§ 12. Уравнение плоскости в пространстве

1°. Различные виды уравнения плоскости.

Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от размерности плоскости на единицу, а размерность плоскости отличается на единицу от размерности пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.

Утверждение 1. Пусть на плоскости задана т.и два неколлинеарных вектораи. Тогда т.

(1)

Доказательство.

| Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны в силу неколлинеарности и, векторможет быть представлен как линейная комбинацияи, т.е. справедливо (1).

| если справедливо (1), то компланарен си , ч.т.д.∎

Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т.и параллельнои. Зафиксируем в пространстве аффинную систему координат. Пустьи- радиус-вектора т.иМ.

Тогда (1) перепишем:

(2)

- векторное параметрическое уравнение плоскости.

Если теперь зафиксировать координаты векторов ,,,, например, то уравнение (2) примет вид

(3)

Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде

,

,

,

представляющем собой линейную зависимость столбцов матрицы, то имеем

= 0. (4)

Разлагая этот определитель по первому столбцу, получим:

, (5)

где

. (6)

Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т.параллельно векторам

Если в плоскости заданы три точки ,,, то в качестве векторовиможно принять. Тогда уравнение плоскости, проходящей через три точки, представляется в виде:

. (7)

Если в уравнении (5) раскрыть скобки и обозначить , то получим

(8)

- общее уравнение плоскости. Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля уравнение (8) является уравнением первой степени.

Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.

Докажем и обратное: а именно, любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.

Действительно, пусть в (8) . Тогда общее решение уравнения (8) можно записать в виде

Здесь частное решение определяет координаты точки, через которую проходит плоскость, а векторапараллельны рассматриваемой плоскости. Покажем, что плоскость, проходящая через полученную точку параллельноиопределяется уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид:

откуда имеем

,

что эквивалентно (8). Таким образом, доказана

Теорема 1. Плоскость в пространстве - это поверхность первого порядка.

2°. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.

Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости, заданной уравнением (8)

. (9)

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости. Пусть, и точкаполучается по такому правилу, т.е.. Тогдаимеет координаты. Проверим, что. Подставляя ее координаты в уравнение (8), имеем:

откуда в силуполучаем,ч.т.д.∎

Утверждение 2. Плоскости

(10)

и

(11)

параллельны тогда и только тогда, когда

. (12)

Доказательство.

| Плоскости параллельны, если вектор, параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.

| пусть , тогда вектора, которые параллельны плоскости, должны быть параллельны в силу утверждения 1 выполняется:

,

ч.т.д.∎

Утверждение 3. Плоскости и, заданные уравнениями (10), (11), совпадают тогда и только тогда, когда

. (13)

Доказательство.

| очевидно

| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.

Пусть тпринадлежит обеим плоскостям, тогда

.

В силу соотношения (12) получим: . Умножим первое уравнение последней системы наи прибавим ко второму:мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎

Утверждение 4. Плоскости и, заданные уравнениями (10), (11), параллельны и не совпадают

. (14)

Утверждение 5. Плоскости и, заданные уравнениями (10), (11), пересекаются - неколлинеарны.

Утверждение 6. Пусть плоскости и, заданные уравнениями (10), (11), пересекаются по прямойl. Тогда плоскость проходит через эту прямую её уравнение имеет вид:

, (15)

где одновременно.

Доказательство. Аналогично утверждению для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.

3°. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскостьпроходит через т.и- некоторый вектор, перпендикулярный. Тогда.

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе имеет вид

.

Поэтому в прямоугольной декартовой системе координат коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно рассматривать как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось.

Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью ,. Тогда произвольная т.М .

Другими словами,

, (16)

г

Рис.5.

де- единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l,

Рис.5.

, где- углы с осями.

Таким образом, нормальное уравнение плоскости имеет вид

.

Общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель

где знак выбирается из условия

Упражнение. Вывести формулу нахождения расстояния от точки до плоскости с помощью нормального уравнения плоскости.