Met_oau

Модели типовых звеньев могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций, а также частотных и временных характеристик [2, 3].

Пропорциональное звено. Пропорциональным (безынерционным или статическим) называют звено, которое описывается уравнением

y(t) = kx(t) ,	(1.9)
или, что тоже, передаточной функцией
W ( p) = k .	(1.10)

Частотные функции этого звена имеют вид

W ( jω) = k ; U (ω) = k ; V (ω) = 0; A(ω) = k ; ϕ(ω) = 0;

L(ω) = 20 lg k ;

Временные функции этого звена имеют вид h(t) = k1(t) ; w(t) = δ(t).

Примеры реализации пропорциональных звеньев приведены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Примеры реализации пропорциональных звеньев

Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением

py = kx ,

(1.11)

11

или передаточной функцией
W ( p) =	k	.	(1.12)
	p

Уравнение такого звена может быть записано также в виде

t

y(t) = k ∫x(t)dt + y0 .

0

Частотные функции этого звена имеют вид

W ( jω) = k / jω; U (ω) = 0; V (ω) = −k / ω; A(ω) = k / ω;

ϕ(ω) = −π/ 2 ; L(ω) = 20 lg k −20 lg ω.

Временные функции этого звена имеют вид h(t) = k t1(t) ; w(t) = k1(t).

Примеры реализации интегрирующих звеньев приведены на рис.

1.3.

Рис. 1.3. Примеры реализации интегрирующих звеньев

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением

y = kpx , (1.13)

или передаточной функцией

W ( p) = kp .

(1.14)

Уравнение такого звена может быть записано также в виде y = k dxdt .

Частотные функции этого звена имеют вид

W ( jω) = jkω; U (ω) = 0; V (ω) = kω; A(ω) = kω; ϕ = π/2; L(ω) = 20lg k + 20lg ω.

Временные функции этого звена имеют вид h(t) = δ(t); w(t) = δ&(t).

12

Такое звено физически нереализуемо.

Апериодическое звено. Апериодическим (инерционным) звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

	(Tp +1) y = kx ,					(1.15)
	или передаточной функцией
	W ( p) =		k		.	(1.16)
		Tp +1
	Частотные функции этого звена имеют вид
	W ( jω) = k /(Tjω+1); U (ω) = k /[(Tω)2 +1]; V (ω) = kTω/[(Tω)2 +1];
	A(ω) = k /		(Tω)2 +1; ϕ(ω) = −arctg ωT ;

L(ω) = 20lg k −20lg (Tω)2 +1.

Временные функции этого звена имеют вид h(t) = k(1−e−t / T )1(t) ; w(t) = (k / T )e−t / T 1(t).

Примеры реализации инерционных звеньев первого порядка приведены на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Примеры реализации инерционных звеньев первого порядка

Форсирующее звено. Форсирующим звеном или форсирующим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением

y = k(Tp +1)x ,	(1.17)
или, что тоже, передаточной функцией
W ( p) = k(Tp +1).	(1.18)
Частотные функции этого звена имеют вид

W ( jω) = k(Tjω+1); U (ω) = k ; V (ω) = kTω; A(ω) = k (Tω)2 +1;

13

ϕ(ω) = arctg ωT ; L(ω) = 20lg k +20lg (Tω)2 +1.

Временные функции этого звена имеют вид h(t) = k[Tδ(t) +1(t)]; w(t) = k[Tδ&(t) +δ(t)].

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде параллельно соединенных дифференцирующего и пропорционального звеньев.

Такое звено физически нереализуемо.

Инерционно-дифференцирующее звено. Инерционно-

дифференцирующим или реальным дифференцирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением

	(Tp +1) y = kpx ,				(1.19)
	или передаточной функцией
	W ( p) =	kp		.	(1.20)
		Tp +1
	Частотные функции этого звена имеют вид
	W ( jω) = kjω/(Tjω+1) ; U (ω) = kTω2 /[(Tω)2 +1];
	V (ω) = kω/[(Tω)2 +1]; A(ω) = kω/ (Tω)2 +1;
	ϕ(ω) = π/2 −arctg ωT ; L(ω) = 20lg kω−20lg				(Tω)2 +1.

Временные функции этого звена имеют вид

h(t) = (k / T )e−t / T 1(t) ; w(t) = (k / T )δ(t) −(k / T 2 )e−t / T 1(t) .

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде последовательно соединенных дифференцирующего и инерционного звеньев.

Примеры реализации инерционно-дифференцирующих звеньев приведены на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Примеры реализации инерционно-дифференцирующих звеньев

14

Инерционно-форсирующее звено. Инерционно-форсирующим или упругим звеном называют звено, которое описывается уравнением

(Tp +1) y = k(T0 p +1)x,			(1.21)
или передаточной функцией
W ( p) =	k(T0 p +1)	.	(1.22)
	Tp +1

Существенным параметром этого звена является коэффициент τ =T0/T . Если τ<1, то звено по своим свойствам приближается к ин-

тегрирующему и инерционному звеньям. Если же τ>1, то звено – ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему звеньям.

Частотные функции этого звена имеют вид

W ( jω) = k(T0 jω+1) /(Tjω+1) ;

A(ω) = k [(T0ω)2 +1]/[(Tω)2 +1] ; ϕ(ω) = arctgT0ω−arctgTω;

L(ω) = 20 lg k +10 lg[(T0ω)2 +1] −10 lg[(Tω)2 +1].

Временные функции этого звена имеют вид

h(t) = k[1+(τ−1)e−t / T ]1(t) ; w(t) = (k / T )(1−τ)e−t / T 1(t) +kτδ(t) .

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде последовательно соединенных форсирующего и инерционного звеньев.

Примеры реализации инерционно-форсирующих звеньев приведены на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Примеры реализации инерционно-форсирующих звеньев

15

Колебательное, консервативное и апериодическое второго

порядка звенья. Звено, которое можно описать уравнением

(T 2 p2	+T p +1) y = kx
2	1
или в другой форме
(T 2 p2 +2ξTp +1) y = kx ,
где T =T2 ,	ξ =T1 / 2T ,
или передаточной функцией
W ( p) =		k		,
		T 2 p2 +2ξTp +1

(1.23)

(1.24)

называют колебательным, если 0 < ξ <1, консервативным, если ξ = 0 , и апериодическим звеном второго порядка, если ξ ≥1. Коэффициент ξ называют коэффициентом относительного демпфирования или сте-

пенью затухания.

Колебательное звено (0 < ξ <1). Передаточная функция этого звена

W ( p) = k . T 2 p2 +2ξTp +1

Частотные функции этого звена имеют вид

W ( jω) = k /[(1−T 2ω2 ) + j2ξTω];

U(ω) = k(1−T 2ω2 ) /[(1−T 2ω2 )2 +(2ξTω)2 ];

V(ω) = 2kξTω/[(1−T 2ω2 )2 +(2ξTω)2 ];

A(ω) = k / (1−T 2ω2 )2 +(2ξTω)2 ;

	−T	2	ω	2	) при ω≤1/ T ,
−arctg2ξTω/(1
ϕ(ω) =						2		2
			−T				ω		)] при ω >1/ T;
−π−arctg[2ξTω/(1

L(ω) = 20lg k −20lg (1−T 2ω2 )2 +(2ξTω)2 .

Временные функции этого звена имеют вид

		α	2	+β	2		−αt
h(t) = k 1	−					e		sin(βt +ϕ0 ) 1(t);
			β

w(t) = k(α2 +β2 ) e−αt sin(βt) 1(t) ,

β

16

где α = ξ/ T ; β = 1−ξ2 / T ; ϕ0 = arctg	1−ξ2 .
	ξ

Пример реализации колебательного звена приведен на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Пример реализации колебательного звена

Консервативное звено (ξ = 0 ). Передаточная функция этого звена

W ( p) =	k		.
	T 2 p2
		+1

Частотные функции этого звена имеют вид

W ( jω) = k /(1−T 2ω2 ) ; U (ω) = k /(1−T 2ω2 ) ; V (ω) = 0;

0 приω<1/ T,	;
A(ω) = k /(1−T 2ω2 ); ϕ(ω) =
−π приω>1/ T

20 lg k приω<1/ T , L(ω) =

20 lg k −40 lgTωприω >1/ T.

Временные функции этого звена имеют вид

h(t) = k(1−cos ω1t) 1(t), ω1 =1/ T .

Апериодическое звено второго порядка (ξ ≥1). Передаточную функцию звена второго порядка при ξ ≥1 можно преобразовать к виду

W ( p) =		k	,
	(T p +1)(T p +1)
	1	2

где T1,2 =T /(ξ± ξ2 −1) .

Апериодическое звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Оно не относится к числу элементарных звеньев.

17

Форсирующее звено второго порядка. Так называют звено,

которое описывается уравнением y = k(T 2 p2 +2ξTp +1)x

или, что тоже, передаточной функцией

W ( p) = k(T 2 p2 +2ξTp +1)

при условии, что ξ <1.

Получение характеристик этого звена не представляет трудности. Такое звено физически нереализуемо.

1.3. Задание

1.Изучить характеристики типовых звеньев систем автоматического управления. Ознакомиться с объектами управления, которые могут быть описаны типовыми звеньями.

2.Составление программы моделирования типовых звеньев.

3.Провести моделирование типовых звеньев и построить их временные и частотные характеристики.

1.4. Описание лабораторной установки

Лабораторной установкой является ЦВМ IBM PC для проведения цифрового моделирования.

Цифровое моделирование переходных процессов и частотных характеристик типовых звеньев производится с использованием паке-

та Control системы Matlab [6-8].

1.5. Порядок выполнения работы

Задание 1. Ознакомление с математическим описанием типовых звеньев САУ

1.Ознакомиться с дифференциальными уравнениями и передаточными функциями типовых звеньев САУ.

2.Ознакомиться с временными характеристиками типовых звеньев САУ, провести их анализ.

3.Аналитически вывести выражения для частотных характеристик типовых звеньев САУ.

18

Задание 2. Составление программы моделирования типовых звеньев в пакете Control системы Matlab

1.С помощью процедуры tf набрать в командном окне системы Matlab передаточные функции следующих звеньев: пропорционального, интегрирующего, инерционного, реального дифференцирующего, инерционно-форсирующего, колебательного, консервативного, инерционного второго порядка [8]. Набор звеньев провести для различных значений параметров коэффициентов передачи, постоянных времени и коэффициента относительного демпфирования, например: 0,5; 1,0; 2. Пример программы для случая единичных параметров звеньев приведен в приложении 1.

2.С помощью оператора ltiview, набранного в командном окне системы Matlab, ввести набранные звенья в интерактивный обозреватель LTI Viewer пакета Control.

3.Ознакомиться с интерфейсом интерактивного обозревателя

LTI Viewer пакета Control системы Matlab [8].

Задание 3. Моделирование типовых звеньев САУ

1.Построить переходные характеристики типовых звеньев для различных значений параметров с помощью графической процедуры

Step.

2.Построить логарифмические амплитудные и фазовые характеристики типовых звеньев для различных значений параметров с помощью графической процедуры Bode.

3.Определить влияние изменений параметров на полученные характеристики типовых звеньев.

1.6. Требования к отчету

Отчет должен содержать схемы моделирования типовых звеньев, расчет их параметров, графики переходных функции, асимптотические логарифмические амплитудные и фазовые характеристики. По графикам переходных функций надо определить показатели качества переходной функции.

Отчет по работе должен содержать: 1. Цель работы;

19

2.Структурные схемы;

3.Результаты расчетов;

4.Результаты моделирования;

5.Выводы.

По заданию 1 в отчёте приводятся структурная схема типового звена САУ; передаточные функции рассмотренных звеньев, их временные и частотные характеристики.

По заданию 2 в отчёте приводится программа моделирования типовых звеньев для различных значений параметров.

По заданию 3 в отчёте приводятся полученные графики временных и частотных характеристик, их анализ.

1.7. Контрольные вопросы

1.Как вводится понятие типовые (элементарные) звенья в теории автоматического управления?

2.Какие типовые звенья применяются в системах автоматического управления?

3.Что называется передаточной функцией звена или системы управления?

4.Что называется переходной функцией звена?

5.Как связана переходная функция звена с передаточной функ-

цией?

6.Нарисуйте графики переходных функций типовых звеньев.

7.Какие виды частотных характеристик существуют и как их определить по передаточной функции?

8.Как определяются экспериментально частотные характери-

стики?

9.Как влияют изменения коэффициентов передачи и постоянных времени на временные и частотные характеристики различных звеньев?

20