этих элементов и приравняем её к нулю:

т.к. слева , а справа , а , вектора – линейно независимы.

Таким образом, может быть разложен по базису:

,

где и , т.е. .

Осталось показать, что такое представление единственно.

Пусть и т.к. . ■

Замечание. Если , но сумма не прямая, то представление не единственно. Например,

и – подпространства и . На и . Иначе дело обстоит, если – такое же, а .

3°. Выделение подпространства, в котором преобразование имеет только одно собственное значение.

Пусть – некоторое собственное значение преобразования . В этом пункте мы покажем, что пространство можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование имеет лишь одно собственное значение , а во втором у преобразования уже нет собственного значения .

Не ограничивая общности, можно считать, что .

Действительно, пусть . Рассмотрим преобразование . Оно уже имеет собственное значение, равное нулю¹. Очевидно, что инвариантные подпространства преобразований и совпадают.

Итак, впредь мы считать, что преобразование имеет собственное значение . Рассмотрим введенное в п. 1 инвариантное подпространство , состоящее из всех собственных и присоединенных векторов преобразования , отвечающих собственному значению . Как мы помним, оно является ядром преобразования , т.е. состоит их всех векторов , для которых .

В качестве второго слагаемого прямой суммы мы возьмем подпространство – образ пространства при том же преобразовании .

Легко видеть, что также инвариантно относительно преобразования . Действительно, если , т.е. , то , т.е. также принадлежит .

Теорема 2. Пространство можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и . При этом подпространство состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению , а в подпространстве преобразование обратимо (т.е. не является собственным значением преобразования в подпространстве ).

Доказательство. Для доказательства первого утверждения нам достаточно показать, что пересечение подпространств и равно нулю. Допустим противное, т.е. пусть существует такой вектор такой, что и . Так как , то

.

(6)

Далее, так как , то

.

(7)

Но из (6) и (7) следует, что существует такой вектор , для которого и в то же время . Это значит, что есть присоединенный вектор преобразования с собственным значением , не принадлежащий подпространству , что невозможно, так как состоит из всех таких векторов.

Таким образом, мы доказали, что пересечение и равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна (это ядро и образ преобразования ), то отсюда следует, что пространство раскладывается в прямую сумму этих подпространств:

.

(8)

Докажем теперь второе утверждение теоремы, т.е. что в подпространстве преобразование не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было так, то в существовал бы вектор такой, что . Но это равенство означает, что , т.е. является общим вектором и , а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль. ■

Теперь мы можем освободиться от предположения, что выделенное подпространство отвечает нулевому собственному значению, и считать установленным следующий факт.

Если – некоторое собственное значение преобразования , то пространство можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и , в первом из которых преобразование имеет только собственное значение , а во втором все собственные значения отличны от .

Применяя полученный результат к преобразованию в пространстве и к некоторому собственному значению этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению . Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования , мы получим доказательство следующей теоремы:

Теорема 3. Пусть преобразование пространства имеет различных собственных значений . Тогда можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств :

.

(9)

Каждое из подпространств состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению .

Другими словами, для каждого существует такое число , что для всех выполнено .

У нас осталась еще одна, впрочем, не менее важна задача – выбрать в каждом подпространстве базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Это будет сделано в следующем пункте.