Variatsionnoe_ischislenia

pаскроем скобки правой части и применим доказанную выше оценку (IX.2)

ku + vk2 = kuk2 + 2 Re (u, v) + kvk2 6 kuk2 + 2kuk · kvk + kvk2 = = (kuk + kvk)2

Отсюда следует ku + vk 6 kuk + kvk.

Пример 30. Пусть x

Ω

R2, H = L

(Ω), A =

−

оператор Лапласа,

заданный на

дважды непрерывно

2

2

дифференцируемых функциях, обращающихся в нуль на границе области u| = 0, DA = C

(Ω) {u|

= 0},

kuk2 = ZΩZ (− ) u(x) ·

dx = ZΩZ

|D u(x)|2dx.

u(x)

˚ 1 Пополнение DA по такой норме образует энергетическое пространство, традиционно обозначаемое W 2(Ω) (один

из примеров пространств Соболева1))

Заметим, что положительный оператор A взаимнооднозначно отображает свою область определения на об-

A

ласть значения DA RA.

A−1

Теорема 42. Для любого элемента f RA функционал J (u) определен на всем HA энергетическом пространстве HA.

Доказательство. Пусть f = Ag, g DA H.

J (u) ≡ hAu, ui − 2 Re hu, f i = kuk2 − 2 Re hu, Agi = kuk2 − 2 Re [u, g] >	−4kgk2
> kuk2 − 2kuk · kgk >
	0

и ограничен снизу на

при kuk > 2kgk, при kuk 6 2kgk.

Ограниченный снизу функционал имеет точную нижнюю грань и существует последовательность, по которой значения функционала стремятся к этой грани.

Пусть J (un) → inf J (u). Такая последовательность {un} называется минимизирующей для функционала

u HA

J (u).

IX.1.2 Сходимость метода Ритца

Теорема 43. Пусть A положительный оператор. Если уравнение Au = f имеет решение u0, то всякая последовательность, минимизирующая для функционала J (u), сходится к этому решению в норме энергетического пространства HA.

Доказательство. Введем u0 в запись J (u):
J (u) = hAu, ui − 2 Re hu, f i = hA(u − u0), u − u0i + hAu, u0i+
+ hAu0, ui − hAu0, u0i − hu, Au0i − hAu0, ui =
= ku − u0k	2	2	,	inf	J (u) = −ku0k	2	(IX.3)
		− ku0k		u
В частности, условие
J (un) = kun − u0k2 − ku0k2 → −ku0k2
влечет kun − u0k → 0 при n → ∞.

Метод Ритца2). представляет один из методов построения минимизирующей последовательности. Схема его такова: выберем последовательность элементов {ϕj }∞1 HA, полную в HA и такую, что любая конечная ее

подпоследовательность линейно независима. Будем искать элементы минимизирующей последовательности в

n

виде конечных комбинаций функций {ϕj }j un = P aj ϕj . Подстановка в функционал дает

	j=1
n	n
X	X
J (un) =	hAϕj , ϕk iaj a¯k − 2Re aj hϕj , f i.
j,k=1	j=1

1)Соболев С.Л.(Соболев Сергей Львович, 1908 - 1989) советский математик, основатель новых научных направлений в дифференциальных уравнениях, функциональном анализе, вычислительной математике.

2)Ритц(Ритц Вальтер, 1978 - 1909) Швецарский физик теоретик

Выберем aj из условия минимизации квадратичной функции конечного числа переменных f (a) = f (a1, . . . , an) ≡ J (un). Заметим, что эта вещественнозначная функция 2n вещественных аргументов Re aj = αj , Im aj = βj ,

j = 1, n. Условие минимума такой функции в точке aˆ заключается в обращении в нуль ее производной при a = aˆ,

0 = Dα,β f (ˆa).
Прямое вычисление дает
2Re (hAϕj , uni − hϕj , f i) = 0,	2Im (hAϕj , uni − hϕj , f i) = 0,
или hAϕj , uni = hϕj , f i.
Запишем систему в матричном виде:

Gaˆ = b,

здесь G = ([ϕj , ϕk ])nj,k=1 – симметричная матрица, называется матрицей Грама3). системы {ϕj }nj=1, b = ([ϕj , f ])nj=1 –

заданный вектор.

Известно, что для линейно независимой системы элементов, матрица Грамма невырождена. Так что искомый

вектор aˆ может быть определен однозначно. Соответствующая последовательность элементов un =	n
	aj ϕj
	=1
называется последовательностью Ритца.	jP

Теорема 44. Если уравнение Au = f имеет решение в энергетическом пространстве, то последовательность Ритца является минимизирующей.

Доказательство. Мы показывали, что min J (u) = d = −ku0k2, где Au0 = f , u0 HA. Очевидно, J (un) > d. Возьмем произвольное ε > 0. Тогда по определению inf существует такое v DA, что d 6 J (v) < d + ε2 . Так

n

как последовательность {ϕj }1∞ полна в HA, то существует линейная комбинация j=1 αj ϕj сколь угодно близкая

к v (при достаточно большом n = n(ε)). Выберем

{

j }

так, чтобы было

kvn − vk

P

α

< ε/k, а постоянную k укажем

позже

kvnk 6 kvn − vk + kvk < kvk + ε/k.

По формуле (IX.3)

J (vn) − J (v) = kvn − u0k2 − kv − u0k2 =

= (kvn − u0k + kv − u0k)(kvn − u0k − kv − u0k) 6

ε

ε

6 (kvn − u0k + kv − u0k) · kvn − vk 6 (2kvk + 2ku0k +

) ·

.

k

k

Выберем теперь k так, чтобы было

1

ε

1

2 kvk + 2ku0k +

<

ε

k

k

2

Тогда получаем |J (vn) − J (v) < 2

| и, значит,

d 6 J (un) 6 J (vn) 6 J (v) +

ε

< d + ε

2

IX.2 Приближенные методы нахождения минимума функции конечного числа переменных

IX.2.1 Метод скорейшего спуска

При применении метода Ритца надо использовать приближенные методы нахождения минимума вещественной функции конечного числа вещественных переменных. Изложим два наиболее употребляемых метода вычисления такого минимума.

Пусть есть f : R	n	→ R, f C	1	(R	n	). Для некоторого x	(0)	¯	(0)	)} ограничено
								пусть множество Ω = {x | f (x) 6 f (x

и мы ищем локальный минимум f |Ω¯ .

Рассмотрим задачу нахождения минимума функции n переменных, ограниченной снизу. С помощью алго-

ритма метода скорейшего спуска

x(k+1) = x(k) − δk Df (x(k)),

3) Gramm Z. T. (Грамм Зеноб Теофиль, 1826-1901) датский математик

где δk находится из условия минимизации функции одной переменной ϕ(t) = f (x(k) − t D f (x(k)))

δk	: min ϕ(t) = ϕ(δk ).
	t

Очевидно, последовательность {f (x(k))} монотоннно убывает и так как она ограничена снизу, то сходится. Почему же {x(k)} сходится именно к точке минимума?

Рис. IX.1:

Теорема 45.

Если f C

2

, функция f

выпуклая, а множество

{

x

|

f (x) < f (x(0))

}

ограничено, то лю-

(k)

бая предельная точка последовательности {x }

является минимизирующей. А если точка минимума един-

(k)

}.

ственна, то к ней сходится вся последовательность {x

Доказательство теоремы 45. Покажем, что для любой функции f C2 справедлива оценка

L

f (x) − f (y) > hDf (x), x − yi −

|x − y|2,

(IX.4)

2

где L = x

r

,

j,k |Djk f (x)|

max

P

2

2

1

d

1

f (x) − f (y) = Z0

dt

f (tx + (1 − t)y) = hZ0

dtDf (tx + (1 − t)y), x − yi =

dt

Z1

=hDf (x), x − yi + dth[Df (tx + (1 − t)y) − Df (x)], x − yi =

0

= hDf (x), x − yi+

1	dt Z0	1	ds ds Df (s(tx + (1 − t)y) + (1 − s)x), x − y		=
+ Z0
				d

Z 1 Z 1

= hDf (x), x − yi + dt dshD2f (s(tx + (1 − t)y)+

00

+ (1 − s)x)(1 − t)(y − x), x − yi > hDf (x), x − yi − L2 |x − y|2.

Применим установленное неравенство для оценки

f (x(k)) − f (x(k+1)).

Из определения x(k+1) следует −f (x(k+1)) > −f (x(k) − δ Df (x(k))) при любом δ. Поэтому f (x(k)) − f (x(k+1)) > f (x(k)) − f (x(k) − δ Df (x(k))) >

> (Df (x(k)), δ Df (x(k))) − L2 |δ Df (x(k))|2 = |Df (x(k))|2 · δ (1 − δ2L ).

Выражение δ (1 − δ2L ) имеет максимум по δ равный 21L .

Таким образом,

f (x(k)) − f (x(k+1)) > 21L |Df (x(k))|2

. Пусть {x(kj )}j последовательность, сходящаяся к предельной точке множества {x(k)}k . Легко видеть, что

0 6 f (x(kj )) − f (x(kj +1)) 6

6f (x(kj )) − f (x(kj +1)) + f (x(kj +1)) − f (x(kj +2)) + . . .

+f (x(kj+1 −1)) − f (x(kj+1 )) = f (x(kj )) − f (x(kj+1 )).

Так как {f (x(kj ))} сходится, то f (x(kj ))−f (x(kj+1 )) → 0. Значит, и f (x(kj ))−f (x(kj +1)) → 0. Согласно доказанному выше неравенству Df (x(kj )) → 0.

Итак, сходится {f (x(kj ))}j , a Df (x(j)) → 0. Если подпоследовательность {x(kj )}j сходится к xˆ, то Df (ˆx) = 0. Так как f выпукла, то в точке xˆ она должна иметь минимум. Если минимум единственный, то к нему

сходится любая подпоследовательность {x(kj )}, следовательно, сходится и сама последовательность {x(k)}.

IX.2.2 Метод Ньютона

Приведем еще метод Ньютона нахождения нуля функции g : Rn → Rn, g C2(Rn). (Это нужно для решения задачи нахождения минимума функции f : Rn → R из уравнения g(ˆx) = Df (ˆx) = 0).

Алгоритм метода Ньютона имеет основанием приближенную формулу конечных приращений гладкой функ-

ции. Ведь для g C1 c g(ˆx) = 0 можно записать
0 = g(ˆx) = g(x) + Dg(x)(ˆx − x) + o(kxˆ − xk).	(IX.5)
Заменим это приближенным равенством
0 ≈ g(x) + Dg(x)(ˆx − x)
и преобразуем это равенство в алгоритм последовательных приближений
0 = g(x(k)) + Dg((k))(x(k+1) − x(k)).	(IX.6)
Таким образом приходим к рекурентной формуле метода Ньютона

h i−1

x(k+1) = x(k) − Dg(x(k)) g(x(k)).

Теорема 46. Последовательные приближения метода Ньютона {x(k)}∞k=1 (IX.5) со скоростью геометрической прогрессии.

(IX.7)

сходятся к решению уравнения

Доказательство. Запишем (IX.5) для x = x(k) и вычтем из него (IX.6).

0 = Dg(x(k))(ˆx − x(k+1)) + o(kxˆ − x(k)k).

Это дает оценку
kxˆ − x(k+1)k = k hDg(x(k))i−1	· o(kxˆ − x(k)k)k 6 K · o(1) · kxˆ − x(k) k,

где K есть максимум по x нормы матрицы [Dg(x)]−1: Rn → Rn (что предполагается ограниченным). Если x(0) взять достаточно близко к xˆ – так, чтобы |K · o(1)| 6 q < 1, то мы получаем

kxˆ − x(k+1)k 6 q · kxˆ − x(k)k 6 · · · 6 qk · kxˆ − x(0)k.

Рис. IX.2:

Глава X

Геометрические проблемы вариационного исчисления

X.1 Уравнения минимальных поверхностей

X.1.1 Уравнение поверхности минимальной площади

Выведем уравнение поверхности минимальной площади, натянутой на заданный контур.

Обозначая уравнение поверхности u = u(x, y), приходим к задаче
J (u) = Z Z				u| = ϕ.
		1 + |D u|2 dx dy → min
Ω	p

Уравнение Эйлера получается таким

uxx(1 + u2y) − 2uxuyuxy + uyy(1 + u2x) = 0

Оно называется уравнением Монжа-Ампера1)2) .

Если поверхность близка плоскости и функция u(x, y) мала, то можно, введя масштабный малый параметр, положить u = ǫ v. Для v(x, y) получаем такое уравнение

vxx(1 + ǫ2vy2) − 2ǫ2 vxvy vxy + vyy (1 + ǫ2vx2 ) = 0

С точностью до членов порядка O(ǫ) оказывается vxx + vyy = 0. То есть мало отклоняющаяся от плоскости

поверхность наименьшей площади приближенно задается гармонической функцией. На этом основана известная интерпретация гармонических функций в виде формы мыльной пленки, натянутой на проволочный каркас.

X.1.2 Минимальная поверхность вращения

Пусть в трехмерном пространстве на плоскости x1 ◦x2 задана кривая l = {x|x1 = x1(t), x2 = x2(t), t [0, T ]}, без самопересечений, непрерывная и кусочно гладкая, x˙ 21(t) + x˙ 22(t) > 0, с концами в точках A = (a1, a2), B = (b1, b2). Рассмотрим поверхность, полученную вращением кривой l вокруг оси ox1. Мы хотим найти формулу кривой l,

Рис. X.1:

1)Monge G(Монж Гаспар, 1746–1818), французский математик,известен прежде всего как создатель начертательной геометрии. Известны также работы Монжа по интегрированию дифференциальных уравнений в частных производных и их геометрическому представлению.

2)Amper A.M.(Андре Мари Ампер, 1775–1836) французский физик, математик и химик, член многих академий наук. Открыл взаимодействие электрических токов,ему принадлежит заслуга введения в науку терминов "электростатика "электродинамика "электродвижущая сила "напряжение "гальванометр "электрический ток"и даже. . . "кибернетика".

75

Рис. X.2:

Рис. X.3:

дающую наименьшую площадь поверхности вращения. Как известно, площадь поверхности вращения задается

интегралом y(x) =	T				T	p				.
	R	2	2		R
	dtL(t, x(t), x˙ (t)) = 2π				dtx2(t)		x˙	2	(t) + x˙ 2(t)
	0				0			1	2
Значит,L(t, x, v) = x2 ·		v1 + v2 . Таким образом мы приходим к задаче минимизации функционала J (x) на
	гладких кривых x(t) = (x (t), x (t)), соединяющих точки A и B см рис X.1.2. Если участок
множестве кусочно	p				1	2

искомой кривой совпадает с осью вращения, то площадь соответствующей поверхности вращения, очевидно, равно нулю. Если же на оси вращения будет хотя бы одна точка оптимальной кривой, то вся поверхность вращения необходимо должна состоять из двух вертикальных дисков, проходящих через точки A и B, так

как любая "коническая"поверхность имеет площадь большую площади диска, находящегося в основании этой поверхности - смотри рисунокX.1.2. Общая площадь обоих дисков S1 = π(a22 + b22). Поэтому inf J (x) 6 π(a22 + b22). Пусть на некотором интервале (t1, t2) искомая кривая l1, лежит выше оси ox1. Тогда вектор-функция x(t)

удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Эйлера

d

x˙ 1x2(t)

= 0.

dt

x˙ 12

(t) + x˙ 22

(t)

x (t) = f (t), запишем эту систему в виде

Выбрав простейшую параметризацию x1(t) = t,p2

f (t)

d f (t)f ′(t)

′

= c1

,

= q1 + f

2(t)

1 + f ′2(t)

dt

1 + f ′2(t)

. Первое уравнение интегрируется:

p

t

f ′(t) = ±qf 2(t) − c12/c1, f (t) = c1ch(

+ c2)

c1

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет и второму уравнению. График функции x2 = f (x1) кривая l1, называется цепной линией.

Кусочно гладкое решение может состоять из конечного числа гладких экстремалей, согласованных в общих точках условиями Вейерштрасса-Эрдмана. Кстати, экстремалями являются и отрезки, параллельные оси ox2.

Такой отрезок не должен доходить до оси вращения, чтобы решение не свелось к первому варианту двух дисков. Он может быть только крайним, начинаясь в точках A и B. Действительно, иначе в точке стыковки цепной линии с вертикальным отрезком в точке D на рисунке ??, мы имели бы излом оптимальной кривой и, заменяя в ε -окрестности точки излома цепную линию на касательную к ней, получили бы поверхность вращения меньшей

площади. (Можно подсчитать, что эта разность площадей составляет	= π·f (ξ)·f ′(xi) 1 +	√	f ′(ξ)	·ε2+O(ε3),
			1+f ′2(ξ)
что больше нуля при достаточно малом ε). Пусть l2 = {x|x1 = a, x2	[c, a], c > 0} -вертикальный отрезок,

согласованный на своем нижнем конце (a1, c) с левым концом цепной линии l1. Тогда в точке согласования t

должна быть непрерывной функция D3L(t) =

πx2(t)

· x˙ (t)).

|x˙ (t)|

0

πc

1

Очевидно, равенство D3L(t

D3L(t

0) = πc

−1

, D3L(t +0) =

2

c

+c2)

0) = D3

c

−

±p1+sh2

(

c1

+c2) ·

sh

( c1

−

невозможно при c > 0. Аналогично невозможно согласование цепной линии с вертикальным отрезком b1, x2 [c, b2], c > 0}.

L(t +0)

{x|x1 =

Рис. X.4:

Если предположить возможность негладкого согласования двух экстремалей типа цепных линий x2 = f1(x1) и x2 = f2(x1)в точке x1 = t , то тоже получим противоречие. Действительно, мы должны иметь f1(t ) =

f2(t ) и f1′(t ) = f2′(t ). Однако из условия Вейерштрасса-Эрдмана - непрерывности функции D3L(t), следует

6 f1

непрерывность

√

, или непрерывность первых производных, чего не может быть. Итак, остается только две

1+f1′2

возможности:

- или минимальной поверхностью вращения являются два диска общей площадью S1

= π(a22 + b22), - или

минимальную поверхность вращения дает цепная линия, соединяющая точки A и B и расположенная выше оси

ox1:

x1

a1

b1

x2 = c1 · ch(

+ c2), c1 > 0, a2 = c1 · ch(

+ c2), b2 = c1 · ch(

+ c2).

c1

c1

c1

Во втором варианте необходимо выполняется неравенство

b

S2 = aπaZ1 1 dtc1ch(

t

+ c2)r

1 + sh2(

t

+ c2) =

c1

c1

=

πc12

sh

b1 − f1

·

ch(

b1 + a1

+ c

) +

b1 + a + 1

6 π(a2

+ b2).

c1

2 ·

c1

2

c1

2

2

Этот набор условий должен определять свободные параметры c1 и c2. Однако оказывается, что они не всегда

однозначно определяются. Разберемся с возникающими вариантами при дополнительном упрощающем предположении a2 = b2 = b. Для уменьшения громоздкости удобно расположить начало координат в середине отрезка

a

b

a

[a1, b1], считая −a1 = b1 = a. Уравнение нахождения значений c1 и c2 принимает вид (−

+ c2) =

= ch(

).

c1

c1

c1

Ясно, что это равенство возможно только благодаря четности функции ch и при этом необходимо c2 = 0. Для

нахождения c1 имеем условия

ch

a

=

b

, c1

> 0, c12(sh

2a

+

2a

) 6 2b2,

c1

c1

c1

c1

или после замены переменных

a

b

b2

2

.

= τ, chτ = a τ, τ > 0, 2τ + sh2τ

6 2 · a2 · τ

c1

Рисунок X.4 показывает, что если обозначить τ0 аргумент точки касания графиков y = chτ и y = kτ , (тогда

k = shτ0, τ0 · thτ0 = 1), то для ab < shτ0 не будет ни одного решения c1, для ab = shτ0 - единственное решение
c10, а для	b	> shτ0 - два решения . Проанализируем эти возможности.
	a

Отметим, во первых, что τ0 -абсолютная постоянная, τ0 1, 25. Поскольку всё определяется отношением ab , можно без ограничения общности считать b = 1. и наблюдать за изменением a. Для малых a уравнение chτ = τa имеет два корня τ1(a) и τ2(a), τ1(a) < τ0 < τ2(a). Соответственно с τ1(a) или τ2(a)

S2(τ ) = πa2(2τ + sh2τ ) = 2π[(1 − th2τ )τ + thτ ] τ 2

Легко заметить, что при a 1 будет τ (a) 1, τ1(a) 1 и минимальным будет значение S2(τ ) с меньшим τ , то есть с большим c1 = c12(a). Можно показать, что это условие сохраняется при возрастании a. Мы имеем

a0 =	τ0		≈ 0, 97. С ростом τ1(a) S2(τ ) увеличивается.
	chτ	0
				τ 2)τ0 + thτ0] = 2π τ0 +	τ 2th2	τ0 + τ0thτ0	=
S2(τ0) = 2π[(1 − th2					− 0	τ0
							= 2πτ0 ≈ 7, 85 > S1(a0) = π · (a02 + 1) ≈ 6, 09

Это означает, что из двух цепных линий, соединяющих точки A = (−a, 1) и B = (a, 1), минимум площади поверхности вращения даёт верхняя линия, до тех пор пока a, возрастая не достигнет значения a , дающего S2(τ (a)) = S1(a). Затем при дальнейшем возрастании a минимум всё время равен S1(a) = π(a2 +1) и достигается

на двух вертикальных дисках.

X.2 Геодезические

X.2.1 Вывод дифференциального уравнения геодезических

Вычисляя кривую, соединяющую две точки плоскости по кратчайшему пути, получаем такую задачу минимизации функционала

			b
			J (x) = Z
					1 + x˙ 2dt → min .
			a	p
Ее решение - прямая соединяющая точки A и B: x(a) = A, x(b) = B,
	√	x˙	= c x˙ (t) = const x(t) = c1t + c2.
		1 + x˙ 2

А теперь найдем кратчайший путь между двумя точками на заданной поверхности такие кривые называются геодезическими линиями поверхности.

Итак, x R3, S = {x | Φ(x) = 0} гладкая регулярная поверхность в R3, то есть Φ C1 и DΦ|S =6 0. Ищем

кривую

	x(b) = B , J (x) = Za				b
l = {x | x = x(t)} S , x(a) = A ,					dt |x˙ | → min .
По методу Лагранжа перeходим к задаче на безусловный экстремум функционала
b
G(x) = Za	dt (|x˙ | + λφ).
Его уравнение Эйлера есть
	d x˙
λDΦ −				= 0.
	dt		|x˙ |

За параметр t возьмем натуральный параметр длину дуги. Тогда |x˙ | = 1 и уравнения принимают вид

x¨ − λDφ = 0, x(a) = A, x(b) = B, |x˙ | = 1, Φ(x) = 0.

Если же взять аргументом не s, а t = µs с некоторой постоянной µ, то система уравнений будет такой x¨ − µλDΦ = 0, x(a) = A, x(b) = B, |x˙ | = 1/µ, Φ(x) = 0.

X.2.2 Примеры геодезических простых поверхностей

Для примера рассмотрим сферу и цилиндр. Для сферы

{x|x R3 Φ(x) = |x|2 − R2 = 0} x¨ − 2λ · x = 0

Дифференцируем дважды уравнение сферы, используя условие x˙

= 1 и приходим к уравнению x¨ x =

1.

Значит, λ = −

1

. Решение уравнения x¨ +

1

x = 0 есть

| |

−

2R2

R2

s

s

x(t) = c1 cos

+ c2 sin

, |c1| = R,

|c2| = R, hc1, c2i = 0.

R

R

Так получаем окружность радиуса R, то есть геодезическими линиями сферы является любые дуги окружности

большого круга. Для цилиндра

{x|x R3 Φ(x) = x21 + x22 − R2 = 0.}

уравнение Эйлера дает

x¨1 − 2λx1 = 0, x¨2 − 2λx2 = 0, x¨3 = 0.

Значит, x3 = c1t + c2.

При c1 = 0 получаем окружности, при c1 6= 0 винтовые линии.

X.2.3 Задача о траектории движения по инерции материальной точки на поверхности

Пример 31. Найдем траекторию движения по инерции материальной точки на поверхности S =			{	x	|	Φ(x)	= 0}.
t
Имеем J (x) =	dt L с L = T − U . Согласно принципу наименьшего действия и методу Лагранжа
R
t0
	0 = D tZ0	t
		dt(L + λΦ)

В нашем случае T = m|x˙ |2 , U = 0.

2

q

Получаем x¨ − mλ DΦ = 0, Φ(x) = 0, x˙ = 2mT . То есть это задача о геодезических с µ = p 2mT и λ = mλ′, где λ′ это значение параметра λ из задачи о геодезических

dtd |x˙ |2 = 2hx,˙ x¨i = 2 µλ hx,˙ Dϕi =

= 2 µλ · dtd Φ(x(t)) = 0

Это дает |x˙ |2 = v2 = const.

Непосредственно проверяется, что любое решение этой задачи удовлетворяет уравнению геодезических линий.

Таким образом, шарик, катящийся по инерции по поверхности, выбирает своей траекторией геодезическую линию этой поверхности и модуль скорости этого движения постоянный.

X.3 Задача о глобальных геодезических

X.3.1 Постановка задачи

До сих пор мы занимались исследованием локального минимума функционала. Только в случае выпуклых функционалов можно было считать локальный минимум абсолютным. Задача поиска абсолютного минимума возникает естественно, но для ее изучения примененного математического аппарата оказывается недостаточно.

На примере задач поиска геодезических мы хотим проиллюстрировать специфику проблем глобального вариационного исчисления и дать понятие о применяемых методах исследования.

Пусть на некоторой поверхности S заданы две точки A и B. Рассмотрим все лежащие на S кривые, соединяющие точки A и B. Множество этих кривых можно превратить в метрическое пространство, задав каким-нибудь

способом функцию расстояния между кривыми. Более общо: множество рассматриваемых функций должно составлять гладкое многообразие M , локально являющееся метрическим пространством. Рассмотрим на M функционал, сопоставляющий каждой кривой ее длину. Геодезические линии поверхности S являются локальными

минимумами этого функционала и их можно разыскивать, например, через необходимые условия локальных минимумов. Такова схема пути к нелокальному вариационному исчислению. Поясним примерами возникающие проблемы.

Пусть S = {x | x Rn, φ(x) = 0} есть гладкая (n − 1)-мерная поверхность в n-мерном пространстве, lϕ кривая на S, соединяющая точки A и B:

lϕ = {x | x = ϕ(t), t [0, Tϕ], t φ(ϕ(t)) = 0, ϕ(0) = A, ϕ(Tϕ) = B}.

Для задания метрического пространства, изменим параметризацию каждой кривой так, чтобы ee аргумент t всегда изменялся на постоянном отрезке, скажем [0, 1]. Очевидно, это достигается простой заменой переменных: для каждой кривой l вводим новый параметр t′ = t/Tϕ. Геодезические свойства при этом не изменяются. Итак,

1

для всех кривых t [0, 1], ϕ(0) = A, ϕ(1) = B. J (x) = R dt [|ϕ˙ (t)| + λΦ(ϕ(t)] → min Определение понятия

0

геодезической требует дифференцируемости функций x = ϕ(t) мы рассмотрим, скажем, только непрерывно дифференцируемые функции. Если теперь за расстояние в метрическом пространстве M возьмем норму пространства C1[0, 1], то выше описанный функционал будет на нем непрерывным и непрерывно дифференцируемым (если ϕ˙ (t) =6 0). Тогда можно применить в качестве необходимого условия локального минимума

обращение в нуль производной Гато.

X.3.2 Пример подсчета числа геодезических на двумерной сфере

Одна из основных исследованных проблем нелокального вариационного исчисления оценка числа геодезических, соединяющих две заданные точки, через топологические инварианты поверхности S. Здесь все зависит

Рис. X.5:

от внутренних свойств многообразия M . Надо изучать стационарные точки функционалов на многообразиях, связывая их с топологией M и интерпретируя результаты через свойства поверхности S. Продолжим пояснение

на примере см. рис.X.5

Пусть S единичная сфера трехмерного пространства, то есть

Φ(x) = |x|2 − 1, S = {x | x R3, |x|2 = 1}.

Точки A и B расположены на дуге большого круга на угловом расстоянии π/2 друг от друга A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0).X.5 В этом случае все геодезические известны.

Параметризуем проходящую через точки A и B дугу большого круга центральным углом θ

ϕ(θ) = (cos θ, sin θ, 0).

Соединяющие точки A и B геодезические, параметризованные переменной t [0, 1], можно записать формулой

π

x = ϕj (t) = ϕ( 2 (1 + 4j)t), j = 0, ±1, ±2, . . .

Их счетное число, длина j-той геодезической есть |π/2 + 2πj|, j = 0, ±1, ±2 . . . и, следовательно, число

геодезических с заранее ограниченной длиной конечно.

Длина дуги кривой-точки нашего многообразия, является дважды непрерывно дифференцируемым функ-

1

ционалом l: ϕ → R |ϕ˙ (t)|dt.

0

Геодезическая ϕ0 длины π/2 есть, очевидно, точка абсолютного минимума. Все остальные геодезические ϕj (j = ±1, ±2, . . .) окaзываются стационарными седловыми точками функционала l.

Рис. X.6:

Например, ϕ−1 имеет длину 32π и доставляет только относительный минимум в окрестности кривых ψ с дополнительными условиями ψ( 2t ) = A′ = (cos 54π , sin 54π , 0) обозначим это подпространство за M ′, см. рис.X.6.

В малой окрестности геодезической ϕ−1 произвольный сдвиг средней точки этой кривой с A′ на величину δ вертикально по поверхности сферы уменьшает длину: за новую кривую ψδ достаточно взять сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A, A′δ , B. Произвольное ϕ однозначно представляется суммой ϕ = ψ +α·ψδ . Это значит, что тейлоровское разложение функции l(ϕ) в окрестности ϕ−1 имеет вид

l(ϕ)	=	3π	+ |hD2l(ϕ−1)ψ − ϕ−1, ψ − ϕ−1i| − α2|hD2l(ϕ−1)ψδ , ψδ i| + o(α2).
		2

Размерность пространства близких кривых, на которых квадратичная форма отрицательна, равна 1. Можно

показать: для	остальных геодезических с номерами j = +1,				−	2, +2, . . ., j	= ( 1)k+1		k	+ 1 и соответствую-
		π	(2k + 3)			k		−	2	ϕjk отрицательна на
								окрестности
щими длинами		2		квадратичная форма разложения функционала l в
k + 1-мерном подпространстве.