2О. Размерность линейных пространств геометрических векторов.

Теорема 2.Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство.Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.

Пусть и– коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть. Тогда если, то, если, то. В обоих случаяхи– линейно зависимы.

Пусть и– линейно зависимы, т.е., гдене равно 0. Тогда, если,по определению 10 иколлинеарны.∎

Следствие 1.Линейное пространство коллинеарных векторов одномерно и его базисом может служить любой ненулевой вектор.

Следствие 2.Еслии– коллинеарны и, тоR:.

Доказательство. R:. Если. Т.о.и.

Теорема 3.Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство.Будем предполагать, что никакие два вектора из трех не коллинеарны, так как иначе утверждение очевидно в силу свойства линейно зависимых векторов.

Пусть вектора компланарны. Перенесем их в точкуO, проведем через конец вектораc прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм.(см. рис. 5) Векторы и, и– коллинеарны R: , . Но , , – линейно зависимы.

Рис.5. Иллюстрация доказательства теоремы 4.

Пусть , , – линейно зависимы. Тогда R, одновременно не равные нулю: . Если, например,, то – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельнымии , , лежат в одной плоскости, то есть они компланарны.∎

Следствие.Линейное пространство компланарных векторов двумерно и его базисом может служить любая пара неколлинеарных векторов.

Теорема 4.Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство.Предположим, что никакие три из векторовне компланарны (иначе они линейно зависимы) очевидно. Остальное следует из (рис.6) по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точкуDпроведем три плоскости, параллельные парам векторов {, }; {, };{ , }.

, . R: , , , – линейно зависимы.∎

Рис.6. Иллюстрация доказательства 5.

Следствие.Линейное пространство всех геометрических векторов трехмерное. Его базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

3О. Проекции вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая прямая l и вектор .

Определение 11. Осью l будем называть прямую, на которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

Рис.7. Проекция точки А на ось l.

Пусть – точка, не принадлежащаяl. Проведем через точку плоскостьl. Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось l. Обозначение: (см. рис.7).

Если наряду с точкой взять точкуB, то можно построить .

Определение 12. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на осьl. Обозначают: .

Иногда говорят, что есть компонента вектора на осиl.

Вектора и– коллинеарны R: .

Определение 13. Такое число называетсяскалярной проекцией (проекцией) вектора на осьl с масштабным вектором . В этом случаерассматривается как единичный вектор. Пишутили.

Таким образом .

Легко видеть, что  .

Свойства проекции.

1⁰. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

L

L

Рис.8. - проекция векторана осьl. а) , б)

Действительно, пусть .

Если (см. рис. 8а), то, поэтому

.

Если (см. рис. 8б), то, и

.

2⁰. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число: .

Действительно, если , то угол между векторамииравен углу междуи, то есть и .

Если , то

3⁰. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

.

Справедливость этого утверждения следует из рис.9. В случае а) , б)

а) б)

Рис.9. Иллюстрация доказательства свойства о проекции суммы векторов.

Следствие. Свойство (3) справедливо для  количества векторов.