Rel_2000

Задача 8 . Коэффициент мощности пассивной цепи, составленной из по- следовательно соединенных реостата и конденсатора без потерь, равен 0,8. Ка- ков будет коэффициент мощности параллельного соединения реостата и кон- денсатора ?

Ответ : 0,6.
Задача 9 . Подобрать сопротивле-				U
ние R1 так, чтобы напряжение Uаb опе-			R1	R2
режало по фазе напряжение U на 30	0	,
если R2 = 5 Oм, X2 = 15 Oм (рис. 4.11).
					UUabab	b
Ответ : 11,9 Oм.			a

Задача 10. В цепи (рис.4.12) известны действующие значения токов. Требуется качественно построить векторную диаграмму токов и напряжения, определить действующее значение неизвестного тока и найти разность фаз ϕ между напря- жением и общим током для следующих случаев :

I

1) IR = 3 A; IL = 5 A; IC = 1 A; I - ?

IR

IL

IC

2) IR = ? IL = 0,4 A; IC = 1,2 A; I = 1 A;

C

3) IR =

A; IL = 1 A; IC = ? I = 2 A;

R

L

3

U

4) IR =

1

A; IL = ? IC = 2 A; I =

2

A.

Рис. 4.12

3

3

Ответ:

1) 5 А;

530 10’;

2) 0,6 A; -530 10’;

3) 0 или 2 А;

300 или –300;

4) 3 А или 1 А; 600 или -600.

5. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ Основные положения и соотношения

Применение основных методов для расчета цепей синусоидального тока

II Z11	+ II IZ12	+ IIII Z13	+ . . .	= E11
II Z21 + III Z22 + IIII Z23 + . .				= E22

II Z31 + III Z32 + IIII Z33 + . . . = E33

ϕI Y11 + ϕII Y12 + ϕIII Y13 + . . . = J11

ϕI Y21 + ϕII Y22 + ϕIII Y23 + . . . = J22

ϕI Y31+ ϕII Y32 + ϕIII Y33 + . . . = J33

I =	E эг
	Z эг+ Z н

Iк = ±Y1к E1 ±

Y

2к E2 ± Y3к E3 ± . . .

DI m = -I m0

Ymm × DZ m

DI n = -I m0

Ymn × DZ m

1

+

Ymm × DZ m

1

+

Ymm × DZ m

Баланс мощностей

Sист	Sист	= å (Еi Ii* + Uj Jj*) = Рист + jQист
	= Sпр	= å (Ii2 Ri + j Ij2 XLj - j Ik2 XCk)
	Sпр

+j		j	a		U	ab		Вектор напряжения Uab
								направлен к точке а
							ϕb	Uab = ϕa - ϕb
0
								+1
								Упражнения и задачи

Задача 1. Для цепи (рис.5.1.) построить топографиче- скую диаграмму, приняв jd = 0, и векторную диаграмму токов, если

R = XL = XC = 1 Ом, I5 = 1 А.

Определить E.

I1	XС b		I3 XL	c
a			I2
				R	XC
E		XL	I4
f					I5
	R	e	XC	d

Решение:

Рис. 5.1

Потенциал точки c : jC = I5 (-jXC) = -j1 B.

Ток I4 = jC /R = - j1 A.

Для узла c на основании первого закона Кирхгофа можно записать

I3 = I4 + I5 = 1 - j1 A.

Потенциал точки e : je = jd - I3 (-jXC) = - (1- j1) (- j1) = 1+ j В.

Потенциал точки b : jb = jC + I3 (jXL) = - j1 + (1 - j1) (j1) = 1 B.

Ток I2 определим по закону Ома, зная потенциалы точек b и e :

I 2	=	jb - je	=	1 - (1 + j1)	= -1 A.
				j1
		jX L

Применяя первый закон Кирхгофа для узла b , найдем ток

I1 = I 2+ I 3 = -1+1- j 1= - j1 A.

Теперь найдем потенциалы точек a и f : ja = jb + I1 (-jXC) = 1 + (- j1)(- j1) = 0 B,

jf = je - I1R = (1+ j) - (- j1)1 = 1 + j2 B.

ЭДС E определим как разность потенциалов точек a и f :

E = ja - jf = - 1- j2 B.

Результаты расчетов токов в ветвях и потенциалов точек приведены на рис. 5.2, 5.3.

+ j				+j		f
			Ude		Uaf	Uef
I2	I5	+1				e
0				0		Ube +1
I, I4	I3		a, d		Ubc	b	Uab
			Ucd	c

Рис. 5.2 Векторная диаграмма	Рис. 5.3 Топографическая диаграмма на-
токов	пряжений

Задача 2 . Определить показания приборов, если u(t) = 100 sinwt, B,

XL = 5 Oм ; XC =2,5 Oм (рис.5.4).

Решение :

XL

Комплекс входного сопротивления цепи

R

jXL(−jXC)

j5(−j2,5)

XC

Z = R+

= 5+

= 5- j5

Ом.

jX

- jX

j5- j2,5

L

C

Это означает, что угол между входным напря-

W

жением и входным током равен

X

0

j

= arctg

= -45

.

u(t)

R

Приняв начальную фазу входного напряжения

Рис. 5.4

равной нулю, найдем комплекс входного тока

U

100 /

=10e j450 A.

I =

=

2

Z

5 - 5 j

Aмперметр покажет действующее значение входного тока 10A.

Показание ваттметра определим по формуле

Pw = UI cosj =

100

10

2

= 500

Вт.

2

2

R =

A

Обратим внимание, что показание ваттметра определяет мощность, выде- ляемую в резисторе PR = I2 R = 102 ×5 = 500 Bт.

		X1	X2
Задача 3 . Применив теорему	об эквивалентном		RН
генераторе, определите мощность, выделяемую в
сопротивлении RН = 70 Ом (рис.5.5), если дейст-		X3	X4
вующее значение напряжения на входе цепи равно
100 В, X1 = 60 Oм; X2 = 40 Oм;	X3 = X4 = =50 Oм.		U

	Решение:Применим теорему об эквивалентном ге-	Рис. 5.5
	нера-

торе для нахождения тока в сопротивлении RН. Определить параметры эквива- лентного генератора из режима холостого хода не удается, т.к. по ветви с со- противлениями X3 и X4 протекает бесконечно большой ток (jX3 - jX4 = 0).

Найдем параметры эквивалентного генератора из режима короткого замыкания (рис.5.5).

Входное сопротивление цепи в режиме ко- роткого замыкания ветви с сопротивлением RН :

	Z вх =	jX1 (− jX 3 )			+	jX 4 (- jX 2 )		=	j60(- j50)		+
		jX1	-	jX 3		jX 4 -	jX 2		j60 -	j50

+j50(- j40) = - j500 Ом. j50 - j40

I1 X1 a X2 I2

X3 IКЗ X4

I

b

U

Рис. 5.6

Входной ток I = U/Zвх = 100 / -j500 = j0,2 A,

ток в первой ветви I1 = I (-jX3) / (jX1 - jX3) = - j1 A, ток во второй ветви I2 = I (jX4) / (jX4 - jX2) = j1 A.

Для узла a по первому закону Кирхгофа можно записать:

I КЗ = I1 - I2 = - 2j A.

Это и есть ток эквивалентного генератора тока. Внутренняя проводи- мость эквивалентного генератора равна нулю, т.к. входное сопротивление от-

носительно зажимов a и b в режиме холостого хода равно:

Z ab =

jX 3 (− jX 4 )

+

jX1 (- jX 2 )

=

j50(- j50)

+

j60(- j40)

= ¥ .

jX 3 - jX 4

jX1 - jX 2

j50

- j50

j60 - j40

Окончательно, найдем мощность, выделяемую в сопротивлении RН

P = JЭГ2 × RН = 22 ×× 70 = 280 Bт.

Задача 4. В цепи с ИТУТ

XС

I0

(источник

тока,

управляемый

R1

током) (рис. 5.7) определить то-

1

2

Iн

ки в ветвях, потенциалы точек

Iг

b×Ι1

I2

j1, j2 и отношение j2/J.

Rн

J = 1 мА, b =10, RГ

= 20 Ом, J

Rг

I1

R2

RН = R2 = 40 Ом,

R1 = X0 =

=10 Ом.

3

Решение:

Рис. 5.7

Составим уравнения по методу узловых потенциалов при j3 = 0:

j

(

1

+

1 +

1

) - j

1

= J;

1

R

Г

R

- jX

С

2

- jX

С

1

- j

1

+ j

(

1

+

1

+

1

) = bI

1

= b j1 ,

1 - jX

С

2

R

Н

R

2

- jX

С

R

I1 = ϕ1 .

1

где

R1

Решая систему уравнений с комплексными коэффициентами, получим:

j

1

= 0,21e j97,40

мВ,

j

2

= 10,2e j1,60 мВ.

Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома :

I 1

= j1

= 0,021e j97,40

мА;

I г

=

j1

= 0,0105e j97,40 мА;

R1

RГ

I 0

= ϕ1 − ϕ2

=1,022e− j89,60

мА;

I 2

= j2

= 0,255e j1,60

мА;

- jX С

R2

I н

= j2

= 0,255e j1,60

м А .

Rн

Отношение

j2

= 10,2e j1.6o ×10−3

=10,2e j1,60

B .

J

1×10−3

Задача 5 . Для измерения па-			R1	I2	R2
раметров конденсаторов применяют		C1
мостовую уравновешенную схему			I1
(рис.5.8): R2 = 160 Oм, R3 = 3,2 Oм,	E	m		I0	n
R4 = 40 Oм, C4=0,1 мкФ.			А
		I4
Вывести условия равновесия
моста (отсутствие тока в ветви при-		R4			R3
бора) и определить емкость конден-
сатора C1, тангенс угла потерь tgδ,			C4	I3
если измерения проводились на час-
тoте 1000 Гц.			Рис. 5.8
Решение:
Условия равновесия моста:

I0 = 0

при

ϕm = ϕn,

I1 = I4,

I2 = I3 .

Эти условия приводят к уравнениям:

I

1

(R +

1

) = I

2

R

2

,

I

4

(R

4

+

1

) = I

3

R

3

,

1

jωC1

jωC4

или к комплексному уравнению

(R +

1

)R

3

= R

2

(R

4

+

1

) ,

1

jωC1

jωC4

которое распадается на два:

C4 R3

R =

R2 R4

,

C =

.

1

R3

1

R2

Окончательно получаем:

R1 = 2 Oм,

C1 = 2 мкФ.

Тангенс угла потерь

tg δ =

R1

= ωC1R1 0,025 .

1/(ωC1)

Задача 6 . Составить баланс мощностей для цепи (рис.5.9), если

E = 10

B, J = j2 A, R = 2 XL = XC = 10 Oм. Решение: Согласно методу контурных токов запишем уравнения, выбрав положительные направления контурных токов по часовой стрелке:

I 1 (R − jX C ) − I11(− jX C ) = E,

− I1 (− jX C ) + I11 (− jX C + 2 jX L ) = J jX L .

Решение системы уравнений с комплексными коэффициентами дает зна- чения контурных токов:

I1 = j1 A,

I11 = - 1 A,

а токи в ветвях:

I1 = I11 = j1 A, I2 = I1 - I11 = 1+ j1 A, I3 = I11 = -1 A, I4= I11 - J = -1 - j2 A.

Комплексная мощность источника ЭДС:

S E = E I *1= 10×(-j1) = -j10 BA.

Комплексная мощность источника тока:

S J = UJ J* = (-10 + j5)(-j2) = 10 + j20 BA, где UJ = - (jX L)I4 = (1 + j2) j5 = -10 + j5 B.

Таким образом, комплексная мощность источников :

Sист = 10 + j10 BA,

комплексная мощность приемников:

S = å Iк2 Zк = I12 R1 + I22 ( -jXС ) + I32 (jXL ) + I42 (jXL ) = 10 + j10 ВА.

Таким образом, полная комплексная мощность источников равна комплексной мощности приемников.

Задача 7 . На рис.5.10 показана часть

электрической цепи, для которой I1

=10ej37 A, I3 = 8e-j15 A, Z1 = 2 Oм, Z2 = 1,8e-j44 Oм.

Определить показание ваттметра. Ответ: 630 Вт.

Задача 8 . Для электрической це- пи (рис.5.11) построить топографиче- скую диаграмму, приняв потенциал точ- ки d равным нулю, и векторную диа-

грамму токов, если I5 = 1 А, X1 = X7 =

X3 == X6 = 1 Oм, X2 = X4 = =R5 = 2 Oм.

Ответ: jа = 2 - j1 B, jb = 1 - j 1B,

jС = 2 B, je = 1 + j1 B, jf = j1 B.

Задача 9. Определить напряжение Uab (рис.5.12) при

E1 = 6 B, E2 = j6 B, R = XL = XC = E1 3 Oм.

Ответ: 9 - j3 В.

m

Z1
I1	W			Z2	n
I3
		Рис. 5.10
а	X1	b X3		c	I5
			X2		X4 R5
f	X7	e	X6		d
		Рис. 5.11
XL	a XL		b	R
XC				R	E2
		XL 2

Задача 10 . С помощью					векторной			R1		R
диаграммы выяснить, как изменяется от-
										U2
ношение	напряжений			U2/U1	(рис.5.13)		U1
при изменении сопротивления R1 от нуля
до бесконечности.								C		R
Ответ: U2/U1 = 0,5e-j180 при R1 = 0,
		U2/U1 = 0,5		при R1 = ¥.
								Рис. 5.13
Задача 11.			Определить							R3
токи методом контурных токов					J	R2		R1	I22
(рис.5.14), если J = 0,1 A, E =								I11
20 B, R1 = 20 Ом, R2= 100 Ом,
R3= 50 Ом, ХС= 100 Ом.								E		XС
Ответ: I11= -0,692+j 0,212
мА,		I22 =	0,846+j 0,127					Рис. 5.14
мА
			6. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ
		Основные положения и соотношения
		Последовательный колебательный контур
uR(t)					j = 0			UL
			i(t)	Im[ Z ] = 0				+j
u(t)	R		uC(t	j = arctg(XL-XC)/R = 0
		C
	L				UL = UC				UC	I +1
				w0L = 1/w0C
								UR = U
	uL(t)			w0 =		1
						LC

Упражнения и задачи

Задача 1 . Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных катушки с активным сопротивлением R=10 Ом и индуктивностью L=100 мкГн и конденсатора с емкостью C=100 пФ.

Определить резонансную частоту w0, характеристическое сопротивление ρ, затухание d и добротность Q, расходуемую мощность P и абсолютное значе- ние полосы пропускания контура, если контур включен на напряжение U=1 В.

Решение: Резонансная частотаw0=		1	=	1			=107	1	,
		LC			100×10−6 ×100×10−12			C

Добротность Ток при резонансе

Расходуемая мощность

Затухание

f0 = w/2p = 1,6 МГц.

Характеристическое сопротивление

					100×10−6
r =		L	=				=1000 Oм.
		C			100×10−12

d = R / r = 10 / 1000 = 0,01.

Q = 1 / d = 100.

I0 = U / R = 100 мA.

P0 = I02 ×R = 0,12 ×10 = 0,1 Вт.

Полоса пропускания

2Df0 = f0 / Q = 1,6 ×106/100 = 16 кГц.

Задача 2. К последовательному контуру задачи 1 подведено напряже-

ние

U = 1 В с угловой частотой w = 1,002×107 1/c.

Найти реактивное и полное сопротивление цепи, ток, мощность, коэффи- циенты передачи по току и по напряжению.

Решение:

Вычислим абсолютную Dw, относительную Dw/w0 и обобщенную x рас- стройки на заданной частоте :

Dw = w - w0 = 0,002×107 1/c, Dw / w = 0,002, x=2Q Dw/ w0 = 2 ×100 ×0,002 ×107 /107 =0,4

Полное сопротивление контура

Z = R + j(wL - 1/wC) = R + jX = Z ejϕ = R + jRx ,

где x = Х / R = Q (w/w0 - w0/w) .

Тогда

Z = R 2 + X 2 = R1 + x2 = 101 + 0,42 = 10,77 Ом,

	X = xR = 0,4 ×10 = 4 Ом.
	Ток и расходуемая в цепи мощность
	I = U / Z = 1 / 10,77 = 0,093 A,
	P = I2R = 0,0932		×10 = 0,0865 Вт.
	Коэффициент передачи по току
	Hi =I/I0 =		1		=		1			=0,93.
			1 + x2				1 + 0,42

Коэффициент передачи по напряжению

1

w

0

100

107

HU =

U C

=

I wC

=

Q

w

=

1,002 ×10

7

= 92,66 .

1 ö2

1 + 0,42

U

R 2

æ

1 + x2

I

+ jçwL -

÷

è

wC ø

Задача 3 . Для измерения параметров катушки используют Q-метр,

принцип действия которого основан на явлении резонанса напряжений

(рис.6.1).

a

L

Определить параметры катушки R и L,

R

если известно, что при резонансе

m

Umn / Uab = 100, C = 104 пФ, f0 = 10 кГц.

b

C

n

Рис. 6.1

Решение:

Резонансная частота контура

1

f0 =

= 104 Гц.

2p LC

Отсюда, индуктивность катушки

L = 1 / (C(2pf)2) = 1/(104

×10-12(2p ×104)2 )= 0,0253 Гн.

Добротность контура

Q = UC0 = r = LC =100 .

U R R

Активное сопротивление катушки равно:

					0,0253 104 ×10	−12
R =		L C	=					=15,9 Ом.
		Q			100

Задача 4 . Определить показания вольтметров, включенных в цепь, на- строенную в резонанс, причем I1 = I2, U1 = 100 В, U2 = 40 В (рис.6.2).

Решение:

Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму. Примем потенциал точки а равным нулю. Вектор напряжения Uba = U4

отложим по действительной оси (рис.6.3).

Ток I1 в активном сопротивлении R1 совпадает по фазе с напряжением Uba, ток I2 опережает по фазе напряжение Uba на 900, а общий ток I равен их геометрической сумме и опережает по фазе напряжение Uba на 450 (I1 = I2).

Из точки b параллельно току I откладываем вектор напряжения Ucb на активном сопротивлении R3 и из точки c -- вектор напряжения на индуктивно-

сти Udc, опережающий по фазе ток I на 900. Получаем точку d.