Решение систем линейных уравнений

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1.2, закон Кирхгофа для токов в узле b:

i1 = i2 + i3.

Закон Кирхгофа применительно к левому и внешнему контурам цепи:

E − U 2 − U1 = 0,

E − U 3 − U1 = 0.

Выразив напряжения через токи и сопротивления, получим:

E − i2 R2 − i1 R1 = 0, E − i3 R3 − i1 R1 = 0.

Таким образом, получается система трех уравнений с тремя неизвестными i1, i2 и i3. Ее можно записать так, чтобы в правых частях уравнений находились неизвестные, умноженные на соответствую-

щие коэффициенты, а в левых – свободные члены:
1 i1 − 1 i2 − 1 i3 = 0
	i1	+ R2 i2 + 0 i3	= E
R1				(1.4)
	i1	+ 0 i2 + R3 i3	= E
R1

Матрица коэффициентов и вектор правых частей системы запишутся так:

	1		− 1		− 1							0
	R											E	.
A =			R	2	0			,	b =
		1
	R		0		R							E
		1				3

Это и есть математическая модель этой задачи. Таким образом, ее решение сводится к решению системы линейных уравнений (1.4) относительно i1, i2, i3.

Задача 2. Проанализировать работу электрической цепи по многоконтурной схеме, приведенной на рис. 1.2. Найти неизвестные токи ik, (k = 1, …, 6) по заданным значениям сопротивлений и электродвижущей силе источника тока.

11

Рис. 1.2. Многоконтурная схема электрической цепи к задаче 2

Исходными данными для решения этой задачи являются: значения сопротивлений и электродвижущая сила источника тока.

Результатом являются значения токов.

Все величины представлены в системе измерения СИ. Все величины – вещественного типа.

Составим математическую модель. Данную схему можно разбить на несколько контуров:

1)1-2-5-4-1;

2)4-5-7-6-4;

3)2-3-8-7-5-2;

4)1-2-3-8-7-6-4-1;

5)1-2-5-7-6-4-1;

6)2-3-8-7-6-4-5-2; и так далее.

Однако можно заметить, что контуры, начиная с четвертого и далее можно получить наложением первых трех. Поэтому будем рассматривать только три контура:

1)1-2-5-4-1;

2)4-5-7-6-4;

3)2-3-8-7-5-2.

12

Зададим направление обхода в каждом из контуров по часовой стрелке, и запишем уравнения согласно второму правилу Кирхгофа:

Контур	Уравнение
1-2-5-4-1	I1R1 + I3 R3 + I5 R5 = −E1
4-5-7-6-4	− I5 R5 + I 4 R7 + I 6 R9 + I 6 R6 = −E2 + E1
2-3-8-7-5-2	I 2 R2 + I 2 R4 + I 2 R8 − I 4 R7 − I3 R3 = −E4 + E3

Теперь запишем уравнения для каждого из узлов (первый закон Кирхгофа):

Узел	Уравнение
2	I1 − I 2 − I 3 = 0
4	I5 + I6 − I1 = 0
5	I3 − I 4 − I5 = 0
7	I 4 + I 2 − I 6 = 0

Таким образом, мы получили 7 уравнений – 3 для контуров и 4 для узлов.

Однако, если посмотреть на уравнения для узлов, то видно, что сумма первых трех уравнений дает четвертое уравнение (для узла 7):

I1 − I 2 − I 3 + I 5 + I 6 − I1 + I 3 − I 4 − I 5 = −I 2 − I 4 + I 6 .

Следовательно, можно выбрать лишь три из них. Выбираем первые три. Получим систему из шести уравнений и шести неизвестных:

13

		I1R1 + I3 R3 + I5 R5 = −E1
		− I						5	R + I						4	R + I					6		R + I			6	R = −E	2	+ E
											5							7							9		6		1
		I				2 R2 + I2									R4			+ I2 R8 − I4 R7 − I3 R3											= −E4	+ E3	(1.5)
		I1 − I2 − I3 = 0
		I					+ I					− I			= 0
						5				6			1
		I				3	− I			4		− I		5	= 0
или
R1 I1 + 0 I						2 + R3 I3 + 0 I 4 + R5 I5 + 0 I6 = −E1
	I1	+ 0 I 2				+ 0 I3 + R7 I4 − R5 I5 + (R6 + R9 ) I6 = −E2 + E1
0
0 I1 + (R2 + R4 + R8 ) I 2 − R3 I3 − R7 I4 + 0 I5 + 0 I6 = E3 − E4																															(1.6)
I1 − I2 − I3 + 0 I 4 + 0 I5 + 0 I6 = 0
− I + 0 I			2		+ 0 I						3	+ 0 I					4	+ I	5	+ I				6	= 0
	1
	I	+ 0 I				+ I				− I				− I				+ 0 I					= 0
0				2					3				4				5					6
	1

Замечание. Следует отметить, что обычно, при записи всех уравнений, вытекающих из правил Кирхгофа мы получаем «лишние» уравнения, то есть такие уравнения, которые можно получить алгебраической суммой или разностью других. Чтобы не выписывать «лишние» уравнения следует руководствоваться следующим принципом: не нужно выписывать уравнения, все члены которого уже были в предыдущих. Таким образом, если бы мы применили данный принцип в рассматриваемой задаче, то стало бы ясно, что четвертое уравнение для узлов можно было вообще не выписывать, поскольку все токи, входящие в него, уже встречались в предыдущих уравнениях.

Таким образом, в матричном виде система линейных уравнений (1.5) запишется так:

AI = b ,

где

14

R1			0	R3	0	R5	0
	0		0	0	R7	− R5	R6 + R9
0		R2 + R4 + R8		− R3	− R7	0	0
A =	1		− 1	− 1	0	0	0	,
− 1			0	0	0	1	1
					− 1	− 1
0			0	1			0

	I1					− E1
	I	2			E		− E	2
						1
	I 3				E3 − E4
I =			,	b =					.
	I 4						0
	I	5					0
	I 6						0

Это и есть математическая модель задачи, ее решение сводится к решению системы линейных уравнений (1.5).

Пример к задаче 2. Пусть сопротивления приборов																	и ЭДС имеют
следующие значения:
	R1	R2	R3			R4			R5			R6			R7		R8	R9
	20	40	10			32			12			18			50		5	11
				E1			E2			E3				E4
				12			6			15				36

Тогда в матричном виде система (1.7) будет иметь вид:

15

20		0	10	0	12	0			I1				− 12
				50 − 12 29
	0	0	0						I	2			6
									I				− 21
0 77 − 10				− 50	0	0
	1	− 1	− 1	0	0	0				3		=	0
									I	4
									I
− 1 0			0	0	1	1				5			0
		0	1	− 1	− 1								0
0						0			I	6

Если решить данную систему, то получим следующие значения токов:

I1	I 2	I 3	I 4	I 5	I 6
-0,37	-0,22	-0,15	0,12	-0,26	-0,1

Отрицательные значения токов говорят о том, что их направление выбрано не верно, то есть на самом деле при указанных значениях сопротивлений и ЭДС все токи кроме тока номер 4 направлены в сторону, обратную указанной на схеме. Таким образом, не стоит ломать голову над тем, в какую сторону направить токи – направляйте как угодно, решение само подскажет верное направление.

Задача 3. Пусть дана электрическая схема, представленная на рис. 1.3. В этой схеме присутствуют реальные источники тока. Известны сопротивления пассивных элементов Ri (i = 1,K9) , напряже-

ния на контактах Ei (i = 1,K4) и внутреннее сопротивление источников токов ri (i = 1,K4) . Необходимо при помощи законов Кирхгофа и метода контурных токов определить токи в ветвях этой цепи.

16

Рис. 1.3. Исходная схема задачи 3

Исходными данными для решения этой задачи являются: сопротивления пассивных элементов, напряжения на контактах и внутренние сопротивления источников токов.

Результатом являются значения токов.

Все величины представлены в системе измерения СИ. Все величины – вещественного типа.

Составим математическую модель. Преобразуем схему так, чтобы в каждой ветви осталось только по одному активному и/или пассивному элементу. Для этого заменим несколько последовательно соединенных пассивных элементов, суммой их сопротивлений. Сделаем то же самое с источниками ЭДС. В результате получим схему, представленную на рис. 1.4.

17

.

Рис. 1.4. Преобразованная схема задачи 3

При этом получаем следующие величины:

R* = R + R ,			R* = R + R + R ,				E* = E − E		4	.
6	6	9	2	2	7	8	3	3

Схему (1.4) можно разбить на несколько контуров:

1)1-2-4-1;

2)3-4-2-3;

3)1-4-3-1;

4)1-2-3-4-1;

5)и так далее.

Заметим, что контуры, начиная с четвертого и далее можно получить наложением первых трех. Поэтому будем рассматривать только три контура:

1)1-2-4-1;

2)3-4-2-3;

3)1-4-3-1.

Зададим направление обхода в каждом из контуров по часовой стрелке (рис.1.5) и запишем уравнения согласно второму правилу Кирхгофа:

18

Контур			Уравнение
1-4-2-1	I1R1 + I 3 R3 + I 4 R4 + I 4 r1 = −E1
3-2-4-3	− I 4 R4 − I 4 r1 + I 5 R5 + I 6 r2 + I 6 R6 = −E2 + E1
1-3-4-1	*	*	*
	I 2 R2	+ I 2 r3	− I5 R5 − I3 R3 = E3

Рис. 1.5. Электрическая схема задачи 3 с направленными токами и выбранными направлениями обхода

Теперь запишем уравнения для каждого из узлов согласно математическому выражению для первого закона Кирхгофа:

Узел	Уравнение
1	I1 − I 2 − I3 = 0
2	I 4 + I 6 − I1 = 0
3	I5 + I 2 − I 6 = 0
4	I3 − I 4 − I5 = 0

19

Таким образом, мы получили 7 уравнений: 3 для контуров и 4 для узлов. Однако согласно замечания, приведенного в задаче 2, ясно, что четвертое уравнение для узлов можно было вообще не учитывать, поскольку все токи, входящие в него, уже встречались в предыдущих уравнениях.

Таким образом, получим систему уравнений из шести уравне-

ний.

	I R + I								3	R + I								4	R + I				4	r = −E
	1			1										3								4			1	1
− I				4	R − I									4	r + I						5	R + I			6	r + I	6	R = −E		2	+ E
								4									1					5				2			6		1
			R			*		+ I					r			*	− I				R − I				R = −E				*
I
		2			2						2				3					5		5		3		3		3			(1.7)
I1 − I2 − I3 = 0
I			+ I					− I						= 0
		5					2					6
I		3	− I				4	− I				5		= 0

или

R1 I1 + 0 I 2 + R3 I3 + (R4 + r 1) I 4 + 0 I5 + 0 I 6 = −E1

0 I1 + 0 I 2 + 0 I3 − (R4 + r 1) I 4 + R5 I 5 + (R6 + r2 ) I 6 = −E2 + E1

*

*

I 2

− R3 I 3 + 0 I 4 − R5 I5 + 0 I 6

*

0 I1

+ (R2

+ r3 )

= −E3

(1.8)

− I 2 − I3 + 0 I 4 + 0 I 5

+ 0 I 6 = 0

I1

0 I1 + I 2 + 0 I3 + 0 I 4 + I5 − I 6 = 0

0 I

1

+ 0 I

2

+ I

3

− I

4

− I

5

+ 0 I

6

= 0

Таким образом, в матричном виде система линейных уравнений (1.7) запишется так:

AI = b ,

где

20