Определение 5. Многочлены называют взаимно простыми, если их общими делителями являются только многочлены нулевой степени.

Лемма 4. ­– взаимно просты НОД .

Теорема 5 (критерий взаимной простоты многочленов)_.

−взаимно просты :

.

(3)

Доказательство.

Следует из теоремы 4 и леммы 4.

Из (3) общий делительидолжен делить 1 он является постоянной − взаимно просты. ■

Свойства (взаимно простых многочленов).

1) − взаимно простc и− взаимно прост с

Доказательство. НОДумножая последнее равенство на. Еслии− не взаимно просты делитель, который является делителем для− не взаимно просты. Это противоречие доказывает утверждение. ■

2) Если и НОД.

Доказательство. НОД умножим равенство на . Так каки. ■

3) Если НОД.

Доказательство. Так как , то умножаяна, получаем.■

 6º. Корни многочленов.

Определение 6. Число называетсякорнем , если. Теорема 6 (теорема Безу). Пусть . Тогда.

Доказательство. Разделим на: , где const. Тогда

. ■

Замечание. Остаток от деления наравен.

Следствие. Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени.

Доказательство по индукции по степени многочлена. Если , тоconst корней нетутверждение верно.

Пусть утверждение доказано для и пусть. Если унет корней утверждение верно. Если − кореньи. По предположению индукции число корнейне больше. Корни− это корнии наоборот(число корней)=(число корней)+1.■

Замечание. Таким образом, задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей (то есть делителей степени 1).

Многочлен можно разделить нас остатком используя так называемую схему Горнера. Пустьимеет вид:

,

и пусть , где.

Приравнивая левую и правую часть, получаем:

, откуда при одинаковых степенях имеем:

Отсюда

Для практического использования схемы Горнера строят следующую таблицу:

Напомним, что .

Пример. Пусть . Найти. Воспользуемся схемой Горнера, которая в данном случае представляется в виде следующей таблицы:

	1	0	-4	6	-8	10
2	1		-4+4=0		-8+12=4

Пусть – корень многочленато естьи значит, по теореме Безу,Может оказаться, чтои

Определение 7. Наибольшее называетсякратностью корня многочлена. Такой кореньназывается -кратным корнем Если, то корень называетсяпростым.

Замечание 1. Если – корень кратностидля многочлена, тоито есть. Наоборот, еслиито– корень кратностимногочленаДля доказательства этого предположим, чтопротиворечие.

Замечание 2. считается корнем нулевого многочлена.

Теорема 7. Если является -кратным корнем многочлена, то при>1 числобудет (-1)-кратным корнем производной Если=1, тоне является корнем

Доказательство. Пусть −-кратный корень многочленаТогда, где, то естьДифференцируя это представлениепо, имеем:, то есть. Так как

не делит Так как частное от деления определяется однозначно, тоявляется наибольшей степенью, которая делит■

Следствие. Если –-кратный корень, то–-кратный корень для.

7º. Основная теорема алгебры и следствия из нее.

Теорема 8 (основная теорема алгебры (ОТА)). Всякий многочлен , имеет хотя бы один комплексный корень.

Доказательство. Первые попытки доказательства этой теоремы были предприняты в XVII в. – Роте, Жираром, Декартом, далее в XVIII в. – Д’Аламбером, Эйлером, Лапласом, Лагранжем. Первое строгое доказательство было дано в 1799 г. К.Гауссом. Доказательство приведено, например, в учебнике Куроша [8].

Следствие 1. числасправедливо разложение

(4)

где − старший коэффициент− корни многочлена.

Доказательство. Пусть По теореме 8кореньмногочлена. Тогда по теореме Безу справедливо представлениегдеимеет степеньи по ОТА имеет корень. В итоге получаем (4), где появление коэффициентаобуславливается тем, что если вместозаписать, то после раскрытия скобок получим слагаемое.■

Следствие 2. Разложение (4) для многочлена является единственным с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Пусть существует и другое разложение

.

Тогда имеем равенство:

…=….

Если бы корень был отличен от всех корней, то после подстановки слева получаем 0, а справа – неткорнюсоответствует некий кореньи наоборот.

Отсюда еще не следует совпадение всех корней двух разложений. Может случиться, что среди корней , есть одинаковые. Пусть− корень кратности, а соответствующий корень− корень кратности. Нужно показать, что .

Пусть . Тогда сокращая наприходим к равенству, где слева есть множитель, а справа – нет. Как показано выше, это приводит к противоречию. ■

Объединяя одинаковые множители, разложение (4) перепишем в виде:

где − попарно различные корни.

Докажем, что число ,, является кратностью корня. Действительно, если кратностьравна, то. Пусть. Тогда в силу определения кратности. Заменяя здесьего разложением на линейные множители, получим разложение, отличное от (4)получим противоречие с единственностью разложения

Следствие 3. Каждый многочлен имееткорней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 4. Число различных корней непостоянного многочлена не превосходит его степени.

Следствие 5. Если два многочлена принимают одинаковые значения приразличных аргументах, то.

Доказательство. Пусть Рассмотрим многочлен. Имеем:имеетразличных корней||в силу следствия 4||■

Следствие 6. Для любых попарно различных и любыхсуществует единственный многочлен

Доказательство. Если указанный многочлен существует, то, в силу следствия 5, он единственный. Такой многочлен имеет вид:

,

()

где

()

Из формулы (5) видно, что и так как

, то ■

Определение 8. Построенный многочлен называетсяинтерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Следствие 7 (формулы Виетта). Пусть и− корни, причем каждый корень выписан столько раз, какова его кратность

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

Эти формулы называют формулами Виетта.

При ,.

Если, ;,

8º. Многочлены с действительными коэффициентами.

Пусть но. Такой многочлен называется многочленом с действительными коэффициентами.

Лемма 5. Если − корень многочленас действительными коэффициентами, то− также корень.

Доказательство. Так как − корень многочленаприменяя комплексное сопряжение, получаем

■

Из леммы 5 еслито изЕслито− многочлен с действительными коэффициентами, так как

Лемма 6. Если − корень кратности многочлена с действительными коэффициентами, то− тоже−кратный корень.

Доказательство. Пусть −−кратный кореньи пусть. Тогда, гдеОтсюда имеемгде

Многочлен − многочлен с действительными коэффициентами как частное двух многочленов с действительными коэффициентами и определяется однозначно. Таким образом,что противоречит лемме 5не может быть больше. Аналогично,не может быть меньше■

Лемма 7. Любой многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Определение 9. Многочлен , называется неприводимым над С, если его нельзя представить в виде произведения многочленов из , степени которых меньше. Аналогично вводятся неприводимые многочлены над множеством действительных чисел.

Примеры.1)Неприводимыми над являются лишь многочлены вида ,.

2) Неприводимые многочлены над имеют вид,,, и.

Теорема 9. Для всякого имеет место разложение на неприводимые множители вида

(6)

где ,Это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Доказательство. Пусть Рассмотрим многочленнадс теми же коэффициентами. Согласно леммам 5 и 6 его корни можно расположить в последовательности:гдеСогласно следствию 1 к ОТА, имеем:

.

Полагая имеемдляполучим (6).

Для доказательства единственности заметим, что правая часть (6) равна для. Но набор неприводимых множителей определяется корнямиразложение единственно. ■

18