Rel_2000

Разложение в ряд Фурье некоторых периодических функций

е(t)=

4E ésin wt + 1 sin 3wt + 1 sin

p

ê

3

5

ë

=

4E

∞

sin kwt

å

k

p k =1,3,5

e

E

e(t) =

2E

é

∞

k −1

sin kwt

wt

p

ê

å (-1)

2

p2

êk=1,3,5

k

p

ë

2

е

Е

æ

1

1

∞

1

ç

-

å

sin kwt

e(t) = Eç

2

wt

è

p k=1,2,3,4 k

p

2

e

E

e(t) =

4Е

é

1

+

∞

(

-1)

k+1

w

ê

å

cos 2

t

p

ê

2

k =1,2,3

(2k )2

- 1

ë

2p

e

E

4E

∞

sin kωt cos kωt

wt

e(t) =

2p

å

k 2

wt

ωτπ k =1,3,5

wt

E

e

e(t) =

4Е

∞

1

kωt

cos kωt

w

t

å

sin

π

k=1,3,5 k

2

wt

2p

E

e

wt

æ

2

∞

1

kwt

ö

ç t

å

÷

e(t) = Eç

+

sin

cos kwt ÷

wt

èT

p k =1,2,3 k

2

ø

2p

Задача 1 .

Упражнения и задачи

На входе цепи (рис.8.1)

задано напряжение

uвх(t), показанное на графике рис.8.2. Найти действующее значение напряжения на выходе U2, ограничиваясь первыми тремя членами ряда при разложении uвх(t) на гармоники, если Um = 200

В; 1/ωC = 100 Ом; R = 50 Ом.

Рис. 8.1

Рис. 8.2

Известно разложение в ряд Фурье для на-										e
		пряжения (рис. 8.3)
										E
u(t)=	4U	é	1	+	1	cos 2wt -		1	cos 4wt +	wt
	p	m ê	2		3			15
		ë								2p
					1				ù
				+
					35		cos 6wt - ...ú.
									û	Рис. 8.3

Заданное напряжение uвх(t) запаздывает по времени на Т/4 по отношению к на- пряжению на рис. 8.3, поэтому

uвх (t) =

4U

m

é1

1

æ

T

ö

1

æ

T ö

1

æ

T öù

ê

+

cos 2wçt -

÷

-

cos 4wçt -

÷

+

cos 6wçt -

÷ú

=

p

3

4

15

35

ë2

è

ø

è

4 ø

è

4 øû

4U m é

1

1

1

1

ù

=

ê

-

cos 2wt -

cos 4wt -

cos 6wt - ...ú .

p

2

3

15

35

ë

û

Заметим, что кривая uвх(t) симметрична относительно оси ординат [f (t)= − f (t)]

(четная функция), и поэтому содержит только косинусные и постоянную со- ставляющую.

Проведем расчет выходного напряжения для каждой гармонической со- ставляющей: а) постоянная составляющая :

емкостное сопротивление для постоянной составляющей входного напря- жения 1/wC бесконечно велико (w = 0), и поэтому выходное напряжение U20 = 0 (рис.8.4) ;

Рис. 8.4

б) вторая гармоника (2w) (рис.8.5) :

комплекс входного напряжения

Uвх

U 2 =

U

вх

R

,

R - j

1

2wC

где

w =

2π

,

1

=100 Ом,

1

= 50 Ом ;

2wC

T

wC

− j

π

4U m

− j

π

4 × 200

U вх = U вх × e

2 =

× e

2 =

= -

3p 2

3p 2

или

U 2 = - j60 × 50

=

60e− j90o

= 42,4 × e− j45o В,

50 - j50

2

e− j45o

C

R U2

Рис. 8.5

j60 В

мгновенное значение выходного напряжения для второй гармоники

u2(2wt) = 60 sin(2wt - 45°) B;

U вх

= U вх e− j π2 =

− 4U m

= - 4 × 200

= - j12 B,

15p

2

15p 2

в) четвёртая гармоника (4w):

U вх R

- j12 × 50

o

U 2

=

=

=10,7 e− j63

B ,

1

50

-

j25

R - j

4wC

мгновенное значение выходного напряжения для четвертой гармоники

u2(4wt)=15,1 sin(4wt-63,4o) В;

г) шестая гармоника (6w)

π

4U m

- 4 × 200

U вх = U вх e− j 2

= -

j

=

= - j5,16

В,

p35

35p

2

U 2

=

U

вх R

=

(- 5,16 j)× 50

= 4,89е

− j71,5o

В,

R - j

1

50 - j

100

6

6wC

мгновенное значение выходного напряжения для шестой гармоники

u2(6wt) = 6,9 sin(6wt - 71,5°) В.

Согласно теореме наложения выходное напряжение выражается суммой выходных напряжений, найденных для каждой гармонической составляющей:

u2(t) = 60 sin(2wt - 45°) + 15,1 sin(4wt - 63,4) + 6.9 sin(6wt - 71,5) В.

Действующее значение выходного напряжения

æ

60 ö2

æ

15,1ö2

æ

6,9 ö2

U 2 =

ç

÷

+ ç

÷

+ ç

÷

= 44,03 В.

è

2 ø

è

2 ø

è

2 ø

Задача 2 . На вход цепи (рис.8.6) подаётся напряжение

u(t) = 10 + 40sinωt + 20sin(2ωt

- 450) В.

Определить i(t). Параметры элементов цепи :

	wL1=20 Ом ;	1/wC1= 20 Ом;	Рис. 8.6
	wL2= 10 Ом;	1/wC2=40 Ом; R=10 Ом.

Решение:

а) постоянная составляющая тока I(0) = U0/R = 10/10 = 1 A; б) первая гармоника (w)

при частоте w параллельный контур L1C1 настроен в резонанс, так как wL1 = 1/wC1 . Его сопротивление бесконечно велико. Входное напряжение пер- вой гармоники будет приложено к зажимам этого контура.

Ток в индуктивности L1

I L1	=	U 1	=			40	= - j	2			A.
		jwL1				× j20
								2
			2

Токи через резистор R и во втором контуре L2C2 равны нулю . Поэтому по первому закону Кирхгофа искомый ток равен току в L1 :

i(1) (wt) = iL 1(wt) = 2 sin(wt-90°) A;

в) вторая гармоника (2w)

при частоте 2w параллельный контур L2 C2 настроен в резонанс, так как 2wL2 = 1/2wC2, его сопротивление бесконечно велико и входное напряжение второй гармоники приложено к зажимам этого контура.

Ток в индуктивности L2:

I L2 =

U

2

20 × е−45o

1

e

− j135o

A .

=

=

j2wL2

2

2 × j20

Ток в ёмкости С1 равен нулю , и по первому закону Кирхгофа

i(2) (2wt) = iL2 (2wt) = 1 sin(2wt - 135°) A.

Складывая гармонические составляющие, получим искомый ток i(t) = I0 + i(1)(wt) + i(2) (2wt) = 1+ 2sin(wt-90°) + sin(2wt-135°) A.

	Задача 3 . В цепи (рис.8.7) действуют две ЭДС:
	еА = 60+30sin(wt+30°)+60sin2wt В;	еВ = 30	В.
	Параметры элементов цепи: wLВ = 30 Ом,	wLc =	10 Oм,	1	= 40 Ом,
				wС

R = 60 Ом.

Найти мгновенные и действующие значения токов в ветвях и напряже- ния на емкости, а также мощность в сопротивлении R. Определить активную и полную мощности источника ЭДС еА.

Решение:

Постоянные составляющие токов и напря- жений на емкости:

IA0 = IB0 = (EA0 - eB)/R = (60 – 30) ¤ 30 = 0,5 A; IC0 = 0 ; UC0 = eB = 30 B.

Для первой гармоники входное сопротив-

ление цепи

	R	iC(t)
		LB
	iА(t)		LC
	eA(t)	iВ(t)
	еВ(t)		C

Рис. 8.7

Z (1) = R + jwLB ( jwLC - j 1wC ) = R + ¥ = ¥ , jwLB + jwLC - j 1wC

в правом контуре наблюдается резонанс токов. Тогда:

I Am(1) = 0; I Bm(1) =

E Am(1)

=

30e j30o

= 1e− j60o A,

j30

jwLB

E Am 1

30e j30o

o

I Cm(1)

=

( )

=

= 1e j120

A;

(jwLC - j

1

wC)

j10 - j40

U

Cm(1)

= I

Cm(1)

× (- j

1

wC

)

= e j120o × (- j40) = 40e j30o B.

Для второй гармоники сопротивление ветви c будет равно:

ZC(2) = j2wLC - j/2wC = j20 - j20 = 0,

т.е., наблюдается резонанс напряжений. Поэтому входное сопротивление цепи для второй гармоники Z(2) = R = 60 Oм.

	Тогда I Am(2) = E Am(2)										Z 2 = 60 60 =1 A;																																			I Cm(2) = I Am(2) ;
I	Bm(2)	= 0; U		Cm(2)				= I	Cm(2)				× (- j 1							2wC								)= - j20 B.
Мгновенные и действующие значения токов в ветвях и напряжения на
емкости, соответственно, равны:
iA(t) = 0,5 + 1sin2wt								A;				IA=				0,5					2		+ (							1					)			2			= 0,87 A;
																														2
iB(t) = 0,5 + 1sin(wt-60°)										A;					IB=							0,5				2				+(							1						)			2			= 0,87								A;
																																						2
iC(t) = 1sin(wt+120°) + 1sin2wt																A ;								IC= (														1							)		2		+ (				1				)	2	= 1 A;
																																								2													2
uC(t)=30+40sin(wt+30°)+20sin(2wt-90°) B;
UC =		( 30 )2 + (			40		)2 +(			20			)2			= 43,5 B.
				2							2
Aктивная мощность :										PA=IA2 ×R = 45 Bт.
Мощности источника ЭДС еA :																																								1									60
активная			P = IA0× EA0						+ IA2× EA0 = 0,5×60 +																																						×						= 60 Вт;
																																								2									2
полная			S = IA×EA =						I 2		+ I			2		+ I		2					+ ×								E			2				+ E									2			+ E 2					+				=
									1					2				3												1																	2						3
								=0,87					60		2	+(				30					)		2			+(							60								)		2			= 81 BA.
																							2																	2

Задача 4 . Определить показания электродинамического амперметра и вольтметра V2, пикового вольтметра V1, градуированного на 0,707Umax без постоянной составляющей, магнитоэлектрического ваттметра V3 и электромагнитного ваттметра W

(рис.8.8), если

uвх(t) = 20 + 100sinwt + + 20sin5wt B;

R = 10 Oм, wL = 2 Ом; 1/wC = 50 Ом.

Решение:	Рис. 8.8

Рассчитаем составляющие тока через амперметр и напряжения на втором вольтметре.

Постоянная составляющая:

I(0) = U(0)/R = 20/10 2 A ;

U20=0.

Для первой гармоники :

Z (1) = R +

jωL(− j / ωC)

= 10 +

j2(− j50)

= 10 + j2,1 = 10,2е j120o

Ом,

j2 - j50

jwL - j / wC

I (1) = U m(1)

/ Z (1) =

100

=

9,78e− j120

o

A,

10,2e j120o

j2(- j50)

U 2m(1) = I m(1)

jwL(- j / wC)

= 9,78e

− j120o

= 20,38е

− j30o

В.

jwL - j / wC

j2 - j50

Для пятой гармоники :

Z (5) = R +

j5ωL(− j / 5ωC)

= 10 +

j10(− j10)

= ¥ ,

j5wL - j / 5wC

j10 - j10

Im(5) = 0;

U2m(5) = 20 B.

Mгновенное значение тока через амперметр: i(t) = 2 + 9,78 sin(wt-120°)

A.

Показание электродинамического амперметра, реагирующего на дейст- вующее значение периодического тока, равно

	2	2	æ	9,87 ö				2	= 7,2 A .
I a =			+ ç				÷
			è	2 ø

Мгновенное значение напряжения на зажимах второго вольтметра равно: u2(t) = 20,38 sin(wt-30°) + 20 sin5wt B,

и показание электродинамического вольтметра, реагирующего на действующее значение периодического напряжения:

U 2 =

æ

20,38

ö2

æ

20 ö

2

= 20,28 B.

ç

÷

+ ç

÷

2

è

ø

è

2 ø

Показание первого вольтметра

U1 = 0,707Umax = 0,707(100 + 20) = 84,8 B.

среднее значение пе-

Показание третьего вольтметра, реагирующего на

риодического напряжения за период :

1

T

U

3 =

òuвх (t)dt

=U 3

= 20 B.

T

0

0

Показание ваттметра (средняя мощность за период):

é

æ 9,78

ö2

ù

P

= RI 2

+ RI 2 + RI 2 =10ê4 + ç

÷

ú = 518,24 Вт.

w

0

1

5

ê

è 2

ø

ú

ë

û

Задача 5 .

Определить мгновенное зна-

L

n

чение напряжения umn(t) на зажимах источни-

e(t)

C

J(t)

ка тока и его активную и полную мощности

R1

R

(рис.8.9), если задано: 1/wC = 20 Ом,

R1 = R2=

2

m

= wL = 10 Ом, J(t) = 6 + 1 coswt A,

e(t)=100+50 sin(2wt+30) B.

Рис. 8.9

Ответ: umn(t)=20 + 30 sin(wt+90°) + 35,4 sin(2wt+75°) B,

P=270 Вт,

S = 356 BA.

Задача

6.

При измерении

индуктивности

A

применены

приборы

электромагнитной

системы

(рис.8.10). Известно, что напряжение источника пи-

тания содержит основную и третью гармоники;

ко-

L

V

1

эффициент искажения равен 0,92. Рассчитать мето-

дическую погрешность измерения, обусловленную

искажением формы кривой приложенного напряже-

Рис. 8.10

ния.

Ответ: 7,6 %.

Задача 7 . Вольтметр электромагнитной сис- темы при измерении напряжения, форма которого показана на рис.8.11, показывает 10 В.

Найти показание вольтметра магнитоэлектри- ческой системы.

Ответ: 5 В.

e
E
	t
T	2T
Рис. 8.11

Задача 8 . На	входе	цепи
(рис.8.12) действует источник напряже-
ния, содержащий первую (w = 103 1/с),
третью и пятую гармонические состав-
ляющие. Между входом и нагрузкой
Rн =80 Ом включен электрический			uвх(t)
фильтр :

L1 = L2 = 10 мГн.

Подобрать емкости конденсаторов C1 и C2 так, чтобы в нагрузку не проходили токи третьей и пятой гармоник.

L1
	C2
C1	RН
	L2

Рис. 8.12

Определить отношение напряжений Uн /Uвх1 по первой гармонике. Решение:

Для того чтобы в нагрузку не проходили третья и пятая гармоники, оба контура (последовательный и параллельный) должны быть настроены в резо-

нанс: один - на частоте 3w, другой - на частоте 5w. Рассмотрим два решения.
1. Параллельный контур L1C1 настроен на резонанс на частоте 3w:
		1		= 3wC =			1	=	1	См .
		3wL1				1	3 ×103 ×10 ×10−3	30
Отсюда	С1 = 11,1				мкФ.
На частоте 3w сопротивление параллельного контура Z1(3w) = ¥ (резо-
нанс токов). Последовательный контур L2C2								настроен в резонанс на частоте
5w:	5wL2 =				1	= 5	×103 ×10 ×10−3 = 50 Ом.
				5wC2

Отсюда C2 = 4 мкФ.

На частоте 5w сопротивление последовательного контура Z2(5w) = 0 (ре- зонанс напряжений), следовательно, пятая гармоника тока пройдет по Z2, минуя

Rн.

Uн /Uвх1 найдем значения Z1 и Z2 по первой гармони-

Для определения

jwL

æ

ö

× ç - j 1

÷

j10( - j90 )

ке: Z1( w) =

1

è

wC1 ø

=

= j11,25

Ом ;

jwL1 - j 1

wC1

j10

- j90

Z

2

(w) = jwL2 - j

1

wC2

= j10 - j250 = - j240

Ом.

В результате имеем:

Z 2н ( w) =

Z 2 Rн

=

( - j240)80

= 76е

− j18,4o

Ом;

Z 2 + Rн

80- j240

Uн

=

Z2’ ( w)

=

76

=

76

=1,04 .

Uвх1

Z2’

(ωω+ Z1( w)

72,1- j24+ j11,25

72,12 +12,752

2. Параллельный контур настроен в резонанс на частоте 5w: C1 = 4мкФ;

последовательный - на частоте 3w:						C2 = 11,1 мкФ.
Сопротивления Z1, Z2,					Z2н	на частоте w:
Z1(w) = j10,4 Ом,				Z2 (w) = j80 Ом, Z2н (w) = 40 2 ×е− j45o Ом .
						Тогда
U	н	=	Z 2н (w)	= 1,13 .
			(w) + Z1
U вх1		Z 2н		(w)
Задача 9 . На вход цепи (рис.8.13) подано напряжение
		u(t)=100 + 50 sin3000t + 30 sin(9000t-45°)В.
					i1(t)	L
						A1
							C2
			W			C1
	u(t)			V1	i2(t) A2		V2	Rн
						i3(t)
						Рис. 8.13

Подобрать емкости конденсаторов C1 и C2 так, чтобы в нагрузку не про- ходили постоянная составляющая и третья гармоника напряжения, а первая гармоника проходила без искажения. Определить мгновенные значения токов i1(t), i2(t), i3(t) и показания приборов электродинамической системы.

Ответ: i1(t) = 0,562 sin(3000t) + 0,333 sin(9000t-135°) А, i2(t) = 0,062 sin(3000t-180°) + 0,333 sin(9000t+ 5°) A,

i3(t) = 0,5 sin3000t, А.
IA1 = 0,46 A,	IA2 = 0,243	A,	IA3 = 0,354 A,
UV1 = 108 B,	UV2 = 35,4	B,	PW = 12,5 Вт.

9. ЦЕПИ СО ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ Основные положения и соотношения

е1M(t) = - dY12/ dt = - M di2/ dt

E1M = - jwy12 = - jwM × I 2

K =		M			, 0 £ K <1
		L L	2
		1