Variatsionnoe_ischislenia
.pdf
Рис. X.7: "Ограниченная поверхность без края в R3 с тремя дырками. Замкнутые кривые 1-6 - это одномерные циклы. R0 = 1, R1 = 6, R2 = 1."
Итак, функция l в своей jk стационарной точке имеет квадратичную форму своего тейлоровского разложения
невырожденную (можно показать) с индексомπ |
инерции k, k = 1, 2, . . . |
, |
|
j |
= ( 1)k+1 |
([k/2] + 1). Сюда можно |
|||||
3π |
k |
− |
|
||||||||
добавить и k = − |
|
0 |
c j−1 |
= 0, l(ϕ0 2 |
2 |
, j0 = −1, l(ϕ−1) = |
2 . |
|
|
|
|
|
1, |
|
|
) = = |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, в нашей задаче - для сферы S в трехмерном пространстве метрическое пространство M образовано соединяющими точки A и B гладкими кривыми {x|x = ϕ(t), t [0, 1], ϕ(0) = A, ϕ(1) = B, ϕ C1}.
Функционал l сопоставляющий каждой кривой её длину, является гладким. он имеет одну точку абсолютного минимума при ϕ = ϕ0 и счетное число седловых точек с индексами инерции k = 1, 2, . . . при ϕ = ϕjk с jk =
([k/2] + 1)
Числа Бетти
Введем понятия, опираясь на которые можно рассмотреть топологические инварианты пространств M , т.е. такие числа, которые определяются внутренней структурой M , не зависящей от непрерывных деформаций M . Замкнутые k-мерные поверхности на M назовем k-мерными циклами. На k-мерных циклах вводится отношение эквивалентности два k-мерных цикла "гомологически зависимы если их объединение является границей (k + 1)-мерной части пространства. Например,см. рис X.7 если M ограниченная поверхность без края с r дырками в R3, то существует единственный нульмерный цикл, гомологичный нулю: это любая точка, всякая другая точка может быть в нее продеформирована, 2r одномерных гомологически независимых циклов, один двумерный цикл это сама поверхность. Число k-мерных независимых циклов поверхности называется ее k-мерным числом Бетти3), и обозначается Rk .
Рассматриваемое нами пространство M гладких кривых соединяющих на сфере S2 точки A и B, бесконечномерно. Эти кривые параметризованиы так, что все они являются отображениями отрезка[0, 1] на сферу S2 с расстоянием между элементами, определяемым нормой C1[0, 1]. Очевидно, пространство M связано: любые две соединяющие на сфере точки A и B кривые можно непрерывно деформировать друг в друга. Поэтому нульмерной гомологически независимый цикл на M единственный, R0 = 1. Мы не можем прямо подсчитать остальные Rk с k > 1. Однако в геометрии - гомологической теории многообразий, устанавливается замечательный факт: числа Бетти Rn не зависят от метризации - можно сказать, выбора системы кординат, и если задана любая глад-
кая функция общего положения на многообразии, то числа Бетти многообразия связаны с числом и характером стационарных точек этой функции. Идеально, если функция имеет Mk седловых точек с индексом инерции k, то, вообще говоря, Mk > Rk , а для нашего многообразия кривых на сфере Mk = Rk . Непрерывные деформации нашего многообразия M мы можем обеспечить, гладко деформируя саму поверхность сферы S2, например,см.
рис.X.8 При этом остается неизменным число локальных геодезических (являющихся кратчайшими только на
Рис. X.8:
малых расстояниях). Конкретно, на S2 это геодезические, являющиеся седловыми с индексом инерции k точками
3) Betti E. (Бетти Э) ввел числа Бетти в 1871 году
функции l(ϕ). Имеем Pk>1 Rk = Pk>1 M k = Pk>1 1 = ∞. Таким образом, и на гантели число таких условных геодезических точек бесконечно. Конечно, если точки A и B расположены на минимальной окружности шейки
гантели, то и так очевидно бесконечное число геодезических, получающихся при кратных прохождениях этой окружности. Но все они соответствуют точкам локального минимума функции длины кривой на гантели. Оказывается, кроме них есть бесконечное число условных геодезических, являющихся локальными минимумами на подпространствах коразмерностей k > 1.
Мы привели пример сведения проблематики вариационных задач к топологическим. В этой области "вариационного исчисления в целом"получают качественные результаты (типа оценки числа геодезических) с помощью методов теории гомотопии. Это проявления единства математики: по существу, все ее разделы изучают один и тот же круг проблем - в разных формулировках.
Литература
[1]Беллман Р. Динамическое программирование, М.,ИЛ,1960.
[2]Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению, М.,ИЛ,1950.
[3]Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики, Киев,1979.
[4]Буттацо Д., Джаквиноте М., Гильдебрант С., Одномерные варационные задачи. Введение, Новосибирск, Научная книга, 2002.
[5]Галеев Э.М. Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению, М., МГУ, 1996.
[6]Гельфанд И.М.,Фомин С.В. Вариационное исчисление,М.,Физматгиз,1961.
[7]Зейферт Г.,Трельфаль В. Вариационное исчисление в целом, М.,ИЛ,1947.
[8]Карташов А.П., Рождественский С.В. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., 1980.
[9]Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления,М-Л.,Гостехиздат, 1950.
[10]Ланцош К. Вариационные принципы механики,М.,ИЛ,1965.
[11]Математическая Энциклопедия,т.1,статьи "Вариационное исчисление М.,СЭ,1977.
[12]Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г.,Гамкрелидзе Р.В.,Мищенко Е.Ф., Математическая теория оптимальных процессов, М.,Физматгиз,1969
[13]Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление,М.Наука,1969.
[14]Янг Л. Вариационное исчисление и оптимальное управление, М.Мир,1974.
83