6°. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Далее особо будем рассматривать одномерные инвариантные подпространства.

Пусть – одномерное инвариантное подпространство, порождаемое вектором , т.е. .

Определение12. Вектор , удовлетворяющий условию

(3)

называется собственным вектором, а соответствующее число – собственным числом (характеристическим числом) линейного оператора .

Итак, если – собственный вектор, то образуют одномерное инвариантное подпространство и обратно, все векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными.

Теорема 3. В комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство: Пусть – базис в , т.е. . Пусть матрица линейного оператора в базисе имеет вид: . Условием того, что – собственный вектор имеет вид:

.

(4)

Таким образом, задача построения собственных чисел и собственных векторов сводится к решению системы (4). Эта система однородных уравнений, она имеет нетривиальное решение , если ее определитель равен нулю, т.е.

(5)

или кратко

.

(5’)

Это уравнение степени относительно . Оно имеет хотя бы один (комплексный) корень . Подставляя в (4) вместо найденное , получим однородную систему с определителем равным нулю она имеет ненулевое решение – собственный вектор, а – собственное значение. ■

Многочлен, стоящий в левой части (5), называется характеристическим многочленом матрицы , само уравнение (5) – характеристическим уравнением матрицы . В процессе доказательства было показано, что корни характеристического многочлена – собственные значения и обратно, собственные значения преобразования – корни характеристического многочлена.

Таким образом, собственные значения преобразования определяются независимо от базиса, то должно быть, что корни характеристического многочлена не зависят от базиса. Далее будет показано, что, более того, сам характеристический многочлен не зависит от базиса. Потому говорят о характеристическом многочлене преобразования (а не о характеристическом многочлене матрицы ).

Замечание. Если рассматривать вещественные числа и вещественные линейные пространства, то решений уравнения (5) может не быть

Пример.

, , , .

Пример. , .

Свойства собственных векторов и собственных значений.

1°. Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство.

2°. Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Доказательство. (Методом математической индукции). – очевидно. Пусть верно для . Докажем для . Предположим противное. Пусть :

.

(6)

Пусть . Подействуем на это равенство. Имеем, . Умножив (6) на , вычитая из последнего равенства, имеем . Т.е., получили, что вектор линейно зависимы. Получили противоречие. ■

3°. Если и – матрицы линейного преобразования в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Действительно, .

Выпишем вид характеристического многочлена: , где – след матрицы .

4°. Известно, что у характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни.

Теорема 4. Пусть – корень характеристического многочлена кратности . Тогда, ему соответствует не более линейно независимых собственных векторов.

Доказательство: Пусть имеется линейно независимых собственных векторов, соответствующих : . Дополним их до базиса в : . В этом базисе матрица имеет вид , где – матрица размера . Составим матрицу и вычислим для нее определитель. Раскладывая его по первым столбцам, получаем: . По определению кратности, . ■

Замечание. Характеристическому значению кратности могут соответствовать меньше, чем линейно независимых собственных векторов: например, , . Один независимый собственный вектор.

5°. Линейное преобразование имеет собственное значение равное нулю оно не является взаимно однозначным.

Доказательство: . Если и обратно. ■

7°. О приведении матрицы преобразования к диагональному виду.

Утверждение 8. Матрица линейного преобразования в базисе имеет диагональный вид все векторы базиса – собственные векторы преобразования.

Доказательство: Действительно, если – собственный, то –ый элемент столбца , равен , а остальные равны нулю. Обратно, аналогично. ■

Утверждение 9. Если преобразование имеет n попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных векторов этого преобразования.

Доказательство: Следует из теоремы 4.

Может оказаться, что собственное значение имеет кратность , но не существует линейно независимых собственных векторов.